<< Предыдущая

стр. 26
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
группы G. Ниже описан класс неприводимых проективных представлений группы
?
G (30), соответствующий отличным от нуля значениям инвариантного оператора
C2 .
Неприводимые представления алгебры (6)–(10) в конфигурационном про-
странстве. Неприводимые представления алгебры (6)–(10) можно разделить на
112 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

три класса, соответствующих следующим значениям инвариантных операторов C2
и C3 [4]:

c3 = m2 s(s + 1),
I. c2 = m = 0, s = 0, 1/2, 1, . . . ;
II. c2 = 0, c3 = 0;
c3 = r2 > 0.
III. c2 = 0,

В приложении 1 найдены в явном виде все неэквивалентные представления
алгебры (6)–(10) в импульсном пространстве.
Для исследования дифференциальных уравнений, инвариантных относительно
группы Галилея, используем представления алгебры Ли расширенной группы Гали-
лея 1-го класса в пространстве квадратично-интегрируемых функций ?(t, x). Не-
приводимые представления 1-го класса задаются тремя числами — ?0 (собственное
значение инвариантного оператора C1 [13]), m и s. Явный вид соответствующих
генераторов P0 , Pa , Ja , Ga и M задается формулами

p2 ?
Pa = pa = ?i
P0 = + ?0 , , M = m,
2m ?xa (31)
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa ,

где Sa — матрицы размерности (2s + 1) ? (2s + 1), образующие представление
D(s) алгебры Ли группы O(3), ?0 и m — произвольные действительные числа.
Можно проверить непосредственным вычислением, что операторы (31) удовлетво-
ряют коммутационным соотношениям (6)–(10). Инвариантные операторы (13) для
генераторов (31) принимают вид:

C3 = m2 S 2 = m2 s(s + 1).
C1 = 2m?0 , C2 = m,

Наконец, операторы (31) эрмитовы относительно скалярного произведения

d3 x ?+ (t, x)?2 (t, x), (32)
(?1 , ?2 ) = 1


где ?(t, x) — (2s + 1)-компонентные функции;

?? ? L2 .
? = столбец (?1 , ?2 , . . . , ?2s+1 ),

Иными словами, операторы (31) образуют эрмитовые неприводимые представ-
ления алгебры (6)–(10).
В случае s = 0 генераторы (31) сводятся к представлению (4), которое реализу-
ется на множестве решений уравнения Шредингера. В общем случае пространство
неприводимого представления (31) можно ассоциировать с пространством состоя-
ний свободной нерелятивистской частицы с массой m, спином s и внутренней
энергией ?0 .
Используя формулу (19), нетрудно найти преобразования волновой функции
?(t, x), генерируемые операторами (31):

?(t, x) > ? (t, x) = exp(?iPµ aµ ? imb) exp(?iGa va )?
(33)
? exp(?iJa ?a )?(t, x) = exp[if (t , x ) ? imb]Ds (?)?(t , x ),
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 113

