<< Предыдущая

стр. 31
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство. Полное доказательство теоремы здесь не приведено. Однако сле-
дует заметить, что формулы (143) определяют общий вид матриц ?a , удовлетво-
ряющих перестановочным соотношениям [?a , Sa ] = i?abc ?c генераторами (141). По-
требуем, чтобы матрицы ?a (143) коммутировали друг с другом, и используем
соотношения [7]:
? ?
Ka Sb ? Kb Sa = i(s + 1)?abc Kc ,
?a Kb ? ?b Ka = i(1 ? s)?abc Kc ,
(146)
† †
Ka Kb ? Kb Ka = ?i(2s + 1)?abc ?c ,
K † Kb ? K † Ka = i(2s ? 1)?abc Sc ,
?
a b

тогда получим следующую систему уравнений для матриц anm :
l
2
(anm ) + (2s ? 1)anm anm = 0,
1 2 3
(s + 1)a1 a2 ? (s ? 1)anm anm = 0,
nm nm
2 4
(147)
(s + 1)a3 a1 ? (s ? 1)a4 a3 = 0,
nm nm nm nm

2
(anm ) ? (2s + 1)anm anm = 0.
4 3 2

Условие, чтобы инвариантный оператор D1 (139) имел не более двух инвариан-
тных собственных подпространств, сводится к требованию, чтобы матрицы anm и
1
anm не были вполне приводимыми.
3
Все неэквивалентные решения соотношений (147) и задаются формулами
(142), (145). При этом большее из чисел (n, m) совпадает с индексом нильпо-
тентности инвариантного оператора D1 (139).
Приведем для полноты явный вид матриц Sa и Ka в базисе |s, s3 , в котором
операторы S 2 и S3 диагональны [7]:
S 2 |s, s3 = s(s + 1)|s, s3 , S3 |s, s3 = s3 |s, s3 ,
S1 |s, s3 = as3 ,s3 +1 |s, s3 + 1 + as3 ,s3 ?1 |s, s3 ? 1 ,
s s
S2 |s, s3 = ias3 ,s3 +1 |s, s3 + 1 ? ias3 ,s3 ?1 |s, s3 ? 1 ,
s s
(148)
s,s?1
K1 |s, s3 = Cs3 |s ? 1, s3 + Cs3 ,s3 ?2 |s ? 1, s3 ? 2 ,
s,s?1

s,s?1
K2 |s, s3 = iCs3 |s ? 1, s3 ? iCs3 ,s3 ?2 |s ? 1, s3 ? 2 ,
s,s?1

K3 |s, s3 = fs3 |s ? 1, s3 ,
s,s?1

где
1
s3 = ?s, ?s + 1, . . . , s, s3 (s3 ± 1) ? s(s + 1),
as3 ,s3 ±1 =
s
2
1
s3 (2s ? s3 ), (2s ? s3 )(2s + 1 ? s3 ),
s,s?1 s,s?1 (149)
fs3 = Cs3 =
2
1
s,s?1
Cs3 ,s3 ?2 = s3 (s3 + 1).
2
Выражения для матриц ?a можно получить из формул (148), (149) заменой
s > s , s = s ? 1.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 133

Явный вид матриц ?k . При решении системы уравнений (37), (124)–(129)
ограничимся случаем, когда матрицы Sa и ?a реализуют неразложимые представ-
ления алгебры (37), описанные в теореме 5.
Рассмотрим сначала представления алгебры (37), соответствующие N ? 3, где
N — индекс нильпотентности инвариантного оператора D1 (139). Потребуем, что-
бы матрицы ?k удовлетворяли условию (138).
Решение задачи приведем в виде следующего утверждения.
Теорема 6. Все возможные (с точностью до эквивалентности) маьрицы ?k ,
Sa , ?a , удовлетворяющие соотношениям (124)–(129), (138)–(140) (с N ? 3) и
условиям теоремы 5, задаются формулами (150)–(153):
? ? ? ?
·· ·· ·
I
?0 = ? · · · ?, ?5 = 2 ? · I ?,
·
c?2 I
· ·· ··
? ? ? ?
c?1 Ka†
?
· ? · ·
Sa Sa
i? ? ? ?
? ? ?, Sa = ? · · ?,
?Sa · · ?
?a = (150)
Sa
s
· ·
?c?1 Ka · · ?a
? ?
· ··
1?
· · ?, c = (2s ? 1)?1/2 ;
?
?a = Sa
2s
··
cKa

? ? ? ?
d?2 I · ·
· ··
?0 = ? · 1 · ?, ?5 = 2 ? · · · ?,
· ·· · ·1
? ? ? ?
?d?1 Ka†
· · ? · ·
Sa
i
?a = ? ?a ? , Sa = ? · ?,
d?1 Ka ·
· (151)
?a
s
· ·
· ??a · ?a
? ?

· dKa ·
1?
· ?, d = (2s + 1)?1/2 ;
· ·
?a =
2s
· ?a ·

? ?
? ? a2
· · ·
2I aI
· · · ·
I ? a2 ?
? ? ?I ?
· · · · · ·
I aI I
? ? ?2 ?
?0 = ? ?, ?5 = 2 ? aI ?,
· · · · · · · ·
I
? ? ? ?
? ? (s ? 1)? ?
? ?
· · · · · ?· · · ?a1 1?
· · · · ·
· · · (s ? 1)? ·
1 (152)
? †?
· · · c(s ? 1)Ka
Sa
? ?

· · · ·
csKa
i? ?
?a = ? ?,
?Sa · · · ·
s? ?
? ?
· ?csKa · · ·
?c(s ? 1)Ka · · · ·
134 В.И. Фущич, А.Г. Никитин
? ?
? ? · · · · ·
· · · ·
Sa
? ?
· · · ·
?· ?
· · · Sa
? ?
Sa
? ?
? , ?a = 1 ? ?
Sa = ? · †
· · ?cKa ·
· · · ? ?;
Sa
Sa
? ? 2s ? ?
?· ? · · · ·
· · · ? ?
cKa
?a
· · · · · · ·
s+1
?a cKa s?1 ?a
? ?
? ?
· · ·
bI
· · · · · (s + 1)I
? (s + 1)I ?
· · · ·
?· ·?
· · · ? ?
? ? ? ?
? ? b2
?5 = ? ?,
· · · b?
?0 = ? · ·· · ?,
? 1
1 ? ?
? ? 2
? ??
b2 ?
?· ·? · ·
·? · b?
? 1?
21 1
1
· ·· · · · · ·
b? ?
1 1
? ?

· · · ?dsKa ·
? ?

· · ?d(s + 1)Ka · ·
i? ?
?a = ? ?, (153)
· · ·
d(s + 1)Ka ?a
s? ?
? ?
· · · ·
dsKa
· · ??a · ·
? ? ? ?

· · · ·
· · · · dKa
Sa
? ·? ? ?

· · ·
1 ? s+1 Sa · · ·
s?1
Sa dKa
? ? ?
Sa = ? · ? , ?a = ? ?,
· · · · · · · ·
?a
? ? 2s ? ?
? ? ? ?
· · · · · · · ·
?a ?a
· · · · dKa · · ·
?a ?a

где символами Sa , ?a и Ka обозначены матрицы размерности (2s+1)?(2s+1),
(2s ? 1) ? (2s ? 1) и (2s ? 1) ? (2s + 1), определяемые соотношениями (144), (146),

<< Предыдущая

стр. 31
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>