<< Предыдущая

стр. 25
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?xa
Обозначим {QA }, A = 1, 2, . . . , N ; N < ? некоторое множество операторов,
определенных на множестве, всюду плотном в пространстве L2 и образующих
алгебру Ли. Уравнение (1) по определению инвариантно относительно алгебры
{QA }, если выполняются соотношения

[QA , L] ? QA L ? LQA = fA L, (2)

где {fA } — некоторое множество операторов, определенных в L2 . Действительно,
если выполняется (2), то преобразование ? > QA ? переводит решение уравне-
ния (1) в другое решение этого уравнения.
Рассмотрим задачу о нахождении алгебры инвариантности (АИ) уравнения (1)
в классе дифференциальных операторов первого порядка. Эта задача сводится к
определению всех возможных операторов вида
? ?
QA = BA (t, x) + CA (t, x) + DA (t, x) ,
i
(3)
i = 1, 2, 3,
?xi ?t
(где BA (t, x), Ca (t, x), DA (t, x) — функции от t и x), удовлетворяющих усло-
i

виям (2) и образующих конечномерную алгебру Ли. Как отмечалось выше, эта
задача для одномерного уравнения Шредингера впервые была решена Ли [3]. Ре-
шение ее приведено в книге [21], а недавно для трехмерного случая получено в
работах [22, 23]. Результат [22, 23] можно сформулировать в виде следующего
утверждения.
Теорема 1. Максимальной АИ уравнения (1) в классе дифференциальных опе-
раторов первого порядка является тринадцатимерная алгебра Ли, базисные
элементы которой задаются формулами
?
P0 = i , Pa = p a , M = m,
?t (4)
Ja = (x ? p)a , Ga = tpa ? mxa ,

3 1
D = 2tP0 ? xa pa + i, A = t2 P0 ? tD ? mx2 . (5)
2 2
108 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Доказательство теоремы здесь не приведено (см. [22, 23]). Отметим только,
что инвариантность уравнения (1) относительно алгебры (4), (5) легко проверить
непосредственно. Операторы (4) удовлетворяют условию (2) при fA ? 0, а для
операторов (5) выполняется
[D, L] = ?2iL, [A, L] = 2itL.
Операторы (4), (5) удовлетворяют коммутационным соотношениям
(6)
[Pa , Pb ] = 0, [Pa , Jb ] = i?abc Pc ,

(7)
[Ga , Gb ] = 0, [Ga , Jb ] = i?abc Gc ,

(8)
[Pa , Gb ] = i?ab M, [Pµ , M ] = [Ga , M ] = [Ja , M ] = 0,

(9)
[P0 , Pa ] = [P0 , Ja ] = 0,

(10)
[P0 , Ga ] = iPa , a, b, c = 1, 2, 3, µ = 0, 1, 2, 3,

[D, Pa ] = ?iPa , [D, P0 ] = ?2iP0 ,
[D, Ga ] = iGa ,
(11)
[D, Ja ] = [D, M ] = [A, Ga ] = [A, M ] = [A, Ja ] = 0,
[A, Pa ] = iGa , [A, P0 ] = iD, [A, D] = 2iA,

т. e. образуют алгебру Ли, называемую алгеброй Ли группы Шредингера.
Заметим, что операторы (5) на множестве решений уравнения (1) могут быть
выражены через генераторы (4):
D = (2M )?1 (Pa Ga + Ga Pa ), A = (2M )?1 Ga Ga (12)
и, следовательно, симметрия относительно, преобразований, генерируемых опера-
торами D и A, не приводит к новым законам сохранения. Таким образом, основной
интерес представляет симметрия уравнения (1) относительно АИ (4) (алгебры Ли
расширенной группы Галилея).
Алгебра (4) имеет три основных инвариантных оператора (оператора Казимира)
C1 = 2M P0 ? Pa Pa , C2 = M,
(13)
C3 = Wa Wa = [M Ja ? ?abc Pb Gc ][M Ja ? ?abc Pb Gc ],
собственные значения которых ассоциируются с внутренней энергией, массой и
спином нерелятивистской частицы. Подставив (4) в (13), убеждаемся, что урав-
нение Шредингера (1) описывает частицу со спином s = 0, внутренней энергией
?0 = 0 и массой m.
Таким образом, мы рассмотрели симметричные свойства уравнения Шредин-
гера относительно АИ, базисные элементы которых принадлежат классу диффе-
ренциальных операторов первого-порядка. Отметим, что если рассмотреть АИ в
классе интегродифференциальных операторов, то можно показать, что уравнение
(1) инвариантно относительно алгебр O(1, 3) [24] и O(2, 4) [25].
Возникает естественный вопрос — существуют ли другие [кроме (1)] диффе-
ренциальные уравнения, имеющие такую же симметрию [обладающие такой же
АИ (4), (5)], как уравнение Шредингера? Положительный ответ на этот вопрос
дан в разделах 2 и 3.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 109

