<< Предыдущая

стр. 32
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1 и ? — (2s + 1)- и (2s ? 1)-рядные единичные матрицы, а точками — нулевые
1
матрицы соответствующей размерности; a и b — произвольные числа.
Доказательство. Используя лемму Шура заключаем, что общий вид матриц ?0 и
?5 , удовлетворяющих соотношениям (124), (125), (129), (141), задается формулами

y1 ? I x1 ? I
0 0
(154)
?0 = , ?5 = 2 ,
x2 ? 1
y2 ? ? 0
0 1

где x1 , y1 (и x2 , y2 ) — неизвестные эрмитовые матрицы размерности (n ? n) и
(m ? m).
Потребуем, чтобы матрица ?0 удовлетворяла условиям (126). Используя (143),
(154), получаем следующие уравнения для y1 и y2 :
† † †
(anm ) y1 ? y1 anm = (anm ) y2 ? y1 anm = (anm ) y2 ? y2 anm = 0. (155)
1 1 3 2 4 4

Подставляя ?5 (154) и ?a (143) в (127), находим ?a :
B † ? Ka

A ? Sa
i
(156)
?a = ,
?B ? Ka D ? ?a
s
где
† † †
A = (anm ) x1 ? x1 anm , B = (anm ) x1 ? x2 anm , D = (anm ) x2 ? x2 anm .(157)
1 1 2 3 4 4
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 135

Наконец, подставив (143), (154), (156) в (128), приходим к следующей системе
уравнений:

Aanm ? Sa Sb + B † anm ? Ka Kb ? (anm ) A ? Sb Sa +

1 3 1
† †
+ (anm ) BKb Ka = 2s2 y1 ? I?ab ,
3


Aanm ? Sa Kb + B † anm ? Ka ?b ? (anm ) B † ? Sb Ka ?

2 4 1
(158)
† †
? (anm ) D ? Kb ?a = 0,
3


Danm ? ?a ?b ? Banm ? Ka Kb ? (anm ) B † ? Kb Ka ?

4 2 2

? (anm ) D ? ?b ?a = 2s2 y2 ? I?ab .
4



Выражая в (158) с помощью соотношений (144), (146) Ka Kb , Sb Sa , Kb Ka , ?a ?b
через Sa Sb , ?a ?b , Sc , ?c и ?ab I, ?ab , ? и приравнивая матричные коэффициенты
1
при этих линейно независимых операторах, приходим к уравнениям

(a† x1 a1 ? x1 a1 a1 )(2s ? 1) + x1 a3 a2 ? a† x2 a3 + э.с. = 0,
1 3

(2s ? 1)(a† a† x1 ? a† x1 a1 + a† x2 a3 ) + (s ? 1)a† a† x1 ? sx1 a2 a3 = 0,
11 1 3 32
(a† x2 a3 ? x1 a2 a3 ) + э.с. = 2(2s ? 1)y1 ,
3
(159)
a† x1 a2 ) 1)(a† x2 a4
(s ? 1)(x2 a3 a2 ? + (s + 1)(2s ? ? x2 a4 a4 ) + э.с. = 0,
2 4

(2s + 1)(s ? 1)a† x1 a2 + s(s ? 1)x2 a3 a2 + (s2 ? 1)a† a† x2 +
2 23
+(s + 1)(2s ? 1)(a† a† x2 ? a† x2 a4 ) = 0,
44 4


(a† x1 a2 ? x2 a3 a2 ) + э.с. = 2(2s ? 1)y2 ,
2
2a† x1 a2 ? a† a† x1 ? x2 a3 a1 + 2a† x2 a3 ? a† a† x1 ? x2 a4 a3 = 0,
2 21 4 42
2a† x1 a1 ? a† a† x1 ? x2 a3 a1 ? (s ? 1)(a† x2 a3 ? x2 a4 a3 )+
2 21 4
+(s + 1)(a† a† x1 ? a† x1 a1 ) = 0,
21 2

где введены обозначения

A + э.с. = A + A† , ak = anm , k = 1, 2, 3, 4.
k

При заданных a1 , a2 , a3 и a4 формулы (155), (159) определяют систему линей-
ных однородных уравнений для матричных элементов (x? )ij и (y? )ij . Решая эту
систему для матриц ak = anm , заданных формулами (145), приходим к результа-
k
там, сформулированным в теореме 6.
Мы получили четыре неэквивалентных класса галилеевски-инвариантных
уравнений вида (114), где матрицы ?k задаются формулами (150)–(153). Если ма-
трицы ?k имеют вид (150), то функция ?(t, x) имеет 6s + 1 компонент, а уравнение
(114) описывает движение свободной нерелятивистской частицы с произвольным
спином s. Такие уравнения эквивалентны уравнениям Хагена–Герлея [6, 7], а в
случае s = 1/2 совпадают с уравнениями Леви-Леблонда [5].
Уравнения (114), (151) имеют 6s ? 1 компонент и описывают галилеевскую ча-
стицу со спином s = s?1. Ниже показано, что эти уравнения приводят к констан-
те дипольного взаимодействия, отличной от предсказываемой уравнениями Герлея.
136 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Уравнения (114) представляют наибольший интерес в том случае, когда матри-
цы ?k имеют вид (152) и (153). Эти уравнения также можно интерпретировать как
уравнения движения нерелятивистской частицы с произвольным спином. Как бу-
дет показано ниже, именно эти уравнения (в отличие от уравнений ЛХГ) позволя-
ют описать галилеевски-инвариантным образом спин-орбитальное взаимодействие
заряженной частицы с внешним электромагнитным полем (в рамках принципа ми-
нимального взаимодействия).
Приведем решения соотношений (124)–(129) для случая, когда представление
алгебры (37) соответствует N = 4, где N — индекс нильпотентности инвариан-
тного оператора D1 (139). Такая задача имеет нетривиальные решения только для
n = 2, m = 4, s = 1/2. При этом матрицы ?k задаются формулами (154), где
отличные от нуля матричные элементы матриц x1 и x2 имеют вид:
1
(x1 )13 = (x1 )14 = (x1 )22 = (x1 )23 = (x1 )24 =
s+1
1
(160)
= (x1 )31 = (x1 )32 = s(x1 )33 = (x1 )41 = (x1 )42 =
s+1
s
= (x2 )11 = (x2 )12 = (x2 )21 = (x2 )22 = 1.
(s + 1)2
Используя формулы (154), (160) и соотношения (143), (145), (124)–(128), нетру-
дно найти явный вид соответствующих матриц ?0 и ?a .
Приведем некоторые из уравнений (114), (150)–(153) для s = 0, 1/2, 1 в поком-
понентной записи:
p0 ?0 + ip · ? = 0,
(161)
s = 0,
2m? ? ip · ?0 = 0,

