<< Предыдущая

стр. 33
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?a = ?a , ?5 = ?4 + ?I,

I — единичная матрица.
Таким образом, каждому решению системы перестановочных соотношений (165)
можно поставить в соответствие галилеевски инвариантное уравнение (114), где
матрицы ?µ и ?5 задаются формулами (169), (171).
Полное решение соотношений (165), в отличие от аналогичных соотношений
для матриц, определяющих пуанкаре-инвариантные уравнения [28], до сих пор
не получено. Воспользуемся частным решением уравнений (165), предложенным
?
в работе [31]. Обозначим Skl — генераторы неприводимого конечномерного пред-
ставления группы O(1, 5). Тогда матрицы
?
? ? (172)
Sµ? = Sµ? , ?µ = S5µ , µ = 0, 1, 2, 3, 4,

удовлетворяют соотношениям (165). Подставив (175) в (169) и (171) получим ма-
трицы ?k в форме

? ? ? ?5 = S40 ? S50 + ?I. (173)
?a = S5a , ?0 = S40 + S50 /2,

Следовательно, каждому неприводимому представлению группы O(1, 5) мо-
жно сопоставить галилеевски-инвариантное уравнение (114), (173). Генераторы
группы Галилея на множестве решений уравнения (114), (173) имеют локально-
ковариантную форму (36), где

? ? ?
M = m = ?/?, (174)
?a = S4a + S0a /2, Sa = ?abc Sbc /2.

Конечномерные представления группы O(1, 5), которая локально-изоморфна
группе O(6), задаются тремя числами (n1 , n2 и n3 ), одновременно целыми или
?
полуцелыми [28]. Если матрицы Skl из (173) образуют представление D 1 , 1 , 1 222
алгебры Ли группы O(1, 5), то уравнения (114), (173) эквивалентны уравнению
Леви-Леблонда [5] для нерелятивистской частицы со спином s = 1/2. Представле-
ние D(1, 1, 0) приводит к уравнениям (114), (152) для частиц со спином s = 1. При
этом матрицы (172) совпадают с матрицами Кеммера–Дэффина. В общем случае
уравнения (114), (173) описывают мультиплет нерелятивистских частиц со спина-
ми s1 , s2 , . . ., где числа si характеризуют представления группы O(3), входящие в
неприводимое представление D(n1 , n2 , n3 ) группы O(1, 5).
Можно показать, что матрицы (174) удовлетворяют условиям

(?a Sa )2s+1 = 0, (?a Sa )2s = 0, (175)

где s — максимальное значение спина частиц, описываемых уравнениями (114),
(173). Таким образом, найденные здесь уравнения соответствуют представлениям
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 139

алгебры (37) с произвольным значением индекса нильпотентности инвариантного
оператора D1 (139).

4. Нерелятивистская частица с произвольным спином
во внешнем электромагнитном поле
Уравнения движения свободных нерелятивистских частиц могут представлять
реальный интерес для физики только в том случае, если они являются первым ша-
гом на пути описания частиц, участвующих в различного рода взаимодействиях.
Одним из них является взаимодействие заряженной частицы, обладающей спином,
с внешним электромагнитным полем.
Ниже показано, что найденные уравнения в рамках принципа минимального
взаимодействия описывают дипольное, спин-орбитальное и дарвиновское взаимо-
действия заряженной нерелятивистской частицы с внешним полем, т.е. учитывают
все физические эффекты, предсказываемые в порядке 1/m2 релятивистским урав-
нением Дирака. Точно решена задача о движении заряженной частицы с прои-
звольным спином в постоянном магнитном поле.
Уравнения второго порядка для частицы со спином, взаимодействующей
с внешним электромагнитным полем. Выше получены уравнения Шредингера
(64), (73), (74) и (64), (97), описывающие движение свободных нерелятивистских
частиц с произвольным спином. Для того чтобы перейти к описанию движения за-
ряженной частицы во внешнем электромагнитном поле, сделаем в этих уравнениях
обычную замену

pµ > ?µ = pµ ? eAµ , (176)

