<< Предыдущая

стр. 27
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


где Sa — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), 0 и I —
(2s + 1)-рядные единичная и нулевая матрицы; ? — матрицы, определяемые с
точностью до знака соотношениями [27]
?sa = ?s? ?, ?2 = (?1)2s . (59)
a

Доказательство. Рассмотрим соотношения (51) и (52). Используя лемму Шура
и принимая во внимание, что представления алгебры (51) можно записать в виде
прямой суммы матриц Паули, получаем неприводимые представления соотношений
(51), (52) в форме
I 0 0 I Sa 0
(60)
r0 = , r2 = , Sa = ,
?I
0 I 0 0 Sa
где Sa , I и 0 — матрицы, определяемые в формулировке теоремы.
Рассмотрим теперь соотношения (51)–(53). Так как операторы Sa , r0 и r2 всегда
можно представить в виде прямой суммы матриц (60), нетрудно показать, что
?6 = ±? и что неприводимые решения системы соотношений (51)–(53) задаются
формулами (60) и (61):
I 0
? = ±1. (61)
r1 = ? ,
0 ?3 I
Наконец, представляя r1 , r2 и r0 , Sa в виде прямой суммы матриц (56), (57),
учитывая соотношения
? ? ?
r1 = r1 , r2 = r2 , r0 = r0
и используя преобразования эквивалентности
rk > rk = V rk V ?1 r3 > r3 = V r3 (V ?1 )? ,
(k = 3),
получаем неприводимые решения соотношений (51)–(54) в виде (56)–(59).
Заметим, что значения параметров ?µ следующим образом связаны со свой-
ствами матриц rµ :
r3 = ?0 (?1)2s .
2
(62)
r1 r2 = ?3 r2 r1 , r1 r3 = ?2 r3 r1 , r2 r3 = ?1 r3 r2 ,
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 117

Формулы (46), (52)–(54) задают все возможные (с точностью до эквивалентно-
сти) представления операторов P , T и C, удовлетворяющих условиям (40)–(45),
(47), (48). Из (40)–(45), (47), (48) заключаем, что

(63)
M = r0 m.

Следовательно, неприводимые проективные представления полной группы Га-
лилея (30), соответствующие m = 0, нумеруются числами ?, s, m, ?µ , ? и
задаются формулами (29), (48), (50), (56)–(58), (63).
?
Отметим, что представления подгруппы группы G (включающей преобразова-
ния (14), (15), (26) и произведение преобразований CT , где C и T заданы в (27) и
(28)), найдены в работе [19].

2. Дифференциальные уравнения второго порядка
для частиц с произвольным спином
В этом разделе получены два класса галилеевски-инвариантных систем диффе-
ренциальных уравнений второго порядка для частиц произвольного спина и дана
их лагранжева формулировка.
Постановка задачи. Уравнение Шредингера (1) инвариантно относительно ра-
сширенной группы Галилея и описывает движение свободной бесспиновой части-
цы. Естественно, возникает вопрос, существуют ли уравнения вида

?
?(t, x) = Hs (p)?(t, x), (64)
i
?t
где Hs (p) — некоторый дифференциальный оператор, которые, как и уравне-
ние (1), обладают галилеевской симметрией, но описывают частицы с произволь-
ным значением спина. Выводу таких уравнений и посвящен настоящий раздел.
Определение 1. Уравнение (64) галилеевски-инвариантно, если оператор L =
?
i ? Hs (p) удовлетворяет условиям (2), где {QA } — совокупность операторов
?t
{P0 , Pa , Ja , Ga , M }, удовлетворяющих алгебре (6)–(10).
Будем искать инвариантные уравнения (64) в пространстве 2(2s + 1)-компо-
нентных квадратично-интегрирующих функций:
? ?
?1 (t, x)
? ?
?2 (t, x)
? ?
?(t, x) = ? ?n ? L2 .
?, (65)
.
? ?
.
.
?2(2s+1) (t, x)

Задачу описания таких уравнений решим в двух, вообще говоря неэквивален-
тных подходах. В первом подходе (I) задача формулируется следующим образом:
I
найти все возможные (с точностью до эквивалентности) операторы Hs , удовле-
творяющие условию галилеевской инвариантности (2), если генераторы группы
Галилея имеют вид (36), где

sa 0
(66)
Sa = , ?a = k(?1 + i?2 )Sa ,
0 sa
118 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

sa — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), ?1 и ?2 —
2(2s + 1)-рядные матрицы Паули:

I 0 0 I
?0 = , ?1 = ,
0 I I 0
(67)
?I
0 I 0
?2 = , ?3 = i ,
?I
I 0 0

I и 0 — (2s + 1)-рядные единичные и нулевые матрицы; k — произвольный ком-
плексный параметр.
Формулы (36), (66) задают самый общий (с точностью до эквивалентности)
вид генераторов группы Галилея, соответствующих локальным преобразованиям
(38) волновой функции (65).
I
Ниже покажем, что операторы Hs всегда можно выбрать такими, чтобы урав-
нение (64) было инвариантно также относительно произведения преобразований
P · T · C, где операторы P , T и C заданы в (50) и (56).
Подставляя (36), (64) в (2), убеждаемся, что уравнение (64) удовлетворяет
I
условию галилеевской инвариантности, если гамильтониан Hs удовлетворяет усло-
виям
I I
(68)
[Hs , Pa ] = [Hs , Ja ] = 0,

