<< Предыдущая

стр. 36
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

которые несложно получить с помощью формулы Кэмпбелла–Хаусдорфа,

?·? ?·?
?
exp[if (t, x)] exp i exp[if (t, x)] exp(?i? · v),
= exp i
m m
?·? ?·?
exp ?i exp(?if (t, x)] = exp(i? · v) exp ?i exp[?if (t, x)]
m m
и принимая во внимание, что оператор L(?) по определению удовлетворяет соо-
тношениям (185), получаем:

? ? ?
exp[if (t, x)] exp(?iS · ?)L(?) exp(iS · ?) exp[?if (t, x)] = L(? ),

?
т.е. L(?) действительно удовлетворяет условию галилеевской инвариантности (185)
с ?a = ?a = 0. Лемма доказана.
?
Из леммы следует, что произвольное галилеевски-инвариантное уравнение (183)
с помощью перехода к новой волновой функции
?·?
?
?(t, x) > ?(t, x) = exp i ?(t, x) (231)
m
может быть сведено к уравнению, инвариантному относительно группы Галилея

? ?
L(?)?(t, x) = 0, (232)

?
где функция ?(t, x) имеет простые трансформационные свойства (34), (35)
(в этом случае представление однородной группы Галилея, реализующееся на
множестве решений инвариантного уравнения, сводится к представлению группы
O(3)).
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 151

Рассмотренные выше уравнения (177), (178), (200), (218), (219) с помощью
?
преобразований (230), (231) сводятся к (232), где оператор L(?) имеет следующую
общую форму:

?2 e1 e2 1
?
L(?) = A ?0 ? (? ? H)a ?
1
+ A2 m + Ba Ha + Ba Ea +
2m m m 2m
(233)
1 e ?Ea ?Ha
? (H ? ?)a + 2 Q1 Q2
+ ,
ab ab
2m m ?xb ?xb

где A? , Ba , Q? (? = 1, 2) — некоторые матрицы, следующим образом коммути-
?
ab
рующие с генераторами группы вращений:

[Q? , Sc ] = i(?acd Qbd ??bcd Qad ).(234)
[A? , Sa ] = 0, ? ?
[Ba , Sb ] = i?abc Bc , ab

Итак, вместо рассмотренных выше различных галилеевски-инвариантных урав-
нений можно исследовать уравнение вида (232), (233), которое при соответству-
ющем выборе матриц A? , Ba и Q? эквивалентно (177), (178), (200), (218) или
?
ab
(219).
Если A? = I, Ba = Sa , Q? = Qab , где Sa — генераторы неприводимого
?
ab
представления D(s) группы O(3); Qab — тензор квадрупольного взаимодействия
(191), то уравнения (232), (233) сводятся к (212). Эти уравнения можно рассма-
тривать как галилеевски-инвариантное обобщение уравнения Шредингера (1) для
(2s + 1)-компонентной функции, учитывающее минимальное и аномальное взаимо-
действия частицы с электромагнитным полем (такие обобщения в другом подходе
рассматривались в работах [32]). Итак, введение минимального взаимодействия в
уравнения первого порядка (152), (200) оказалось эквивалентным введению ано-
мального взаимодействия в уравнение Шредингера.
Нерелятивистская частица произвольного спина в однородном магнитном
поле. Рассмотрим уравнения (216), (217) для случая постоянного однородного
I
магнитного поля и найдем собственные значения оператора Hs (?, A0 ). Можно
считать, что вектор напряженности такого поля параллелен третьей компоненте
импульса, т.е. в (217) достаточно положить

(235)
H1 = H2 = E1 = E2 = E3 = 0, H3 = H.

Согласно (240) вектор-потенциал Aµ можно выбрать в виде

A1 = ?eHx2 . (236)
A0 = A2 = A3 = 0,

Подставляя (178), (240) в (216) и (218) и полагая для упрощения выкладок
k1 = 1, приходим к гамильтониану

? 2 eS · H 1
+2iakS·?+ (?1 +i?2 )[2a(kS ·?)2 ?ek0 S·H],(237)
Hs = ?1 am+ +
2m m m
где k0 = (ak 2 ? k1 ) можно считать независимым параметром.
Преобразуем Hs к такой форме, чтобы он зависел только от коммутирующих
операторов. Это позволит определить собственные значения гамильтониана (235),
не решая уравнений движения.
152 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Используя оператор

1 h i i h
U ?1 =
1 + ?3 v 1 ? ?3 v
?·? , 1? ?·?
U= 1+ ,
2 m m
h2 h2

m? · H, получаем:
ek0
где ?a заданы формулой (66), а h = ?1 am +

?2 1/2
?1
+ S3 H + ?3 a2 m2 + 2ak0 S3 H (238)
Hs = U Hs U = .
2m
Все величины, входящие в гамильтониан (238), коммутируют друг с другом и
с Hs и имеют такие собственные значения [34]:

?2 1
(2n + 1)eH + p2 ,
?= n = 0, 1, 2, . . . ,
3
2m 2m
s3 = ?s, ?s + 1, . . . , s, ? = ±1,
S3 ? = s3 ?, ?3 ? = ??,

откуда заключаем, что собственные значения Hs равны:

p2
eH 1/2
+ 3 + ? a2 m2 + 2ak0 s3 H (239)
E?ns3 p3 = (2n + 1 + 2s3 ) .
2m 2m
Положив в (239) k0 = 0, s = 1/2, получаем формулу, которая с точностью до
несущественного слагаемого ?am задает известный спектр энергий нерелятивист-
ской частицы в однородном магнитном поле (уровни Ландау). Если же k0 = 0, но
am, то
ko

?k0 e2 H 2 S3
2 2
eH 1
(240)
E?ns3 p3 = [2n + 1 + 2s3 (1 + ?k0 )] + ?am + +o .
8am3 m5
2m

Формула (240) в отличие от случая k0 = 0 включает поправку, учитывающую
отклонение дипольного момента частицы от единицы, и поправку, квадратичную
по напряженности магнитного поля.
Явный вид собственных функций оператора (237), который легко найти, ис-
пользуя результаты [17], здесь не приведен.

