<< Предыдущая

стр. 28
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

> exp(ia0 mt) Hs exp(?ia0 mt)+
I I
Hs
(82)
?
? a0 m.
I
+i exp(ia0 mt) exp(?ia0 mt) = Hs
?t
Далее имеется три возможности:

A ? 0, (83)
ab = 0, b = 1, 2, 3,

A2 = a2 + a2 + a2 = 0, (84)
ab = 0,
1 2 3

A2 = a2 + a2 + a2 = a2 = 0. (85)
1 2 3

Формула (83) совпадает с (80) при a = a = 0. Случай (84) соответствует неу-
?
нитарному представлению расширенной группы Галилея (инвариантный оператор
C1 = 2mP0 ? Pa Pa = 2m2 A задается нильпотентной матрицей) и поэтому должен
быть отброшен.
Рассмотрим третью возможность — (85). Пусть a2 + a2 = 0, тогда преобразова-
?1 ?2
ние

A > V1 AV1?1 , V1?1 = b?i?3 c?(?1 +i?2 )d,(86)
V1 = b+i?3 c+(?1 +i?2 )d,
1/2
a2 (a1 ? ia2 )
a1 + 2d2
1
d= 3 2
? = arctg , (87)
b = cos ?, c = sin ?, ,
a2 ? 2id2 4a(a1 + a2 )
2 2

приводит матрицу A (78) к форме (81). Если же a2 + a2 = 0, то посредством
1 2
преобразования A > V2 AV2?1 , где
f f
V2?1 = 1 ? (?1 + i?2 ) ,
V2 = 1 + (?1 + i?2 ) ,
2 2
(88)
a1 /a3 , если a2 = ia1 ,
f=
если a2 = ?ia1 ,
0,

матрица (82) приводится к виду (80).
Операторы (86) и (88) удовлетворяют условиям
?1
V? ?a V? = ?? ?a , (89)
? = 1, 2,
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 121

где ?a — матрицы (66), а ?? — числовые коэффициенты, причем ?1 = exp(2i?),
?2 = 1, параметр ? задан в (87). Нетрудно убедиться, что не существует операто-
ра, удовлетворяющего одному из условий (89) и преобразующего (80) к форме (81).
Подвергая операторы (78), (80), (81) преобразованию, обратному (76), прихо-
дим к гамильтонианам (73), (74). Операторы (73), (74), очевидно, удовлетворяют
условиям (68), (69). Кроме того, эти операторы исчерпывают все возможные ре-
шения соотношений (36), (66), (68), (69) с точностью до преобразований экви-
I ?1 ?1
валентности Hs > V? Hs V? + i(?V? /?t)V? , где V? — числовые матрицы (88),
I

не изменяющие согласно (89) общего вида генераторов (36), (66). Итак, теорема
доказана.
Таким образом, мы получили галилеевски-инвариантные дифференциальные
уравнения в форме (64), (73), (74). Инвариантность этих уравнений относительно
преобразований Галилея (14), (38) можно проверить непосредственно. Действи-
тельно, используя соотношение (см. (66))

exp(?i?a va ) = 1 ? i?a va , (90)

получаем, что операторы (73), (74) удовлетворяют условиям
?
exp[if (t, x)]D(?, v) i ? Hs (p) ?
I
?t
(91)
?
?D?1 (?, v) exp[?if (t, x)] = i ? Hs (p ),
I
?t
?
где Hs (p ) — гамильтонианы, получаемые из (73), (74) заменой pa > pa = ?i
I
.
?xa
Из (91) следует, что ? (t , x ) (38) удовлетворяет такому же уравнению, как и
непреобразованная функция ?(t, x):
?
? (t , x ) = Hs (p )? (t , x ).
I
i
?t
Нетрудно убедиться (проще всего это сделать в представлении (76)), что опе-
раторы Казимира (13), построенные из генераторов (36), имеют следующие соб-
ственные значения: c1 = ±m, c2 = m, c3 = m2 s(s + 1). Итак, уравнения (64), (73),
(74) можно интерпретировать как уравнения движения свободной нерелятивист-
ской частицы с массой m, спином s и внутренней энергией ±m.
Лагранжева формулировка. Формулы (73), (74) задают нерелятивистские га-
мильтонианы для частицы с произвольным спином. Эти гамильтонианы опреде-
лены с точностью до произвольных параметров a, a и k, которые можно выбрать
?
такими, чтобы уравнения (64), (73), (74) были инвариантны относительно антиу-
нитарного преобразования ?? = P ·T ·C, где операторы P , T и C заданы формулами
(50):

?(t, x) > ?? ?(t, x) = r?? (?t, ?x), r = r1 r2 r3 .
?I
I
Необходимым и достаточным условием такой инвариантности для Hs или Hs яв-
ляется одновременное выполнение соотношений

a? = ±a, k ? = ±k a? = a, k ? = k.
или (92)
a = 0, ? ?
122 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