где Ds (?) — числовые матрицы, образующие представление D(s) группы O(3):
Ds (?) = exp(?iS · ?), (34)
a x , t и f (t , x ) заданы формулами (14), (18).
Иногда под преобразованиями Галилея для волновой функции подразумевают
переход от ?(t, x) к ? (t , x ), где ? (t , x ) — функция, получаемая из (33)
заменой x > x , t > t [см. (146)]. Делая такую замену в правой части (33),
приходим к преобразованию
?(t, x) > ? (t , x ) = exp[if (t, x) ? imb]Ds (?)?(t, x). (35)
Формулы (14), (33) [или (14), (35)] задают неприводимое представление D(m,
?0 , s) группы Галилея в конфигурационном пространстве.
Ниже используются также приводимые представления алгебры (6)–(10), бази-
сные элементы которых имеют вид:
? ?
Pa = pa = ?i
P0 = i , ,
?t ?xa (36)
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa + ?a ,
где ?a — числовые матрицы, удовлетворяющие совместно с Sa алгебре Ли одноро-
дной группы Галилея:
(37)
[?a , ?b ] = 0, [?a , Sb ] = i?abc ?c , [Sa , Sb ] = i?abc Sc .
Формулы (36) задают общий вид генераторов группы Галилея в пространстве
квадратично-интегрируемых функций: ?(t, x) = столбец (?1 , ?2 , . . . , ?n ), поро-
ждающих локальные преобразования
?(t, x) > ? (t , x ) = exp[if (t, x) ? imb]Ds (?, v)?(t, x). (38)
где x , t и f (t, x) заданы в (14), (18), a D(?, v) — числовые матрицы, образующие
представление однородной группы Галилея:
D(?, v) = exp(?iS?) exp(?i?v). (39)
Операторы дискретной симметрии. Рассмотрим теперь представления полной
?
группы Галилея G, определяемой групповым законом (30).
?
Если ?P = ?T = ?C ? 1, то группа G сводится к расширенной: группе Галилея
?
G (21), которая является подгруппой группы G. Из (30) следует, что фактор-группа
?
G/G содержит восемь элементов {I, P, C, T, P C, P T, CT, CP T }, соответствующих
значениям параметров ?T , ?P , ?C , ?P C = ?P ?C , ?P T = ?P ?T , ?CT = ?C ?T , ?CP T =
?P ?C ?T , где ?P , ?C , ?T = ±1. Закон группового умножения для элементов группы
?
G/G можно представить в следующем виде:
Элементы I P T C PT CP CT CP T
I I P T C PT CP CT CP T
P P I PT PC T C CP T CT
T T PT I CT P CP T C CP
C C CP CT I CP T P T PT
PT PT T P CP T I CT CP C
CP CP C CP T P CT I PT T
CT CT CP T C T CP PT I P
CP T CP T CT CP PT C T P I
114 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Будем искать представления группы (30) в пространстве квадратично-интег-
рируемых функций ?(t, x) со скалярным произведением (32). Рассмотрим только
?
такие представления группы G, которые при редукции по G сводятся к представ-
лениям 1-го класса (когда m = 0). Генераторы группы G для представлений 1-го
класса задаются формулами (31), и поэтому остается только определить явный вид
?
операторов P , T и C, которые порождают представление фактор-группы G/G.
Из (29), (30) заключаем, что операторы P , T и C должны удовлетворять сле-
дующим перестановочным соотношениям с генераторами Pµ , Ja , Ga , M :
(40)
P Ja = Ja P, P P0 = P0 P, P M = M P,

P Pa = ?Pa P, P Ga = ?Ga P, (41)

(42)
T Ja = Ja T, T Pa = Pa T,

T P0 = ?P0 T, T Ga = ?Ga T, T M = ?M T, (43)

CJa = ?Ja C, CPa = ?Pa C, CGa = ?Ga C, (44)

CP0 = ?P0 C, CM = ?M C. (45)

Из (30) следует также, что операторы P , T и C удовлетворяют условиям
C 2 = T 2 = P 2 = 1, (46)
CP = P C, CT = T C, P T = T P.
Поскольку нас интересуют не только точные, но и проективные представления
группы (30), то соотношения (46) должны выполняться с точностью до фазового
множителя [27]
C 2 = exp(i?3 ), T 2 = exp(i?2 ), P 2 = exp(i?1 ),
(47)
CP = P C exp(i?4 ), CT = T C exp(i?5 ), P T = T P exp(i?6 ),
где ?n — некоторые действительные числа, причем можно положить ?1 = ?2 = 0.
Из (40)–(45) видно, что операторы P , T и C не коммутируют с инвариантными
операторами (13) (например, T не коммутирует с C2 ), поэтому областью опре-
деления операторов P , T и C может служить только пространство приводимого
представления алгебры (6)–(10). Генераторы такого представления для m = 0 мо-
жно выбрать в виде прямой суммы генераторов (31) (где для упрощения выкладок
положим ?0 = 0):
?
P0 = P 2 (2M )?1 , ?
Pa = pa = ?i , M = M,
?xa (48)
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? M xa ,
где Sa — генераторы приводимого представления группы O(3), а M — числовая
матрица, коммутирующая с Sa .
Из (40)–(45), (48) следует, что операторы P , T и C удовлетворяют условиям
P xa = ?xa P, P pa = ?pa P, P t = tP,
T t = ?tT,
T xa = xa T, T pa = pa T, (49)
Cpa = ?pa C,
Cxa = xa C, Ct = tC,
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 115

