<< Предыдущая

стр. 34
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

L(t, x) = L0 (t, x) + Lвз (t, x),
(194)
? ? ?
L(t, x) = L0 (t, x) + Lвз (t, x),
? ?
где L0 (t, x) и L0 (t, x) заданы формулами (95), (96), a Lвз (t, x) и Lвз (t, x) равны
соответственно:

? ?
Lвз (t, x) = e ?A0 ? + 2ik ??3 Sa Aa ?+
(195)
?
1 ?? ??
? ?
Cab Ab ? ? i?Aa Cab ? e?Cab Aa Ab ?
+ i ,
2m ?xa ?xb


? ? a?
Lвз (t, x) = e ?A0 ? ? 2?k ?(?1 + i?2 )Sa Aa ?+
(196)
?
i ?? ?? e
? ?
Aa ? ? ?Aa ?
+ Ab Ab ?? .
2m ?xa ?xa 2m

Нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа–Эйлера для функций (194)–
(196) приводят к (177), (178) и (177), (179).
Приведем явный вид операторов, преобразующих гамильтонианы (178), (179)
при a = 0 и (180) к форме (188), (189) и (190) соответственно:
V I = exp iCs exp iBs exp iAI ,
I I
(197)
s

? ?I ?I ?
V I = exp iCs exp iBs exp iAI , (198)
s


V II = exp iCs exp iBs exp iAII ,
II II
(199)
s
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 143

где
v
S·? 2 sin ?s
= ?i?2 k S · ?,
AI II
, As = ?3
s
m 2ms
k 1 1
[S · ?, ? 2 ]+ + ik[2(S · ?)2 + eS · H] + S · E ,
I
Bs = ?3
2m2 2a a
I
k2 2ik i ?Bs
? (S · ?) + ik[S · ?, eS · H]+ + [(S · ?) , eA0 ] +
I 3 2
Cs = ?2 3 ?1 ,
m 3 2m ?t
v
1 bs e 2 sin ?s
as ? 2 + 2 [2(S · ?)2 ? eS · H] + S·E ,
II
Bs = ?2
4m2 2s s
v 2
1 2 sin ?s e sin ?s
S · ?, ? + eS · H
II 2
+ ieas [? 2 , A0 ]?
Cs = ?1 3
8m s s
+
v
4 2 sin3 ?s II
iebs i ?Bs
? (S · ?)3 ? 2 [(S · ?)2 , A0 ] + ?1 ,
s3 s 2m ?t
ik k
?s ?I
AI = (?2 ? i?1 )S · ?, (?2 ? i?1 )S · E,
Bs =
2?m2
m a
?
?BI
ik i
?I (?2 ? i?1 )[? 2 , S · ?] +
Cs = ?3 .
4m3 2m ?t
Гамильтонианы (178)–(180) и (188)–(190) связаны соотношениями
?V ?1
H = V HV ?1 + i V,
?t
где H — один из гамильтонианов (178), (179) или (180), а V — один из операторов
(197), (198) или (199) соответственно.
Введение минимального взаимодействия в уравнения первого порядка.
Осуществив замену (176) в формуле (114), приходим к системам уравнений вида
L(?)?(t, x) = 0, L(?) = ?µ ? µ + ?5 m, (200)
которые также можно интерпретировать как уравнения движения частицы, обла-
дающей спином, во внешнем электромагнитном поле.
Обсудим вкратце свойства уравнений (200), которые можно получить без ис-
пользования явного вида ?-матриц. Нетрудно убедиться, что эти уравнения ин-
вариантны относительно калибровочных преобразований (181). Из соотношений
(124)–(128) непосредственным вычислением получаем, что оператор L(?) (200)
?
удовлетворяет условиям галилеевской инвариантности (185) (где D(?, v) =
[D?1 (?, v)]† ). Наконец, уравнения (200) можно получить с использованием ва-
риационного принципа, исходя из следующего лагранжиана:
? ?
L(t, x) = L(t, x) + ie??µ Aµ ?,
где L(t, x) задается формулой (120).
Для дальнейшего анализа уравнений (200) и физической интерпретации их
решений подвергнем функцию ?(t, x) и оператор L(?) преобразованиям
L(?) > L (?) = V † L(?)V,
? > ? = V ?, (201)
144 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где
?·?
(202)
V = exp i .
m
В результате приходим к эквивалентному уравнению

L (?)? (t, x) = 0. (203)

Найдем явный вид оператора L (?). Используя формулу (134) и коммутацион-
ные соотношения (124)–(128), получаем:
e e ?Ea
V † ?0 ?0 V = ?0 ?0 + ?·E+ ?a ?b ,
2m2
m ?xb
?2 3e e

