<< Предыдущая

стр. 24
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ?? = ?? ? ? = 0,

III. Решения уравнения (5) ищем в виде u(x) = ?(?). Решения уравнения (5)
даются интегралом
u
d?
(14)
= ? + ln c2 ,
?
c1 ±
0 F1 (?)d?
0

где
? = 0, n ? 1,
? = ?? x? + f (?? x? ), ?? ?? = ?? ? ? = 0,
1)
(15)
f — произвольная дифференцируемая функция;

2 [(?? y? )2 ± y? y ? ], ?? ?? = ±1, (16)
2) ?= ? = 0, 1.

В случае F1 (u) = sin u имеем решение уравнения синус-Гордона в форме (14).
Кроме того, при c1 = 2 решения этого уравнения записываются в явном виде:
?? ?? = ?1,
u = 4 arctg (c2 exp ?),
?
?? ?? = ±1,
u = 4 arctg c2 th ,
2
где ? задается формулами (15), (16).
IV. Решения уравнения эйконала (3) ищем в виде
u(x) = F [?(?) + f (x)].
Полученные решения имеют вид
(17)
u(x) = F (w),
где
w = ?? x? , ?? ?? = 0;
1)
w = ?? y ? + (?? y ? )2 ? y? y ? , ?? ? ? = 1;
2)
w = (?? y ? )?1 y? y ? , ?? ?? = 0.
3)
В (17) F — произвольная дифференцируемая функция.
V. Решения уравнения Борна–Инфельда (4) ищем в виде
или (18)
u(x) = ?(?) + f (x) u(x) = ?(?)f (x) + c.
Полученные решения имеют вид
?? ?? + (?0 ?1 ? ?1 ?0 )2 = 0.
u = f (?? x? ) + ?? x? ,
В частности, при ?0 = ?1 = 0, ?0 = ±?1 имеем решение u = f (x0 ±x1 ) полученное
в [6].

a2 b2 ? y? y ? a2 + y? y ?
a y0 + y1 1
th + b arctg
u = ln ln + c,
y0 ? y1 b2 ? y ? y ?
b2 a2 + y? y ?
2 4
О точных решениях нелинейных многомерных волновых уравнений 103

1/2
2
u = ± c1 exp[c2 (y0 ? y1 )] + (y0 + y1 ) + c2 ,
c2
1/2
y0 ? y1
u=± F (w) + c3 , w = c1 (y0 + y2 ) + c2 ,
c1

где 1) F (w) = th w, 2) F (w) = cth w, 3) F (w) = tg w, 4) F (w) = w,
?2 y0 ? y1
?(x, u) + 1 1
?
exp = c,
?(x, u) ? 1 y0 + y1 ?(x, u) ? 1 a
u
?(x, u) = .
u2 + 4a(y0 + y1 )
VI. Решение нелинейного уравнения Шредингера (6) ищем в виде
u(x) = ?(?)f (x).
Приведем одно из полученных решений при F2 (u) = ??u|u|m , (c = 0, q = 0,
r3 = 0)
iM
f = (2qx0 + b)?1/m+i? exp iM (?i zi ) + (?i ?i )x0 ,
2
1/m
1 4 ?1/m
? B2 (? 1 )2 ? (? 3 )2 exp[iB? 2 ],
?= 2
2?M m
где
M 2q
zi = xi ? ?i x0 ? ?i ,
B=v
?= [2(?i ?i ) + b(?i ?i )], ?,
4q rl rl
bvi ? qai + ?ijk rj ak rk (bvk ? qak )
q 2 vi + ri (rk vk ) + q?ijk vk
?i = , ?i = + ri ,
q(q 2 + rl rl ) q 2 + rk rk q(q 2 + rl rl )
zi zi ri zi
?1 = ?3 =
, ,
2qx0 + b rl rl (2qx0 + b)
v
v
2qx0 + b ? r2 ? 3
z2 rl rl
rk rk
?
2
? = arcsin ln(2qx0 + b).
[(r1 + r3 ) /rl rl ] [(? 1 )2 ? (? 3 )2 ] 2q
2 2