В заключение этого пункта сформулируем следующее утверждение, в справе-
дливости которого можно убедиться непосредственной проверкой.
Лемма 1. Пусть {P0 , Pa , Ja , Ga , M } — произвольная совокупность операторов,
удовлетворяющих алгебре (6)–(10) и дополнительному требованию, чтобы су-
ществовал оператор, обратный оператору M . Тогда операторы (12) совме-
стно с Pa , Ga , Ja , M и P0 = P0 ?(2M )?1 C1 удовлетворяют алгебре Ли (6)–(11).
?
Сформулированный в лемме результат означает, что произвольное представле-
ние алгебры Галилея (6)–(10) (соответствующее c2 = 0) может быть пополнено до
представления алгебры Ли группы Шредингера (6)–(12) (подобно тому, как прои-
звольное представление группы P (1, 3), соответствующее нулевой массе и дискре-
тному спину, может быть пополнено до представления конформной группы [26].
Конечные преобразования. Зная АИ некоторого дифференциального ура-
внения, обычно бывает нетрудно найти его группу симметрии. Так, исходя из (4),
можно получить в явном виде преобразования Галилея для координат xa , времени
t и волновой фунции ?(t, x):

xa > xa = U (?, v, a, a0 , b)xa U ?1 (?, v, a, a0 , b) = Rab xb + va t + a0 ,
(14а)
t > t = U (?, v, a, a0 , b)tU ?1 (?, v, a, a0 , b) = t + a0 ,

?1
xa > xa = U ?1 (?, v, a, a0 , b)xa U (?, v, a, a0 , b) = Rab (xb ? vb t ? ab ),
(14б)
t > t = U ?1 (?, v, a, a0 , b)tU (?, v, a, a0 , b) = t ? a0 ,

?(t, x) > ? (t, x) = U ?1 (?, v, a, a0 , b)?(t, x) =
(15)
= exp[if (t , x ) ? imb]?(t , x ),

где

U (?, v, a, a0 , b) = exp(iJc ?c ) exp(iGc vc ) exp[iPµ aµ + imb], (16)

?c , vc , ac , a0 , b — произвольные действительные параметры; Rab — оператор тре-
хмерного поворота:
?abc ?c ?a ?b 1/2
sin ? + 2 (1 ? cos ?), 2 2 2
, (17)
Rab = ?ab cos ? + ? = ?1 + ?2 + ?2
? ?
f (t , x ) — фазовый множитель [2]:
1
f (t , x ) = mv · x + mv 2 t. (18)
2
Для доказательства соотношений (14)–(18) достаточно воспользоваться форму-
лой Кэмпбелла–Хаусдорфа

1
exp(A) exp(B) = exp A + B + [A, B] + · · · . (19)
2

Согласно (4), (19)

exp(?iGa va ) = exp(?itpa va ) exp[if (t, x)]
110 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

и

U ?1 (?, v, a, a0 , b) =
(20)
= exp[if (t , x ) ? imb] exp(?iJc ?c ) exp[ipa (aa ? va t) ? iP0 a0 ],

откуда непосредственно следует выполнение (14)–(18).
Таким образом, представление расширенной группы Галилея на множестве ре-
шений уравнения (1) задается операторами (20), действие которых на волновую
функцию и независимые переменные xa и t определено формулами (14)–(18).
Нетрудно убедиться непосредственным вычислением, что операторы (20) удо-
влетворяют групповому закону

(2) (1)
U ? (2) , v (2) , a(2) , a0 , b(2) U ? (1) , v (1) , a(1) , a0 , b(1) =

(2)
= U ? (1) + ? (2) , v (1) + R(1) v (2) , a(1) + R(1) a(2) + v (1) a0 ,

2
1 (2) (1) (21)
(1) (2) (1) (1) (2)
a0 + a0 , b(1) + b(2) + va Rab ab + a0 va ,
2
U ?1 (?, v, a, a0 , b) =
1
??, ?R?1 v, ?R?1 (a ? va0 ), ?a0 , ?b0 + ac vc ? a0 va va ,
=U
2

