<< Предыдущая

стр. 30
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(118)
?a = B?a B ?1 , Sa = B Sa B ?1 ,
? ?
?
где B — произвольная невырожденная матрица, также удовлетворяют урав-
нениям (37), (117).
Для доказательства леммы достаточно умножить каждое из уравнений (117)
слева на матрицу B и воспользоваться соотношением B ?1 B = 1.
Согласно лемме 2, каждое решение системы соотношений (117) определяет це-
лый класс уравнений, локально инвариантных относительно группы Галилея
B(?µ pµ + ?5 m)?(t, x) = 0, (119)
128 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где B — произвольная невырожденная матрица.
Потребуем, чтобы уравнения (114) допускали лагранжеву формулировку. Об-
щий вид лагранжиана, соответствующего уравнению (114) (с точностью до членов,
не вносящих вклада в уравнения движения), задается формулой
?
i ?? ??
? ?
? ?µ ? ? ??5 m?, (120)
L= ??µ
2 ?xµ ?xµ
где ? = ?† B, а B — некоторая неособенная матрица. Из условия вещественности
?
лагранжиана получаем, что
(B?µ )† = B?µ , (B?5 )† = B?5 . (121)
В силу леммы 2 и с учетом (121) делаем вывод, что матрицы ?µ , ?5 можно выбрать
эрмитовыми (что соответствует лагранжиану (120) с ? = ?† ). Но тогда из требо-
?
вания инвариантности лагранжиана относительно инфинитезимальных преобразо-
ваний
? > (1 + iGa va )?, ? > (1 + iJa ?a )?, (122)
?
где Ga и Ja заданы формулами (116), получаем следующие условия для матриц Sa
и ?a из (117):
?
† †
? (123)
Sa = Sa , ?a = ?a .
?
Подставляя (123) в (117) и принимая во внимание эрмитовость матриц Sa при-
ходим к системе уравнений
Sa ?0 ? ?0 Sa = 0, (124)

Sa ?5 ? ?5 Sa = 0, (125)

?a ?0 ? ?0 ?a = 0, (126)

?a ?5 ? ?5 ?a = ?i?a , (127)

?a ?b ? ?b ?a = ?i?ab ?0 , (128)

(129)
?k = ?k , k = 0, 1, 2, 3, 5.

Итак, мы получили, что задача описания галилеевски-инвариантных уравне-
ний вида (114), допускающих лагранжеву формулировку, эквивалентна решению
системы уравнений (37), (124)–(129) для матриц ?k , Sa , ?a .
Сформулируем еще одно утверждение, используемое ниже при вычислении яв-
ного вида матриц ?k .
Лемма 3. Пусть матрицы Sa , ?a , ?k удовлетворяют соотношениям (37),
(124)–(129). Тогда совокупность матриц {Sa , ?a , ?k }, где
?k = V † ?k V, (130)
где V — произвольная матрица, коммутирующая с Sa и ?a :
(131)
[V, Sa ] = [V, ?a ] = 0,
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 129

также удовлетворяет уравнениям (37), (124)–(129).
Доказательство. Умножим каждое из соотношений (124)–(129) слева на V † , а
справа на V . В результате, учитывая (131), приходим к уравнениям (124)–(129)
для ?k , определяемых формулой (130).
Если матрица V обратима, то ?k и ?k являются эквивалентными решениями
системы соотношений (124)–(129). Будем искать решения этих соотношений с то-
чностью до преобразований эквивалентности, задаваемых формулами (130), (131).
Каноническая форма уравнений (114). Прежде чем приступать к решению
системы соотношений (37), (124)–(129), исследуем некоторые свойства уравнений
(114), которые можно вывести, не используя явный вид матриц ?k .
Хорошо известно (см. [29]), что релятивистские волновые уравнения вида (114)
(где ?5 — обратимая матрица) могут быть приведены к стандартной (канониче-
?1
ской) форме (включающей только одну матрицу ?0 = ?5 ?0 ):
pµ pµ ? = m?.
?0
Покажем, что галилеевски-инвариантные уравнения (114) также приводятся к
некоторой канонической форме (в которой оператор L выражается только через
две матрицы — ?0 и ?5 ). Для этого подвергнем функцию ?(t, x) из (144) преобра-
зованию ?(t, x) > ? (t, x) = V ?1 ?(t, x), где
V = exp(?i? · p/m). (132)
Функция ? (t, x), очевидно, удовлетворяет уравнению
L = V † LV,
L ? (t, x) = 0, (133)
где L — оператор (114).
Используя формулу Кэмпбелла–Хаусдорфа
1
exp(A† )B exp(A) = {A, B}n ,
n! (134)

{A, B} = [A {A, B} {A, B}0 = B
n n?1
],
и коммутационные соотношения (124)–(128), получаем:
p2
V † ?0 V = ?0 , V † ?a pa V = ?a pa + ?0 ,
m (135)
1 1
V † ?5 V = ?5 + ?a pa + ?0 p2 ,
m 2m
откуда
p2

L = V (?0 p0 ? ?a pa + ?5 m)V = ?0 p0 ? (136)
+ ?5 m.
2m
Подставляя (136) в (133), приходим к уравнению в канонической форме:
p2
?0 p0 ? + ?5 m ? (t, x) = 0. (137)
2m
Итак, произвольное галилеевски-инвариантное уравнение первого порядка
(114) можно преобразовать к системе уравнений второго порядка в форме (137)
130 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