VII. Решения уравнения Гамильтона–Якоби (7) ищем в виде
u = ?(? 1 , ? 2 , ? 3 ) + f (x0 , x1 , x2 , x3 ).
Приведем одно из полученных решений:
Mq M
zi = xi ? ?i x0 ? ?i ,
u= zi zi + M (?i zi ) + (?i ?i )x0 , i = 1, 2, 3,
2qx0 + b 2
где q, ?i , ?i — произвольные постоянные.
VIII. Решения уравнения Навье–Стокса (7а) ищем в виде
ui = F ij (x0 , x1 , x2 , x3 )?j ? 1 , ? 2 , ? 3 + f i (x0 , x1 , x2 , x3 ).
104 В.И. Фущич, С.С. Москалюк, Н.И. Серов

Приведем одно из полученных решений:
q(rk rk )zi ? ri (rk zk )
ui = + ?i , l, k, i, j = 1, 2, 3,
(rl rl )(zj zj ) ? (rl zl )3
q 2 (rl rl )
1
p=? zi = xi ? ?i x0 ? ?i ,
,
2 (rk rk )(zj zj ) ? (rk zk )2
где q, ri , ?i , ?i — произвольные постоянные.

1. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств дифференциальных уравнений
в частных производных, В кн.: Теоретико-групповые методы и математической физике, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1978, 5–44.
2. Фущич В.И., Серов H.И., О точных решениях Борна–Инфельда, Докл. АН СССР, 1982, 263,
№ 3, 582–586.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения
Монжа–Ампера, Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 543–546.
4. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнении, М., Наука, 1978, 400 с.
5. Fushchych W.I, Moskaliuk S.S., On some exact solutions of the nonlinear Schr?dinger equation in
o
three spatial dimensions, Lett. Nuovo Cimento, 1981, 31, № 16, 571–576.
6. Барбашов Б.М., Черников Н.А., Решение и квантования нелинейной двухмерной модели тина
Борна–Инфельда, Журн. эксперим. и теор. физики, 1966, 50, 1296–1308.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 105–159.

Нерелятивистские уравнения движения для
частиц с произвольным спином
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН
The Galilei-invariant systems of partial differential equations, which describe the non-
relativistic motion of arbitrary spin particle, have been deduced. The found equations
admit Lagrangian formulation and describe dipole, quadrupole and spin-orbit couplings
of a particle with an external field, which traditionally are considered as a relativistic
effects. Using the found equations, the problem of an arbitrary spin particle motion in
homogeneous magnetic field have been solved exactly. The generators of all classes of
irreducible representations of Galilei group have been found.

Выведены галилеевски-инвариантные системы дифференциальных уравнений пер-
вого и второго порядка, описывающие движение нерелятивистской частицы прои-
звольного спина. Найденные уравнения допускают лагранжеву формулировку и опи-
сывают дипольное, квадрупольное и спин-орбитальное взаимодействия частицы с
внешним электромагнитным полем, которые традиционно считались чисто реляти-
вистскими эффектами. На основе полученных уравнений точно решена задача о
движении нерелятивистской частицы произвольного спина в однородном магнитном
поле. Найдены генераторы всех классов неприводимых представлений группы Гали-
лея.

Введение
Более 300 лет известны принцип относительности и преобразования Галилея.
Однако структура группы Галилея G и ее представления начали изучаться срав-
нительно недавно. В 1952 г. Иноню и Вигнер [1] описали точные представления
этой группы. Баргман [2] впервые указал на фундаментальную роль проективных
представлений группы G в нерелятивистской квантовой механике. Любопытно
отметить, что проективные представления группы Галилея могли быть открыты
значительно раньше, поскольку еще Ли [3] установил алгебру и группу инвариан-
тности уравнения диффузии, которое с точностью до постоянных коэффициентов
совпадает с одномерным уравнением Шредингера для невзаимодействующей ча-
стицы. Исходя из алгебры инвариантности уравнения диффузии (или уравнения
Шредингера) и используя приемы, известные еще с начала века (формулу Кэмп-
белла, уравнения Ли), мы, как будет показано ниже, с необходимостью приходим
к проективным представлениям группы G.
Леви-Леблонд [4, 5] начал систематическое исследование представлений груп-
пы Галилея и уравнений, инвариантных относительно этой группы. Хаген и Гер-
лей [6, 7] получили галилеевски-инвариантные дифференциальные уравнения пер-
вого порядка, описывающие движение нерелятивистской частицы с произволь-
ным спином. Особенностью этих уравнений является то, что они не дают пол-
ного описания движения частицы со спином во внешнем электромагнитном по-
ле, так как не учитывают такие хорошо известные физические эффекты, как
спин-орбитальное и дарвиновское взаимодействия. Во многих книгах и статьях
Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1981, 12, вып. 5, С. 1157–1219.
106 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