p0 ? + i? · p? = 0,
1 ?1 ?1
?= ?= , (162)
s= , ,
2m? ? i? · p? = 0, ?2 ?2
2
?
? p0 ? + p ? ? + a m? + 2am? = 0,
2
?
?
? p ? + p? + a2 m? + 2am(? + ?) = 0,
0 0
(163)
s = 1,
? p · ? + 2am?0 = 0,
?
?
?
?p ? ? + 2am(? + ?) = 0,
где ?a — матрицы Паули; ?µ , ?? , ?? , ?a , ?a , ?µ (µ = 0, 1, 2, 3, ? = 1, 2, a = 1, 2, 3)
— однокомпонентные волновые функции.
К уравнениям (163)–(165) сводятся (при заданных значениях спина s) системы
(114) с матрицами (151), (150) и (152) соответственно. Уравнения (114), (152) при
s = 1 (или, что то же, систему уравнений (163)) можно записать также в виде
a2
1? ? ? ? ? ?
?0 + ?4 p0 + ?0 ? ?4 + 2aI + m ? ?a pa ? = 0,
?0 + ?4
2 2
?
где ?l (l = 0, 1, 2, 3, 4) — матрицы Кеммера–Дэффина.
Уравнения (114) для представлений с произвольным индексом нильпотен-
тности. Выше получены все возможные (с точностью до эквивалентности) ре-
шения уравнений (124)–(129) для представлений алгебры (37), перечисленных в
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 137

теореме 5. Однако в этой теореме описан только некоторый класс представлений
алгебры (37), соответствующий N ? 4, где N — индекс нильпотентности инвари-
антного оператора D1 (139).
Ниже получен класс уравнений, соответствующий произвольным значениям N .
Уравнения выведены с учетом того, что расширенная группа Галилея G является
подгруппой обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4) (группы вращений и сдвигов
в пятимерном пространстве Минковского), и, следовательно, каждое уравнение)
инвариантное относительно группы P (1, 4), автоматически оказывается инвариан-
тным также относительно группы G.
Рассмотрим систему уравнений в частных производных следующего вида:
?
?µ pµ + ? ?(x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, (164)

?
где pµ = ?i ?xµ , µ = 0, 1, 2, 3, 4, ?µ — некоторые числовые матрицы; ? — прои-
?

звольный параметр.
?
Потребуем, чтобы матрицы ?µ удовлетворяли соотношениям

? ? ?
?µ , S?? = i gµ? ?? ? gµ? ?? , (165)

где Sµ? — генераторы группы O(1, 4); gµ? — метрический тензор: gµ? = diag (1,
?1, ?1, ?1, ?1). Если выполняется (165), то уравнение (167) инвариантно относи-
тельно группы P (1, 4) [31].
Как указывалось выше, в этом случае уравнение (167) инвариантно также отно-
сительно группы Галилея. Действительно, делая в (164) замену переменных
1 1
(2?0 ? x4 ) , (166)
x0 = (2?0 + x4 ) ,
x ? x4 = x ?
2 2
так что
? 1? ? ? 1? ?
? (167)
= + , = ,
?x0 2 ? x0
? ? x4
? ?x4 2 ? x0
? ? x4
?
получаем следующее уравнение:
?
?0 p0 ? ?4 p4 ? ?a pa + ? ? (?0 , x4 , x) = 0, (168)
? ? x?
где
? ? 1? ? ? ?
p4 = ?i ?4 = ?0 ? ?4 . (169)
p0 = i
? , ? , ?0 = ?0 + ?4 ,
? x0
? ? x4
? 2
Галилеевскую инвариантность уравнения (168) нетрудно проверить непосредст-
венно, воспользовавшись следующей реализацией генераторов расширенной груп-
пы Галилея:
? ? ?
P0 = ?i Pa = pa = ?i M = p4 = ?i
, , ? ,
? x0
? ?xa ? x4
? (170)
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = x0 pa ? xa M + ?a ,
?
где
1 1
Sa = ?abc Sbc , ?a = (S0a + S4a ).
2 2
138 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

??
Оператор L = ?0 p0 ??4 p4 ? ?a pa и генераторы (170) удовлетворяют условию (2).
?
Накладывая на решения уравнения (168) галилеевски-инвариантное дополни-
тельное условие

p4 ? (?0 , x4 , x) = ???? (?0 , x4 , x) ,
? x? x?

получаем из (168) галилеевски-инвариантное уравнение в форме (114), где
? m = ?/?, (171)

<< Предыдущая

стр. 32
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>