<< Предыдущая

стр. 35
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

уравнения (212) подвергнем функцию ?1 и оператор L преобразованию, которое
S·E
позволяет устранить слагаемое , соответствующее нефизическому электри-
4sam
ческому дипольному взаимодействию:
S·?
?1 > ?1 = exp i ?1 ,
4sam
S·? S·?
L > L = exp i L exp ?i .
4sam 4sam
Используя формулу Кэмпбелла–Хаусдорфа (134) и принимая во внимание то-
ждества
1 ?Ha 1
i[S · ?, S · H] = + i[S · ?, ? 2 ],
[Sa , Sb ]+
2 ?xb 2
i[S · ?, ? 2 ] = eS(? ? H ? H ? ?),
1 1 ?Ea
i[S · ?, S · E] = ? S · (? ? E ? E ? ?) + Qab + s(s + 1) div E,
2 3 ?xb
получаем:
?2 e e 1
L = ?0 ? S·H + ? S · (? ? E ? E ? ?)+
+
16s2 m2 a2
2m 4sm 2
1 ?Ea a ?Ha
+ s(s + 1) div E + Qab ? (214)
+ Qab
3 ?xb 3 ?xb
a 1
? S · (? ? H ? H ? ?) + o + o e2 .
3
2 m
Оператор (214), как и приближенные гамильтонианы (178)–(180), содержит
слагаемые, соответствующие дипольному, квадрупольному и спин-орбитальному
взаимодействию заряженной частицы с внешним электромагнитным полем.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 147

Совершенно аналогично можно показать, что уравнение (203), (204) с матри-
цами (153) сводится к уравнению
?2 eS · H e
? ? ?
? 0 ?1 =
2m 4(s + 1)m 4b(s + 1)m
1
? S ·E+ S · (? ? H ? H ? ?) + o e2 ?1 ,
2m
которое в результате унитарного преобразования
S ·?
?1 > ?1 = exp i ?1
4(s + 1)mb
приводится к форме L ?1 = 0;
?2 eS · H e 1
L = ?0 ? ? S · (? ? E ? E ? ?)+
+ +
2m 4(s + 1)m 16(s + 1)2 b2 m2 2
1 ?Ea b ?Ha
+ s(s + 1) div E + Qab ? (215)
+ Qab
3 ?xb 3 ?xb
b 1
? S · (? ? H ? H ? ?) + o + o e2 .
m3
2
Оператор (215) можно получить из (214) заменой s > s + 1, S > S , a > b.
В заключение отметим, что все приближенные гамильтонианы (208), (210),
(214), (215), получаемые при диагонализации уравнений первого порядка (200),
можно получить из оператора (188) соответствующим подбором коэффициентов
B и D. Иными словами, уравнения второго порядка (179), (180) являются более
универсальными, чем уравнения (200), так как включают последние как частные
случаи в приближении 1/m2 .
Следует заметить, что уравнения в форме Шредингера (177) в рамках группы
Галилея представляются более естественными, чем уравнения вида (200), посколь-
ку в нерелятивистской квантовой механике временная координата t выделена и,
следовательно, не обязана входить в уравнения движения на равных правах с
пространственными переменными xa .
Аномальное взаимодействие в нерелятивистской квантовой механике. За-
мена pµ > ?µ в уравнении движения не является единственно возможным спосо-
бом описания взаимодействия частицы с внешним электромагнитным нолем. Более
общий подход, который широко используется в релятивистской квантовой меха-
нике, состоит в том, чтобы учесть так называемое аномальное взаимодействие
частицы с полем. Такое взаимодействие математически описывается добавлением
в уравнения движения членов, зависящих от напряженности электромагнитного
поля.
В настоящей работе ограничимся случаем дипольного аномального взаимодей-
ствия и рассмотрим уравнения вида
? ?I
i ? = Hs (?, A0 )?,
?t (216)
e
?I I
Hs (?, A0 ) = Hs (?, A0 ) + (As Ea + Ba Ha )
s
a
m
148 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

и
e
L? ? ?µ ? µ + ?5 m + (217)
(Ca Ha + Da Ea ),
m
где Ea и Ha — компоненты векторов напряженности магнитного и электрического
I
полей; Hs (?, A0 ) — оператор (178); ?µ — матрицы (150), (151); As , Ba , Ca и Da
s
a
— некоторые (пока неизвестные) матрицы, которые должны быть такими, чтобы
уравнения (216) и (217) были инвариантны относительно группы Галилея.
Докажем следующее утверждение.
?I
Теорема 7. Оператор i ?t ? Hs (?, A0 ) удовлетворяет условию галилеевской
?

инвариантности (185) тогда и только тогда, когда матрицы As и Ba имеют s
a
вид:

As = k1 ?a , s
(218)
Ba = k1 Sa + k1 ?a ,
a

где k1 и k1 — произвольные числа, а ?a и Sa — матрицы, задаваемые формула-
ми (66).
Доказательство. Подробное доказательство теоремы 7 имеется в работе [14], по-
этому приведем только его схему. Условие инвариантности (185) сводится к сле-
дующим уравнениям:

D(?, v)(As Ea + Ba Ha )D?1 (?, v) = As Ea + Ba Ha ,
s s
(219)
a a

где матрицы D(?, v) задаются формулами (39), (66) и

Ha = ?i?abc ?b ?c = Rab Hb ,
(220)
Ea = i[?0 , ?a ] = Rab Eb ? (v ? H)a .