утверждается даже, что такие взаимодействия являются чисто релятивистскими
эффектами и могут быть адекватно описаны только с помощью уравнений, инва-
риантных относительно группы Пуанкаре (например, уравнений Дирака).
Настоящий обзор, в основу которого положены работы авторов [8–14], посвя-
щен выводу и подробному исследованию нового класса галилеевски-инвариант-
ных уравнений движения для частиц произвольного спина. С помощью получен-
ных уравнений, подобно тому как и в релятивистской теории Дирака для эле-
ктрона, можно последовательно описать спин-орбитальное и дарвиновское взаи-
модействия. Найденные уравнения — частный случай уравнения Леви-Леблонда и
Хагена–Герлея (уравнения ЛХГ) — представляют собой системы дифференциаль-
ных уравнений в частных производных первого и второго порядка параболического
типа.
Для получения и анализа галилеевски-инвариантных уравнений используется
алгебраический подход, развитый в работах [15–17]. Суть этого подхода состоит
в том, что, исходя из некоторой общей формы генераторов группы G и используя
коммутационные соотношения алгебры Ли группы Галилея, находят явный вид ге-
нератора временного сдвига (гамильтониана) H, с помощью которого определяется
инвариантное уравнение типа Шредингера.
Следует отметить, что в принципе можно построить очень много различных
галилеевски-инвариантных уравнений для частиц произвольного спина (то же са-
мое можно сказать и о релятивистских уравнениях), которые в отсутствие взаи-
модействия могут быть эквивалентными. Поэтому важно иметь критерии, выделя-
ющие из них те, которые позволяют наиболее полно описать физическую реаль-
ность — например в случае взаимодействия частицы с внешним электромагнитным
полем. В работе найдено необходимое условие, которому должны удовлетворять
уравнения первого порядка, описывающие спин-орбитальное взаимодействие ча-
стицы с полем. Это условие можно сформулировать в виде требования (которому
не удовлетворяют уравнения ЛХГ), чтобы генераторы представления однородной
группы Галилея, реализующегося на множестве решений инвариантного уравне-
ния, были нильпотентными матрицами с индексом нильпотентности N > 2.
Структура уравнений, полученных в настоящей работе, позволяет во многих
случаях находить их решения сразу для произвольного значения спина. Ниже
с использованием найденных уравнений точно решена задача о спектре энергии
заряженной нерелятивистской частицы произвольного спина в однородном магни-
тном поле.
В работе получены генераторы всех классов неприводимых представлений рас-
ширенной группы Галилея. Найденная реализация отличается относительно про-
стой (симметричной) формой генераторов, которая является универсальной для
всех унитарных представлений этой группы. Исследованы также представления
полной группы Галилея, включающей дискретные преобразования P , T и C.
За пределами настоящей статьи остались задачи о разложении тензорного
произведения двух и трех неприводимых представлений группы Галилея. Эти во-
просы (и многие другие, касающиеся теории представлений группы хорошо изло-
жены в [4, 18–20].
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 107

1. Галилеевская инвариантность
В этом разделе обсуждается алгебра инвариантности уравнения Шрединге-
ра для невзаимодействующей частицы и дискретные P -, T -, C-преобразования
в нерелятивистской квантовой механике. Исходя из алгебры инвариантности, с
помощью формулы Кэмпбелла–Хаусдорфа строится представление расширенной
группы Галилея и вычисляется мультипликатор, характеризующий проективные
представления этой группы.
Алгебра инвариантности уравнения Шредингера. Исследуем свойства сим-
метрии основного уравнения нерелятивистской квантовой механики

p2
?
? (1)
L? = 0, L=i ,
?t 2m
где
?
pa = ?i ? = ?(t, x) ? L2 .
p2 = p2 + p 2 + p 2 , ,
1 2 3

<< Предыдущая

стр. 24
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>