I
(69)
[Hs , Ga ] = iPa ,

где Pa , Ja , Ga — генераторы (36).
Во втором подходе (II) задача сводится к нахождению всех возможных диффе-
II
ренциальных операторов Hs , таких, чтобы операторы

?
Pa = pa = ?i
II II II
M II = ?1 m,
P 0 = Hs , ,
?xa (70)
= (x ? p)a + Sa , = tpa ? M xa +
II
GII II
Ja ?a
a

II
удовлетворяли алгебре (6)–(10). Здесь ?1 — одна из матриц Паули (67); ?a —
некоторые операторы (явный вид которых нужно найти); Sa — матрицы (66).
Можно показать, что формулы (70) задают самый общий (с точностью до экви-
валентности) вид генераторов группы G, соответствующих значениям инвариан-
тных операторов (13) |c2 | = m, c3 = m2 s(s + 1), при котором уравнение (60)
инвариантно относительно преобразования P · T , где P и T определены в (50),
(56) при ?3 = ?1.
Потребуем, чтобы генераторы (70) были эрмитовы относительно обычного при-
нятого в квантовой механике скалярного произведения (32) (где ?(t, x) — 2(2s+1)-
компонентные функции (65)). Существенное отличие представления (36) от (70)
состоит в том, что генераторы Hs и GI оказываются неэрмитовыми относительно
I
a
(32), но эрмитовыми в гильбертовом пространстве со скалярным произведением

d3 x ?† M ?2 ,
? (71)
(?1 , ?2 ) = 1
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 119

?
где M — некоторый положительно определенный дифференциальный оператор,
?
или относительно индефинитной метрики (71), M — некоторая положительно не-
?
определенная числовая матрица. Явный вид M определен ниже. Усложнение ме-
трики — следствие локальных трансформационных свойств (38) функции ?(t, x).
II
Потребуем, чтобы гамильтониан Hs удовлетворял условию
2 2
II
= m + p2 /2m (72)
Hs .
Это эквивалентно требованию, чтобы внутренняя энергия частицы (собственные
значения инвариантного оператора G1 (13)) совпадала с ее массой.
Итак, задача описания галилеевски-инвариантных уравнений вида (64) своди-
тся к решению системы коммутационных соотношений (68), (69) для операторов
Hs и Pa , GI , Ja , M I (36), (66) и соотношений (6)–(10) для генераторов (70).
I I I
a
Явный вид гамильтонианов Hs . Решение задачи 1 приведем в виде следую-
II

щей теоремы.
Теорема 3. Все возможные (с точностью до эквивалентности) гамильтонианы
I
Hs , удовлетворяющие совместно с генераторами (36), (66) коммутационным
соотношениям (68), (69), задаются формулами
1
I
(73)
Hs = ?1 am + 2iak?3 Sa pa + Cab pa pb ,
2m
a 1
?I
Hs = (?1 ? i?2 )m + ?3 am ? 2?k(i?1 ? ?2 )Sa pa + (74)
? a Cab pa pb ,
2 2m
где
Cab = ?ab ? 2ak 2 (?1 + i?2 )(Sa Sb + Sb Sa ), (75)
a, a и k — произвольные параметры.
?
I
Доказательство. Общий вид гамильтониана Hs проще найти в представлении,
I
где ?a = 0. Переход к такому представлению осуществляется с помощью преобра-
зования
= V Hs V ?1 , = V Pa V ?1 = pa ,
H s > Hs Pa > P a
I I I I I I
(76)
Ja V ?1 GI V ?1
> > = tpa ? mxa ,
I I I I
GI GI
Ja Ja =V = Ja , =V
a a a

где
(77)
V = exp[(i/m)?a pa ] = 1 + (i/m)?a pa .
Преобразование (76), (77) сводит генераторы (36) к прямой сумме генерато-
ров (31).
I
Из (68), (69) и (76) находим общий вид оператора Hs :
I
= p2 /2m + A, A = ?µ aµ m, (78)
Hs
где ?µ — матрицы (67); aµ — произвольные комплексные коэффициенты.
Таким образом, в представлении (76) уравнение (64) принимает вид:
?
? = p2 /2m + ?µ aµ m ? , (79)
i ? = V ?,
?t
120 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

а уравнение в исходном ?-представлении можно получить из (79) с помощью
преобразования, обратного (76), (77).
Покажем, что матрицу A (78) можно свести к одной из следующих форм:

A = ?3 am + (a/2)(?1 ? i?2 )m (80)
?

или

(81)
A = ?1 am,

где a, a — произвольные коэффициенты.
?
Действительно, коэффициент a0 всегда может быть обращен в нуль с помощью
унитарного преобразования

<< Предыдущая

стр. 27
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>