Подставив (39), (66) в (219) и (220), приходим к следующим уравнениям для
As s
и Ba :
a

s s
[As , Sb ] = i?abc As ,
[Ba , Sb ] = i?abc Bc , a c
s s s
(221)
[?a , Ab ] = 0, [?a , Bb ] = i?abc Ac ,
?a As ?c + ?c As ?a = ?a Bb ?c + ?c Bb ?a = 0.
s s
b b

Общее решение уравнений (221) и задается формулами (218).
I
Подставляя (218) в (216) и подвергая гамильтониан Hs (?, A0 ) преобразованию

?V ?1
= V Hs V ?1 + i
?I ?I ?I
Hs (?, A0 ) > Hs (?, A0 ) V,
?t
где
S·? ?·?
1 ?S
V = exp iD exp?1 exp(iS) exp i ,
m 2m ?t m
?2
D = ?1 k(k ? 1), (k1 ? ?k 2 )S · H?
S=
2m2
1 k k1 ?Ha
?k(k ? 1) S · E + S · (? ? H ? H ? ?) + [Sa , Sb ]+ ,
2m 2m ?xb
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 149

получаем [14]:
kk1 ?Ha
? I
(222)
Hs (?, A0 ) = Hs (?, A0 ) + Qab ,
3m2 ?xb
I
где Hs (?, A0 ) задается формулой (186) при следующих значениях D и B:

B = k1 + ?1 (k1 ? ak 2 ), D = ?1 k(k1 ? 1). (223)
Сравнивая (186) и (223), убеждаемся, что введение аномального дипольного
взаимодействия в уравнения второго порядка (177), (178) почти не изменяет стру-
ктуры гамильтониана в приближении 1/m2 (по существу меняется только коэффи-
циент при слагаемом, представляющем магнитное квадрупольное взаимодействие,
так как коэффициенты (192) и (223) на множествах функций ?± = 1 (1 ? ?1 )? в
2
равной мере могут рассматриваться как произвольные параметры).
Рассмотрим теперь уравнение (217). Потребовав, чтобы оператор L удовлетво-
рял условию галилеевской инвариантности (187), где D(?, v) = [D?1 (?, v)]† , и
?
приняв во внимание соотношения (220), непосредственным вычислением получа-
ем, что общий вид матриц Ca и Da задается формулами
k2 k2 ik2
(1 ? 2?0 )?a , (224)
Ca = ?abc ?0 ?b ?c , Da = ?abc ?0 ?b ?c +
2 2 2
где k2 и k2 — произвольные постоянные.
Подставляя (224) в (217) и используя явный вид ?-матриц (150), (151), после
несложных вычислений получаем уравнения для (2s + 1)-компонентной функции
?1 = ?0 ? и для (2s + 1)-компонентной функции ?1 :
??1 ??1
(225)
i = Hs ?1 , i = H s ?1 ,
?t ?t
где
? e2 k2 2
2
e(1 + k2 ) ek2 ek2
+eA0 ? S·H ? S·H ? [S·?, S ·H]+
Hs = H ,(226)
2m2 s 4m2
2m 2ms 2ms
а Hs можно получить из (226) заменой S > S , s > s + 1.
Подвергая функции ?1 , ?1 и гамильтонианы Hs и Hs преобразованиям
?U ?1
Hs > U Hs U ?1 + i
?1 > U ?1 , U,
?t
(227)
?U
Hs > U Hs (U )?1 + i (U )?1 ,
?1 > U ? 1 ,
?t
где
ik2 S · ? ik2 S · ?
(228)
U = exp , U = exp ,
2sm 2(s + 1)m
приходим к оператору (188), где
(229)
B = (1 + k2 )/2s, D = k2 /2s.
Таким образом, гамильтонианы частиц с произвольным спином, получаемые
из уравнений (150), (151) и (217), в приближении 1/m2 совпадают с точностью
150 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

до коэффициентов D и B с гамильтонианом (188), получаемым при диагонализа-
ции уравнений (177), (178). Следовательно, уравнения ЛХГ (150), (217) и уравне-
ния (150), (217), обобщенные на случай аномального дипольного взаимодействия
частицы с внешним полем, также описывают дипольное, квадрупольное и спин-
орбитальные взаимодействия.
Введение аномального взаимодействия в уравнение Шредингера. Мы убе-
дились, что различные галилеевски-инвариантные уравнения (177), (178), (200),
(216), (217) в приближении 1/m2 приводят к одинаковым (с точностью до коэффи-
циентов) гамильтонианам частиц с произвольным спином. Для объяснения этого
факта докажем следующее утверждение.
Лемма 5. Пусть L(?) — произвольный линейный оператор, функционально за-
висящий от ?µ (176) и удовлетворяющий условию галилеевской инвариантно-
сти (185). Тогда оператор

?·? ?·?
?
? L(?) exp ?i (230)
L(?) = exp i
m m

также удовлетворяет условию (185) с ?a = ?a = 0.
?
?
Доказательство. Подействуем на L(?) (230) слева оператором exp[if (t, x)]?
exp(?iS·?), а справа — оператором exp[?if (t, x)] exp(iS·?). Используя тождества,

<< Предыдущая

стр. 35
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>