(для уравнений АХГ [5–7] этот факт был установлен в работе [11]). Однако урав-
нения (114) и (137) становятся неэквивалентными после введения минимального
взаимодействия с внешним электромагнитным полем (т.е. после замены pµ >
pµ ? eAµ , где Aµ — 4-вектор-потенциал электромагнитного поля).
Уравнения (137) имеют форму явно инвариантную относительно преобразова-
ний Галилея. Генераторы группы Галилея на решениях уравнений (137) имеют
квазидиагональный вид, задаваемый формулами (31), где Sa — генераторы неко-
торого приводимого представления группы O(3), коммутирующие с матрицами ?0
и ?5 .
Используя представление (137), сформулируем еще одно дополнительное тре-
бование, которое будет налагаться на матрицы ?k . А именно, потребуем, чтобы
выполнялось условие
n
p2 p2
det (?µ p + ?5 m) ? det ?0 p0 ? + ?5 m = c p0 ?
µ
(138)
,
2m 2m
где c — некоторая не равная нулю константа; n — целое число (n = 0).
Условие (138) означает, что уравнение (114) принадлежит параболическому ти-
пу.
Конечномерные представления алгебры Ли однородной группы Галилея.
Приступим к решению системы соотношений (37), (124)–(129).
Рассмотрим сначала соотношения (37), определяющие алгебру Ли однородной
группы Галилея, которая локально-изоморфна группе Евклида E(3). Каждое ре-
шение соотношений (37), т. е. каждый набор конечномерных матриц Sa и ?a ,
удовлетворяющих (37), задает представление этой алгебры.
Группа E(3) не является полупростой, поэтому ее конечномерные представле-
ния неунитарны и не вполне приводимы. Описанию неразложимых конечномерных
представлений алгебры Ли группы E(3) посвящена работа [30]. Однако резуль-
таты, полученные в ней, имеют весьма общую и, по-видимому, не очень констру-
ктивную форму. Кроме того, не все из приведенных в [30] представлений являются
неэквивалентными.
Ниже конструктивно описан класс конечномерных представлений алгебры (37).
Алгебра (37) имеет два инвариантных оператора
(139)
D1 = Sa ?a , D2 = ?a ?a ,
которые в случае конечномерных представлений являются нильпотентными матри-
цами, т.е. удовлетворяют условиям
N N
(140)
D1 = D2 = 0,
где N и N — некоторые положительные целые числа.
Алгебра (37) включает подалгебру O(3), образуемую матрицами Sa . Представ-
ления этой подалгебры хорошо известны и задаются целым или полуцелым числом
s.
Рассмотрим только такие представления алгебры (37), которые при редукции
по алгебре O(3) включают не более двух неэквивалентных представлений. В этом
случае матрицы Sa можно выбрать в виде
?†
?
In ? S a 0
nm
(141)
Sa = Sa = ,
Im ? ?a
?
0
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 131

?
где Sa и ?a — генераторы неприводимых представлений D(s) и D(s ) группы O(3),
т.е. матрицы, удовлетворяющие соотношениям
??
[Sa , Sb ] = i?abc sc , sa sa = s(s + 1),
(142)
[?a , ?b ] = i?abc ?c , ?a ?a = s (s + 1),

In и Im — единичные матрицы размерности n ? n и m ? m, ? — нулевые матрицы
0
с размерностью m ? n, а символ A ? B означает прямое (кронекеровское) произве-
дение матриц. Ограничимся также случаем, когда пространство представления ал-
гебры E(3) включает не более двух ортогональных подпространств, инвариантных
относительно действия оператора (139). Описание указанных выше представлений
дается следующей теоремой.
Теорема 5. Все возможные (с точностью до эквивалентности) неразложимые
конечномерные представления алгебры E(3) (37), включающие не более двух
неэквивалентных представлений подалгебры O(3) и удовлетворяющие допол-
нительному требованию, чтобы инвариантный оператор D1 (139) имел не бо-
лее двух ортогональных собственных подпространств, можно пронумеровать
набором целых чисел (n, m, ?), где

n ? 4, m ? 4, |n ? m| ? 2,
? = 1, 2, nm = 9.

Явный вид соответствующих матриц Sa и ?a задается формулами
(nm?) nm (nm?)
Sa = Sa = Sa , ?a = ?a ,
(143)
?
anm ? Sa anm ? Ka †
1 1 2
(nm1) (nm2) (nm1)
?a = , ?a = ?a ,

anm ? Ka anm ? ?a
2s 3 4

где Sa — матрицы (141); s = s ? 1; Ka — матрицы размерности (2s ? 1) ?
nm

(2s + 1), определяемые соотношениями
?
Ka Sb ? ?b Ka = i?abc Kc ,
(144)
Sa Sb + K † Kb = is?abc Sc + s2 ?ab ,
?? ?
a

anm — матрицы с матричными элементами
l
?
n ? m, i, j, ? n,
? ?i?1,j ,
nm
s?1
[a1 ]ij =
? ?i?1,j , n < m,
s+1
?
? ?(2s ? 1)?1/2 ?i?2,j , n > m, i ? n, j ? m,
?
(2s + 1)?1/2 ?i,j ,
nm
[a2 ]ij = n < m,
?
?
k?i,j+1 , n = m, (145)
(2s ? 1)?1/2 ?i,j , n > m, i ? m, j ? n,
[anm ]ij =
(2s + 1)?1/2 ?i?2,j , n ? m,
3

?
? s + 1? n ? m,
i?1,j ,
s?1
nm
[a4 ]ij =
?
?i?1,j , n<m
132 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где k — произвольный параметр.
Представления D(n, m, ? = 1) и D(n, m, ? = 2) эквивалентны в том и толь-
ко в том случае, если |n ? m| = 1.

<< Предыдущая

стр. 30
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>