где xa и t — операторы умножения на независимые переменные. Общий вид опе-
раторов, удовлетворяющих (49), можно задать формулами
P ?(t, x) = r1 ?(t, ?x),
T ?(t, x) = r2 ?(?t, x), (50)
C?(t, x) = r3 ?? (t, x),
где ra — некоторые числовые матрицы.
Из (40)–(45), (48) и (49) получаем, что матрицы ra должны удовлетворять
следующим условиям:
r0 r2 = ?r2 r0 , 2 2
(51)
r0 = 1, r2 = 1,
(52)
r0 Sa = Sa r0 , r2 Sa = Sa r2 ,
2
(53)
r0 r1 = r1 r0 , r1 = 1, r1 r2 = r2 r1 exp(i?6 ), r1 Sa = Sa r1 ,
? ?
r3 r1 = r1 r3 exp(i?5 ), r3 r2 = r2 r3 exp(i?4 ),
(54)
?
2
r3 = exp(i?3 ), r3 r0 = r0 r3 ,
где r0 — оператор знака массы:
r0 = M · |M |?1 . (55)
?
Таким образом, задача описания представлений группы G для m = 0 сводится
к решению системы уравнений (51)–(54) для матриц rµ и Sa .
Решение системы (51)–(54) приведем в виде следующей теоремы.
Теорема 2. Все возможные (с точностью до эквивалентности) неприводимые
матрицы, удовлетворяющие системе соотношений (51)–(55), можно пронуме-
ровать набором чисел (s, ?0 , ?1 , ?2 , ?3 , ?), где s = 0, 1/2, 1, . . . , ?µ , ? = ±1.
Явный вид соответствующих матриц задается формулами:
при ?0 = 1, ?2 = 1, ?1 , ?3 , ? = ±1
I 0 0 I I 0
r1 = ? , r2 = , r3 = ?2 ,
0 ?3 I I 0 0 ?1 I
(56)
I 0 Sa 0 ? 0
r0 = , Sa = , ?2 = ;
?I
0 0 Sa 0 ?
при ?0 = ?1, ?2 = 1, ?1 , ?3 , ? = ±1
? ? ? ?
I 000 0I00
? 0 ?3 I 0 0 ? ?I 0 0 0?
r1 = ? ? ?, r2 = ? ?
? 0 0 0 I ?,
?0 0 I 0?
0 0 0 ?3 I 00I0
? ? ? ?
0 0 ?I 0 I000
?0 0 0 ??1 I ? ? 0 ?I 0 0 ?
r3 = ? ?, r0 = ? ? (57)
? 0 0 I 0 ?,
?I 0?
0 0
0 0 0 ?I
0 ?1 I 0 0
? ? ? ?
Sa 0 0 0 ?000
? 0 Sa 0 0? ?0 ? 0 0?
Sa = ? ? ?, ?4 = ? ? ?
? 0 0 ? 0 ?;
?0 0 Sa 0 ?
0 0 0 Sa 000?
116 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

при ?2 = ?1, ?0 , ?1 , ?3 = ±1
? ? ? ?
I 0 00 0 I 0 0
?0 0? ? 0?
?3 I 0 I 0 0
r1 = ? ?, r2 = ? ?,
?0 0? ? I?
?I
0 0 0 0
??3 I
0 0 0 0 0 I 0
? ?
0 0 ?0 I 0
?0 0 ? 0 ?1 I ?
0
r3 = ? ?,
?I 0?
0 0
0 ?1 I 0 0
? ? ? ? (58)
I 000 Sa 0 0 0
?0 ?I 0 0 ? ?0 0?
Sa 0
r1 = ? ?, Sa = ? ?,
?0 0 I 0? ?0 0?
0 Sa
0 0 ?I
0 0 0 0 Sa

<< Предыдущая

стр. 26
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>