<< Предыдущая

стр. 29
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

дные не выше второго порядка. Действительно, пусть Hs = Hi , где Hi содер-
i=0
жит производные только i-го порядка. Тогда из (72) получаем:

или если (99)
HN HN = HN HN = 0 HN = 0, N > 2.
II
Представим искомые дифференциальные операторы Hs в виде разложения по
спиновым матрицам и 2(2s + 1)-рядным матрицам Паули (67):
3
(S · p)2
p2
+ cµ S · p + dµ
II
(100)
Hs = aµ m + bµ ?µ ,
2m 2m
µ=0

где aµ , bµ , cµ , dµ — произвольные действительные коэффициенты. Используя опе-
раторы ортогонального проектирования [16, 17]
(S · p)p?1 ? r
r, r = ?s, ?s + 1, . . . , s,
?r = ,
r?r
r =r
124 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

удовлетворяющие условиям ортогональности и полноты
k
S·p
k
?r ?r = ?rr ?r , ?r = 1, r ?r = ,
p
r r

формулу (100) можно переписать в виде
3 s
p2
II 2
(101)
Hs = aµ m + bµ + r dµ + rpcµ ?µ ?r .
2m
µ=0 r=?s

Операторы (101), очевидно, удовлетворяют условиям (68). Потребуем, чтобы
выполнялось (77). Подставляя (101) в (72), используя ортогональность проекторов
?r и приравнивая независимые слагаемые, получаем, что ar , br , cr и dr должны
удовлетворять одной из следующих систем уравнений:
3 3
a2 r2 c2 + ai bi + r2 di
= 1, = 1,
i i
i=1 i=1
(102)
3 3 3
2
ci r bi + r2 di = 0, bi + r 2 d i
rci ai = 0, =1
i=1 i=1 i=1

или

(103)
a0 = b0 = 1, d0 = c0 = ai = bi = ci = di = 0, i = 1, 2, 3.

Общее решение системы алгебраических уравнений (102) (с точностью до ли-
нейных преобразований эквивалентности) задается формулами

a1 = 1, a0 = a2 = a3 = 0,
b1 = 1, b3 = as , b0 = b2 = 0,
v
2 sin ?s (104)
c2 = , c0 = c1 = c3 = 0,
s2
bs
d1 = ?(c2 )2 , d3 = 2 , d0 = d2 = 0,
s
где as , bs , ?s заданы в (98). Можно показать, что уравнения (103) несовместны с
(6)–(10).
Подставив (104) в (100), приходим к гамильтонианам (97). Для завершения
II
доказательства теоремы достаточно теперь указать явный вид операторов ?a , при
котором операторы (70) удовлетворяют соотношениям (10), (57). Нетрудно убеди-
II
ться, что ?a можно выбрать в форме

?a = [U, ?1 xa m]U † ,
II
(105)

где
II
p2
E + Hs ? 1
(106)
U= ?r , E =m+
2m
2
2E 2E ? pr
sin ?s
ms
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 125

есть оператор, диагонализующий гамильтонианы (97) и генераторы (70):

U + GII U = tpa ? ?1 mxa ,
II
U + Hs U = ?1 E, a
(107)
II II + II II
U + Ja U = Ja , U Pa U = Pa .

Теорема доказана.
Таким образом, мы получили гамильтонианы нерелятивистской частицы со спи-
II
ном s в виде (97). Уравнения (64) с гамильтонианами Hs инвариантны относи-
тельно алгебры Ли расширенной группы Галилея (70), а значит, и относительно
алгебры Ли группы Шредингера, базисные элементы которой задаются формулами
(12), (70). Эти уравнения инвариантны также относительно дискретного преобра-
зования ? = P · T , где P и T определены в (50)

?(r, x) > ??(t, x) = ?2 ?(?t, ?x). (108)

Здесь ?2 — одна из матриц (67). Можно показать, что уравнения (64), (97) инва-
риантны относительно каждого из преобразований (50), но только в том случае,
если ra задаются не числовыми матрицами, но некоторыми интегродифференци-
альными операторами.
Отметим, что в случае s = 1/2, ?1/2 = ?/4, k = ?i, a = 1 уравнения (64), (73)
и (64), (97) можно записать в компактной форме:

p2
(?µ pµ ? m) ?(t, x) = i?4 ?(t, x) (109)
2m
и
p2
(?µ p ? m) ?(t, x) = (1 + ?4 ? ?0 ) ?(t, x),
µ
(110)
2m
где