При этом

?3 ?2 , если a? = ?a, k ? = ?k a? = a, k ? = k,
или a = 0, ? ?
r=
если a? = a, k ? = k,
?2 ,

где ?2 — матрицы, заданные в (56), (59).
При ограничениях на параметры a, a и k, задаваемых формулами (92), урав-
?
нения (64), (73), (74) инвариантны относительно группы G ? F , где F — группа,
состоящая из двух элементов: F = {?? , I}, где I — тождественное преобразова-
ние. Отметим, однако, что эти уравнения неинвариантны относительно каждого
из преобразований (50) в отдельности.
Согласно лемме 1 уравнения (64), (73), (74) инвариантны также относительно
алгебры Ли группы Шредингера, базисные элементы которой включают помимо
генераторов Pa , Ga Ja и M (36) также операторы
2
?0 = p , 3i 1
?
D = tP0 ? xa pa +
P + ?a pa ,
2m 2 m (93)
1
?
A = t2 P0 ? tD ? mx2 + ?a xa .
2
?
Операторы Pa , Ja , Ga , M (36) и P0 , D, A (93) удовлетворяют алгебре (6)–(11).
Гамильтонианы (73), (74) и генераторы (36), (66) неэрмитовы в скалярном
произведении (32). Однако гамильтонианы (73) эрмитовы в метрике (71), где по-
?
ложительно определенный оператор M равен
2
S a pa S a pa
M = V † V = 1 + [i(k ? ? k)?1 ? (k ? + k)?2 ] + 2k ? k(1 ? ?3 )
? .
m m
Кроме того, если параметры a, a и k удовлетворяют условиям (92), гамильто-
?
?
нианы (73), (74) эрмитовы также в индефинитной метрике, когда M в (71) имеет
вид:

если a? = a, k ? = k или k ? = k, a? = a, a = 0,
?1 , ? ?
? (94)
M =?=
если a? = ?a, k ? = ?k.
?2 ,

Если выполняется (94), то уравнения (64), (73), (74) можно получить из вари-
ационного принципа. Действительно, выбирая лагранжиан L0 (t, x) в виде
?
i
? ?? ? ? ? ? ? am??1 ?+
?
L0 (t, x) = ?
2?t ?t
(95)
? ?
?? ?? 1 ?? ??
? = ?† ?,
?? ?
? ? 3 Sa ? ?
+ak ??3 Sa Cab ,
?xa ?xa 2m ?xb ?xb
I
если Hs задается формулой (73), и
?
i
? ?? ? ? ? ? + m? a (?1 ? i?2 ) + a?3 ?+
?
L0 (t, x) =?
2
?t ?t 2
(96)
? ?
?? ?? 1 ?? ??
a?
+2?k ?(?2 ? i?1 )Sa ? (?2 ? i?1 )Sa ? ? Cab ,
?xa ?xa 2m ?xa ?xb
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 123

если гамильтониан имеет вид (74), можно убедиться, что уравнения Лагранжа–
Эйлера для функций (95), (96) совпадают с уравнениями (64), (73), (74) для
?
?(t, x). Для ?(t, x) получаем уравнение
?? T
?
I
i ? = Hs ?,
?t
T
I
где Hs — операторы, которые можно получить из (73), (74) с помощью опера-
?I
I
ции транспонирования всех входящих в Hs и Hs матриц.
Кроме того, легко показать, что формулы (95), (96) задают действительные
?
функции от ?, ? и их первых производных, инвариантные относительно преобра-
зований Галилея (38), (66), и, следовательно, L0 (t, x) можно интерпретировать
как лагранжиан свободной нерелятивистской частицы с произвольным спином s.
Явный вид гамильтонианов Hs . Найдем теперь дифференциальные операто-
II
II
ры Hs , удовлетворяющие совместно с генераторами (70) соотношениям (6)–(10),
(72).
Теорема 4. Все возможные (с точностью до эквивалентности) дифференци-
II
альные операторы Hs , эрмитовые в метрике (32) и удовлетворяющие услови-
ям (6)–(10), (70), (72), задаются формулами
(S · p)2
p2
?
II
sin2 ?s +
Hs = ?1 m + 2
2m ms
v (97)
(S · p)2
p2
2 sin ?s
S · p ? ?3 as
+?2 + bs ,
2ms2
s 2m
где
a1/2 = sin 2?1/2 , b1/2 = 0, a1 = 1, b1 = sin 2?1 ,
1/2
5 1 3 1
= b3/2 ? sin 2?3/2 = ? sin 2?3/2 ? sin ?3/2 1 ? sin ?3/2 (98)
a3/2 ,
4 8 4 9
as = bs = ?s = 0, s > 3/2,
а ?1/2 , ?1 , ?3/2 — произвольные действительные параметры.
II
Доказательство. Сначала покажем, что операторы Hs могут включать произво-
N
II

<< Предыдущая

стр. 28
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>