где Ra = a , Rv = v , aa = Rab ab , va = Rab vb , который можно принять за
абстрактное определение расширенной группы Галилея.
Положив в (15) b ? 0, приходим к подгруппе расширенной группы Галилея,
которую называют группой Галилея. При этом формулы (15) определяют не точное,
а только проективное представление этой группы. Действительно, групповой закон
для преобразований Галилея (14а) имеет вид:

(1) (2)
g ? (1) , v (1) , a(1) , a0 g ? (2) , v (2) , a(2) , a0 =
(22)
(2) (1) (2)
=g ? +? ,v v ,a a v (1) a0 , a0
(1) (2) (1) (1) (2) (1) (1) (2)
+R +R + + a0 .

Но из (21) следует, что

(2) (1)
U ? (2) , v (2) , a(2) , a0 , 0 U ? (1) , v (1) , a(1) , a0 , 0 = exp(i?12 )?
(23)
(2) (1) (2)
?U ? +? ,v v ,a a v (1) a0 , a0
(1) (2) (1) (1) (2) (1) (1) (2)
+R +R + + a0 , 0 ,

где фазовый множитель:

1 (2) (1) (1)
(1) (1) (2)
(24)
?12 = va Rab ab + a0 va va .
2
Иными словами, операторы (20) при b ? 0 удовлетворяют закону групповой ком-
позиции (22) только с точностью до умножения на множитель exp(i?12 ), который
не изменяет нормы волновой функции.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 111

Мы убедились, что АИ уравнения (1), задаваемая операторами (4), содержит
полную информацию о свойствах симметрии этого уравнения относительно непре-
рывных преобразований. Можно рассмотреть также дискретные преобразования
вида
xa > ?xa , t > t,
(25)
xa > xa , t > ?t,

?(t, x) > P ?(t, x) = ?1 ?(t, ?x), (26)

?(t, x) > T ?(t, x) = ?2 ?(?t, x), (27)

?(t, x) > C?(t, x) = ?3 ?? (t, ?x), (28)

где ?a = ±1. Операторы (25)–(28) по определению удовлетворяют условиям P 2 =
T 2 = C 2 = I, где I — единичный оператор.
Нетрудно убедиться, что уравнение Шредингера (1) инвариантно относительно
преобразований P и CT , но C и T — неинвариантно. Это не означает, конечно,
что не существует галилеевски-инвариантных уравнений с другими свойствами
симметрии относительно преобразований (25)–(28). Поэтому рассмотрим полную
группу Галилея, определяемую как совокупность преобразований (14)–(18) и (25)–
(28). Произвольный оператор, задающий такие преобразования в пространстве
квадратично-интегрируемых функций, можно представить в виде
1??P 1??T 1??C
U (?, v, a, a0 , b, ?P , ?T , ?C ) = U (?, v, a, a0 , b)P (29)
T C ,
2 2 2



где U (?, v, a, a0 , b) задан в (16), (20), a ?P , ?T , ?C — параметры, независимо
принимающие значения +1 или ?1.
Операторы (29) удовлетворяют групповому закону
(2) (2) (2) (2)
U ? (2) , v (2) , a(2) , a0 , b(2) , ?P , ?T , ?C ?
(1) (1) (1) (1)
?U ? (1) , v (1) , a(1) , a0 , b(1) , ?P , ?T , ?C =
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
U ? (1) + ?C ? (2) , v (1) + ?P ?T ?C R(1) v (2) , a(1) + ?P ?C R(1) a(2) +
(1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (1) (2)
+?T ?C v (1) a0 , a0 + ?T ?C a0 , b(1) + ?C b(2) + ?P ?C va Rab ab +
(1)
(30)
1 (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
+ ?T ?C a0 va va , ?P ?P , ?T ?T , ?C ?C ,
2
U ?1 (?, v, a, a0 , b, ?P , ?T , ?C ) = U ??C ?, ??P ?T ?C R?1 v,
1
?R?1 (?P ?C a ? ?P va0 ), ??C ?T a0 , ??C b + ?T aa va ? ?C ?T a0 va va , ?P , ?T , ?C .
2
Закон групповой композиции (30) будем считать определением 14-параметрической

<< Предыдущая

стр. 25
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>