где Aµ — 4-вектор-потенциал электромагнитного поля. В результате приходим к
уравнениям

?
L(?)?(t, x) = 0, ? Hs (?, A0 ),
?
(177)
L(?) = i
?t
?
где Hs (?, A0 ) — один из гамильтонианов, полученных из (73), (74) или (97) с
помощью замены (176):

?2
+ eA0 + 2iak?3 S · ??
I
Hs (?, A0 )
= ?1 am +
2m
(178)
2ak 2 e
?(?1 + i?2 ) (S · ?)2 ? S · H ,
m 2
a
?I
Hs (?, A0 ) = ?3 am + (?1 ? i?2 )m ? 2?k(i?1 ? ?2 )S · ??
? a
2
(179)
?2
2ak 2 e
?(?1 + i?2 ) (S · ?) ? S · H +
2
+ eA0 ,
m 2 2m

?2 sin2 ?s e
? (S · ?)2 ? S · H ?
II
Hs (?, A0 ) = ?1 m +
ms2
2m 2
v (180)
?2 bs e 2 sin ?s
??3 (S · ?)2 ? S · H S · ?.
as + + ?2
2m 2ms2 2 s
140 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

В формулах (178)–(180) символом H обозначен вектор напряженности магни-
тного поля: H = ?i? ? ?.
Уравнения (177)–(180), очевидно, инвариантны относительны калибровочных
преобразований:
??(t, x)
?(t, x) > ?(t, x) exp[ie?(t, x)], Aµ > Aµ + (181)
.
?xµ
Покажем, что уравнения (177), (178) и (177), (179) инвариантны относительно
преобразований из группы Галилея (14), (38) если вектор-потенциал Aµ преобра-
зуется по галилеевскому закону [5]
A0 > A0 = A0 + v · A, Aa > Aa = Rab Ab , (182)
где Rab — оператор трехмерного поворота (17). Инвариантность уравнения
L(?)?(t, x) = 0, (183)
где L(?) — некоторый линейный оператор, функционально зависящий от ?µ (176);
относительно галилеевских преобразований (14), (38), (182) означает, что пре-
образованная функция ? (t , x ) (38) удовлетворяет такому же уравнению, как и
исходная функция
L(? )?(t , x ) = 0, (184)
где L(? ) — оператор, получаемый из L(?) заменой ?µ > ?µ = ?i ?x ? eAµ , а xa ,
?
µ
t и Aµ задаются формулами (14), (182).
Условие галилеевской инвариантности уравнения (185) можно сформулировать
в виде следующего требования, налагаемого на оператор L(?) [ср. (91)].
Определение 3. Уравнение (183) инвариантно относительно преобразований
из группы Галилея (14), (38), если оператор L(?) удовлетворяет условиям
exp[if (t, x)D(?, v)L(?)D?1 (?, v) exp[?if (t, x)] = L(? ),
? (185)
где f (t, x) — фазовый множитель (18);
??
?
D(?, v) = exp ?iS · ? exp(?i? · v),
?
(186)
D(?, v) = exp (?iS · ?) exp(?i? · v),
??
а Sa , ?a и Sa , ?a — матрицы, реализующие представления (в общем случае
неэквивалентные) алгебры Ли однородной группы Галилея (37).
Если выполняется (185), то (184) непосредственно следует из (14), (38), (182)
и (183).
Используя соотношения
?0 = ?0 + v · ?, ?a = Rab ?b ,
(187)
exp[if (t, x)]?a exp[?if (t, x)] = ?a + mva
и формулу (90), прямой проверкой убеждаемся, что операторы (177) удовлетворяют
?
условию (185), (186), где D(?, v) = D(?, v), а D(?, v) заданы в (39), (66) и,
следовательно, уравнения (177), (178) и (177), (179) галилеевски-инвариантны.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 141