?a = ?2i?2 Sa ,
?0 = ?1 , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3

суть матрицы Дирака.
Уравнения (109), (110) отличаются от релятивистского уравнения Дирака толь-
ко наличием слагаемых в правой части, которые, очевидно, нарушают инвариан-
тность относительно группы Пуанкаре, но обеспечивают инвариантность соответ-
ствующих уравнений относительно группы Галилея.
Для решения конкретных задач с использованием полученных выше уравнений
I II
может понадобиться явный вид матриц Sa , входящих в гамильтонианы Hs и Hs .
Матричные элементы генераторов Sa в базисе Гельфанда–Цетлина [28] приведены
в формулах (149), (150). Приведем также уравнения (64), (73) для s = 1/2, 1 в
покомпонентной записи:
1. s = 1/2, ?(t, x) — столбец (?1 , ?2 , ?1 , ?2 ),

p2 a2 k 2 2
?
i? ? = am? + iak? · p? ? p ?,
?t 2m 2m
(111)
p2
p
i? ? = am? ? iak? · p?,
?t 2m
126 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где ? и ? — двухкомпонентные спиноры:
?1 ?1
?= , ?= ,
?2 ?2
?a — матрицы Паули.
2. s = 1, ?(t, x) — столбец (?1 , ?2 , ?3 , ?1 , ?2 , ?3 ),
p2 ak 2 2
?
i? ? = am? ? 2akp ? ? ? p ? ? p(p · ?) ,
?t 2m m
(112)
p2
?
i? ? = am? + 2akp ? ?,
?t 2m
где ? и ? — векторы с компонентами ?1 , ?2 , ?3 и ?1 , ?2 , ?3 . Уравнения (112)
совпадают с (64), (73), если матричные элементы генераторов Sa выбрать в виде
(Sa )bc = ?i?abc , (113)
где ?abc — абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга.

3. Уравнения первого порядка
Здесь рассматриваются системы дифференциальных уравнений в частных прои-
зводных первого порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида
L?(t, x) = 0, L = ?µ pµ + ?5 m, (114)
где ?(t, x) — вектор-столбец:
? ?
?1 (t, x)
? ?2 (t, x) ?
? ?
?(t, x) = ? n < ?,
?,
.
? ?
.
.
?n (t, x)
?µ , ?5 — некоторые числовые матрицы.
Имеется хорошо разработанная теория уравнений вида (114), инвариантных
относительно преобразований из группы O(3) и группы Лоренца [28], и в то
же время мало изучены системы дифференциальных уравнений первого порядка,
инвариантные относительно группы Галилея.
Построению галилеевски-инвариантных систем дифференциальных уравнений
первого порядка для частиц с произвольным спином посвящен этот раздел. Сре-
ди полученных ниже уравнений имеются такие, которые, в отличие от уравнений
ЛХГ, описывают спин-орбитальное и дарвиновское взаимодействие частицы с по-
лем.
Основные определения и постановка задачи. Рассмотрим системы диффе-
ренциальных уравнений (114) и определим условия, которым должны удовлетво-
рять матрицы ?µ , ?5 чтобы эти уравнения были инвариантными относительно
преобразований Галилея.
Обобщая свойства симметрии уравнения Шредингера (1), будем говорить, что
уравнение (114) инвариантно относительно группы Галилея, если оператор L (114)
удовлетворяет условиям (2), где QA — генераторы произвольного представления
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 127

расширенной группы Галилея. Потребуем, чтобы генераторы группы Галилея на
множестве решений уравнения (114) имели локально-ковариантную форму (36),
а операторы fA задавались числовыми матрицами (в этом и только в этом слу-
чае конечные преобразования Галилея для ?(t, x) имеют локальную форму (38).
Тогда условие галилеевской инвариантности можно сформулировать следующим
образом.
Определение 2. Уравнение (114) локально-инвариантно относительно группы
Галилея, если оператор L (114) удовлетворяет условиям
? ?
Ja L ? LJa = 0, Ga L ? LGa = 0, (115)
??
где Ja , Ga и Ja , Ga — генераторы расширенной группы Галилея в представле-
нии (36):
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa + ?a ,
(116)
? ? ?
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa + ?a ,
?
??
a Sa , ?a (и Sa , ?a ) — матрицы, образующие представления (в общем случае
неэквивалентные) алгебры Ли однородной группы Галилея (37).
Подставив генераторы (116) и оператор L из (114) в (115), получаем условие
локальной галилеевской инвариантности уравнений (114) в виде следующих соо-
тношений для матриц ?k (k = 0, 1, 2, 3, 5):
? ?
Sa ?0 ? ?0 Sa = 0, Sa ?5 ? ?5 Sa = 0, ?a ?0 ? ?0 ?a = 0,
?
(117)
?a ?5 ? ?5 ?a = ?i?a , ?a ?b ? ?b ?a = ?i?ab ?0 ,
? ?
??
где Sa , ?a и Sa , ?a — матрицы, удовлетворяющие алгебре (37).
Таким образом, задачу описания галилеевски-инвариантных уравнений первого
порядка вида (114) можно свести к решению матричных уравнений (37), (117).
Особый интерес для физики представляют уравнения, допускающие лагран-
жеву формулировку. Исследуем дополнительные ограничения, налагаемые на ма-
??
трицы ?k , Sa , ?a , Sa , ?a требованием, чтобы уравнение (114) могло быть полу-
чено при использовании принципа минимального действия из соответствующим
образом подобранного лагранжиана. Для этого сформулируем сначала следую-
щее утверждение, которое позволяет выделить классы эквивалентных галилеевс-
ки-инвариантных уравнений (114).
??
Лемма 2. Пусть ?a , Sa , ?a , Sa , ?k — совокупность матриц, удовлетворяющих
условиям (37), (117). Тогда матрицы
?k = B?k , Sa = S a , ?a = ?a ,

<< Предыдущая

стр. 29
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>