? · (? ? H ? H ? ?) + ? ? ? · H,
V ?a ?a V = ?a ?a + ?0 + 2
2m 4m m
V † ?5 mV = ?5 m + ?a ?a +
?2
1 e 2
? ? · (? ? H ? H ? ?) + ? ? ? · H,
+ ?0
2m2
2 m 2m
откуда следует непосредственно, что
?2 e 1
L (?) = ?0 ?0 ? ?0 ? · E + ? ? ? · H +
+ ?5 m +
2m m 2
(204)
e ?Ea
+ ? · (? ? H ? H ? ?) .
+ 2 ?0 ?a ?b
m ?xb
Уравнения (203), (204) нельзя получить из (137) заменой pµ > ?µ , но они
содержат дополнительные слагаемые, зависящие от напряженности электромагни-
тного поля. Ниже показано, что эти слагаемые описывают взаимодействия, обу-
словленные наличием у частицы спина.
Уравнения (203), (204) могут описывать различные физические эффекты —
в зависимости от того, какое представление алгебры (37) реализуют матрицы ?a .
Несложный анализ показывает, что если эти матрицы образуют представления, со-
ответствующие N ? 2, где N — индекс нильпотентности инвариантного оператора
D1 (139), то оператор (204) не включает слагаемых, зависящих от напряженности
электрического поля. Действительно, в этом случае выполняется ?a ?b = 0, откуда
(и из соотношений (128)) следует, что

?0 ?a ? 0. (205)

Подставив (205) в (204), получим оператор L (?) в форме

?2 e
L (?) = ?0 ?0 ? ? ? ? · H. (206)
+ ?5 m +
2m 2m
Если H ? 0, а напряженность электрического поля E = 0, то оператор (206)
коммутирует с матрицами спина Sa и, следовательно, уравнение (203) не описыва-
ет взаимодействия спина частицы с электрическим полем. Этот результат можно
сформулировать в виде следующего утверждения.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 145

Лемма 4. Необходимым условием того, чтобы уравнение (200), где ?k — ма-
трицы, удовлетворяющие уравнениям (124)–(129), (37), описывало взаимодей-
ствие спина частицы с электрическим полем, является выполнение соотноше-
ния
(Sa ?a )2 = 0. (207)
Матрицы (150), (151) не удовлетворяют условию (207). Следовательно, урав-
нения (200), (150) и (200), (151) (в число которых входят уравнения ЛХГ) не
описывают взаимодействия (спин-орбитального, квадрупольного и т.д.) спина ча-
стицы с внешним электрическим полем.
Далее увидим, что уравнения (200) с матрицами (152), (153) (для которых со-
отношения (207) выполняются) описывают перечисленные выше взаимодействия.
Рассмотрим теперь подробно уравнения (203), (204) для случаев, когда матри-
цы ?k задаются одной из формул (150)–(153). Обозначив
? ?
?1 (t, x)
? ?
? (t, x) = ? ?2 (t, x) ? ,
?(t, x)
где ?1 , ?2 — (2s + 1)-компонентные, а ? — (2s ? 1)-компонентная функция, и под-
ставив в (203) и (204) явный вид матриц ?k и ?a из (150), приходим к уравнениям
?2
? eg ? 1
?1 (t, x) = + eA0 ? S · H ?1 , (208)
i g= .
?t 2m 2m s
Таким образом, уравнения (150), (200) (уравнения ЛХГ) сводятся к уравнению
Паули (208) для (2s + 1)-компонентной функции ?1 (t, x).
Далее, обозначив
? ?
?(t, x)
? ?
? (t, x) = ? X1 (t, x) ? , (209)
X2 (t, x)
и подставив (209), (151) в (203), (206), получим:
?2 ?·H
?
?
i X1 = HX1 , X2 = ? = 0, H= + eA0 ,
?t 2m 2sm
или в обозначениях s = s ? 1, ? = S
?2 e 1
?g S · H + eA0 , (210)
H= g= .
2m 2m s +1
Следовательно, уравнения (151), (200) также сводятся к уравнению Паули для
частицы с произвольным спином, но предсказывают другое свойство (по срав-
нению с уравнениями ЛХГ) дипольного момента частицы (так как при s = s
факторы g и g не равны друг другу).
Рассмотрим теперь случай, когда матрицы ?k задаются формулами (152). Обо-
значим
? (t, x) — столбец (?1 , ?2 , ?3 , ?1 , ?2 ), (211)
146 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

и подставим (152), (211) в (203), (204). После несложных вычислений приходим к
следующим уравнениям:
?2 e? e 1?
?
L?1 ? ?0 ? S·H + S·E+ S · (? ? H ? H ? ?) +
+
2m 4sm 4sam 2m
(212)
e2 ?
s2 H 2 ? (S · H)2 ?1 = 0,
+ 2 s(2s ? 1)
16am

?
?2 eS · H
1
?2 = ?a?1 , ?3 = ? ?0 ? ? a2 m + ?1 ,
2m 2m 4sm
(213)
(s + 1)eK · H
v
?1 = ? ?1 , ?2 = 0.
8am2 s 2s ? 1

Итак, уравнения (203), (204) с матрицами (152) сводятся к уравнению (212) для
(2s + 1)-компонентной функции ?1 (t, x) (остальные компоненты ? (t, x) выража-
ются через ?1 по формулам (213)). Для выяснения физического смысла решений

<< Предыдущая

стр. 34
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>