Заключение
1. Найденные выше системы дифференциальных уравнений первого и второго
порядка (177), (178), (200), (216)–(218) и (224) инвариантны относительно пре-
образований Галилея и калибровочных преобразований и описывают дипольное,
квадрупольное, спин-орбитальное и дарвиновское взаимодействия частицы прои-
звольного спина с внешним электромагнитным полем. Альтернативный способ
галилеевски-инвариантного описания спин-орбитального взаимодействия предло-
жен в работе [10], где используются уравнения ЛХГ в гамильтоновой форме. Пе-
речисленные взаимодействия, таким образом, не являются чисто релятивистскими
эффектами и их можно последовательно рассматривать в рамках нерелятивист-
ской квантовой механики. В работе [38] наш вывод [8, 9] о нерялитивистской
природе спин-орбитального взаимодействия обсужден с классических позиций.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 153

2. Уравнения вида (64) и (114), конечно, не исчерпывают всех возможных ли-
нейных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно группы Гали-
лея. Так, для описания нерелятивистской частицы со спином s = 1 можно исполь-
зовать галилеевски-инвариантный аналог уравнений Прока

2mp0 ? p2 ?? , ? = 0, 1, 2, 3,
(241)
m?0 ? pa ?a = 0, a = 1, 2, 3.

Уравнения (241) являются частным случаем систем уравнений следующего вида:

C1 ? ? 2mp0 ? p2 ?,
C2 ? ? Wa Wa ? ? m2 S 2 + mp(S ? ? ? ? ? S) ? = m2 s(s + 1)?,

где C1 и C2 — операторы Казимира (13) для представлений (36).
3. Неэрмитовость генераторов (36) относительно скалярного произведения ти-
па (32) обусловлена неунитарностью конечномерных представлений однородной
группы Галилея. Аналогичная ситуация имеет место в релятивистской теории, где
на решениях конечных систем уравнений реализуются неунитарные представле-
ния однородной группы Лоренца, а требование унитарности этих представлений
эквивалентно переходу к системам уравнений для функций с бесконечным числом
компонент. Поэтому интересно рассмотреть бесконечнокомпонентные уравнения,
инвариантные относительно группы Галилея. Примером таких уравнений могут
?
служить системы (114), (173), где Skl — генераторы унитарного бесконечномерно-
го представления группы O(1, 5).
4. После того как рукопись настоящей статьи была сдана в редакцию, мы
познакомились с работой [37], где также показано, что требование галилеевской
инвариантности уравнений движения заряженной частицы во внешнем электрома-
гнитном поле не приводит однозначно к минимальному взаимодействию частицы
с полем, но допускает также другие типы взаимодействий. Этот результат хорошо
согласуется с данными [8]–[14].

Приложение 1
Неприводимые представления алгебры Ли
расширенной группы Галилея
Неприводимые представления алгебры (6)–(10) получим в ортогональном ба-
зисе |c, p, ? , где | . . . — собственные векторы полного набора коммутирующих
2 1/2
операторов Ca (13), Pµ и ? = Pa · Ja · P ?1 , P = P1 + P2 + P3
2 2
:

Ca |c, p, ? = ca |c, p, ? ,
? ? a = 1, 2, 3,
Pµ |c, p, ? = pµ |c, p, ? , (П.1)
? ? µ = 0, 1, 2, 3,
?|c, p, ? = ?|c, p, ? .
? ?

Интересно рассмотреть только такие представления, которые не сводятся к пред-
ставлениям какой-нибудь подалгебры алгебры (6)–(10).
Докажем сначала следующее утверждение.
154 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Лемма. Алгебра Ли, определяемая коммутационными соотношениями

c2
[?1 , ?2 ] = [?2 , ?3 ] = [?3 , ?1 ] = i v2 ?0 ,
3
(П.2)
i
[?0 , ?a ] = v ?abc (?b ? ?c ), a, b, c = 1, 2, 3,
23
где c2 — произвольное действительное число; при c2 > 0 изоморфна алгебре Ли
2 2
группы O(3), в случае c2 = 0 — алгебре Ли группы E(2) и при c2 < 0 — алгебре
2 2
Ли группы O(1, 2).
Доказательство. Прежде всего заметим, что среди четырех элементов ?µ алгебры
(П.1) только три линейно независимых, поскольку всегда можно положить

?1 + ?2 + ?3 = 0.

Изоморфизм, сформулированный в лемме, можно установить с помощью сле-
дующих соотношений:
v v
1
? 1 = v K 1 1 + 3 + K2 1 ? 3 ,
? 0 = K3 ,
23
(П.3)
v v
1 1
? 2 = v K 1 1 ? 3 + K2 1 + 3 , ?3 = ? (K1 + K2 ),
3
23
где
если c2 = m2 > 0,

<< Предыдущая

стр. 36
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>