Анализ уравнений (177) удобно проводить в представлении, в котором опера-
торы (180)–(182) квазидиагональны, т.е. коммутируют с матрицей ?1 или ?3 (67).
Как и в случае уравнения Дирака, гамильтонианы (178)–(180) могут быть диа-
гонализованы только приближенно. Ниже покажем, что с точностью до членов
порядка 1/m2 операторы (178), (179) при a = 0, и (180) можно привести к следу-
ющей форме:
?2 S·H
+ eA0 ? eB?1
I
Hs (?, A0 ) = ?1 am + +
2m m
eD2 1 1 ?Ea 1
? S · (? ? E ? E ? ?) + Qab + s(s + 1) div E +
+2 (188)
2m 2 3 ?xb 3
eBD 2 ?Ha 1
S · (? ? H ? H ? ?) ? Qab
+ +o ,
2 m3
m 3 ?xb

?2 1
?I (189)
Hs (?, A0 ) = ?3 am +
? + eA0 + o ,
m3
2m

?2 e sin2 ?s
S·H +
II
Hs (?, A0 ) = ?1 m + + eA0 +
2ms2
2m
e sin2 ?s 1 1 ?Ea
S · (? ? E ? E ? ?) ? Qab ? s(s + 1) div E +
+ 2 s2
4m 2 3 ?xb
v (190)
e 2 sin ?s bs
? as S · (? ? H ? H ? ?)+
+
4m2 s 4s2
v
e 2bs sin ?s ?Ha 1
+ Qab +o ,
24m2 s3 m3
?xb

где E = i[?, ? 0 ] — вектор напряженности электрического поля; Qab — тензор
?
квадрупольного взаимодействия:
1
{3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1)} ; (191)
Qab =
3
B и D — произвольные коэффициенты, следующим образом выражаемые параме-
трами a и k:
B = ak 2 , (192)
D = k.

?I
Если же в (179) a = 0, то приближенный гамильтониан Hs (?, A0 ) имеет стру-
ктуру, аналогичную (188).
Гамильтонианы (188) и (190) содержат слагаемые, соответствующие взаимодей-
ствию точечной заряженной частицы с внешним электромагнитным полем
?2
? + eA0 , а также дипольному (? S · H), спин-орбитальному (? S · (? ?
2m
E ? E ? ?)), дарвиновскому (? div E) и квадрупольному (? Qab ?Ea /?xb ) взаи-
модействиям. Два последние слагаемые (которые P -неинвариантны и могут быть
сделаны как угодно малыми в пределе D > 0, ?s > 0) можно интерпретиро-
вать как магнитное спин-орбитальное и магнитное квадрупольное взаимодействия.
142 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Аналогичную структуру имеют приближенные гамильтонианы, получаемые при
диагонализации релятивистских уравнений для частиц произвольного спина [16,
17].
Подчеркнем, что в отличие от уравнения Дирака галилеевски инвариантные
уравнения (177), (178) и (177), (180) (и гамильтонианы (188), (190)) определе-
ны с точностью до произвольных параметров a, k и ?s , которые могут быть вы-
браны, скажем, из условия соответствия величины констант дипольного и спин-
орбитального взаимодействий экспериментальным данным. Если
(193)
?s = ?/4, a = 1, k = 2, s = 1/2,
то шесть первых слагаемых в (188) и (190) совпадают с гамильтонианом, полу-
чаемым при диагонализации уравнения Дирака [32]. При этом, однако, операто-
ры (188) и (190) содержат дополнительные члены (зависящие от напряженности
магнитного поля), которые можно получить из обобщенного уравнения Дирака,
учитывающего аномальное взаимодействие частицы с полем.
Отметим, что уравнения (177), (178) и (177), (179) можно получить в рамках
лагранжева формализма — если параметры a, a и k удовлетворяют условиям (92).
?
Действительно, делая в лагранжианах (95), (96) минимальную замену ?/?xµ >
?/?xµ + ieAµ , получаем операторы [14]

<< Предыдущая

стр. 33
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>