<< Предыдущая

стр. 37
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

K1 = mS1 , K2 = mS2 , K3 = S3 , 2
2
если c2 = 0, (П.4)
K1 = T1 , K2 = T2 , K3 = T0 ,
если c2 = ?? 2 < 0,
K1 = ?S01 , K2 = ?S02 , K3 = S12 , 2

a Sa , T? , S?? (a = 1, 2, 3, ?, ? = 0, 1, 2) — генераторы групп O(3), E(2) и O(1, 2)
соответственно, т.е. матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[Sa , Sb ] = i?abc Sc ,
[T1 , T0 ] = ?iT2 , (П.5)
[T2 , T0 ] = iT1 , [T1 , T2 ] = 0,
[S01 , S02 ] = ?iS12 , [S01 , S12 ] = ?iS02 , [S02 , S12 ] = iS01 .

Непосредственной проверкой можно убедиться, что если матрицы Sa , T? и
S?? удовлетворяют соотношениям (П.5), то матрицы ?µ (П.3), (П.4) удовлетво-
ряют алгебре (П.2), и наоборот, из (П.2)–(П.4) следует выполнение (П.5). Лемма
доказана.
Можно показать, что алгебре (П.2) удовлетворяют операторы
1
?0 = W0 p?1 , ?a = v ?abc (Wb ? Wc ),
23
где Wµ — компоненты нерелятивистского аналога вектора Любанского–Паули

Wa = mJa ? (P ? G)a
W0 = Pa Ja ,

в системе отсчета p1 = p2 = p3 . Сформулируем теперь основную теорему.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 155

Теорема. Произвольное эрмитовое представление алгебры Ли расширенной гру-
ппы Галилея (6)–(10) можно реализовать с помощью операторов

P 0 = p0 , Pa = p a ,
M = m,
v
? 3pa + p
+ ?0 v
Ja = ?i p ? ,
(П.6)
?p a 3p + p1 + p2 + p3
(? ? p)a ?abc (pb ? pc )?0 mp ? ? · p
?
v
Ga = ?ip0 ?
+ ,
p2
?pa 2p2 3p + p1 + p2 + p3

где ?µ — матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (П.2).
Доказательство. Непосредственной проверкой можно убедиться, что операто-
ры (П.6) удовлетворяют коммутационным соотношениям (6)–(10), т.е. реализуют
представление алгебры Ли расширенной группы Галплея.
Покажем, что перебирая все неприводимые представления алгебры (П.2), по-
лучим по формулам (П.6) представления алгебры (6)–(10), соответствующие всем
возможным значениям инвариантных операторов (13). Подставив (П.6) в (13), по-
лучим:

C1 = 2mp0 ? p2 , C3 = m2 ?2 + ?2 + ?2 + ?2 . (П.7)
C2 = m, 0 1 2 3

Используя изоморфизм (П.3), (П.4), оператор C3 (П.7) перепишем в виде

C3 = m2 S1 + S2 + S3 , если
2 2 2
C2 = m2 > 0,
2
(П.8)
2 2
C3 = T1 + T2 , если C2 = 0.

Из (П.8) видно, что инвариантный оператор C3 выражается через операторы
Казимира групп O(3) и E(2) — малых групп группы Галилея, собственные зна-
чения которых (совместно с C1 и C2 ) нумеруют все неприводимые эрмитовые
представления алгебры (6)–(10). Теорема доказана.
Таким образом, эрмитовые неприводимые представления D(C1 , C2 , C3 ) алгебры
(6)–(10) можно разделить на три класса, соответствующих следующим значениям
инвариантных операторов (П.6):

?? < C1 < ?, ?? < C2 < 0, 0 < C2 < ?, C3 = m2 s(s + 1),
I.
?? < C1 < 0, C2 = C3 = 0,
II. (П.9)
?? < C1 < ?, C2 = 0, C3 = r2 > 0.
III.

Используя явный вид матриц Sa и T? [35] и принимая во внимание изоморфизм
(П.3) и (П.4), нетрудно вычислить явные выражения для матриц ?µ в базисе
|c, p, ?
?

?0 |c, p, ? = ?? |c, p, ? , ? = I, II, III,
? ?
1
?1 |c, p, ? = v a?
?,?+1 |c, p, ? + 1 + a?,??1 |c, p, ? ? 1
?
? ? ? ,
43
(П.10)
1
?2 |c, p, ? = v b?
?,?+1 |c, p, ? + 1 + b?,??1 |c, p, ? ? 1
?
? ? ?
43
?3 |c, p, ? = ?(?1 + ?2 )|c, p, ? ,
? ?
156 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где значения индекса ? зависят от величин ca (эта зависимость приведена в (П.8)).
При этом

?I = ?s, ?s + 1, ?s + 2 . . . , s,
v v
1+ 3 ? 1± 3 s(s + 1) ? ?I (?I ± 1),
aI
?,?±1 =
v v
1? 3 ? 1? 3 s(s + 1) ? ?I (?I ± 1),
bI (П.11)
?,?±1 =
?
?II = ?, aII II
?,?±1 = b?,?±1 = 0,
v v
?,?±1 = r 1 ± 3 (1 ± i), ?,?±1 = r 1 ? 3 (1 ± i),
?III = n + ?, aIII bIII

?
где n = 0, 1, 2, . . ., 0 ? ? ? 1, a ? и s — произвольные целые или полуцелые числа.
Формулы (П.1), (П.6), (П.9)–(П.11) (при фиксированных значениях Ca ) полно-
стью определяют явный вид генераторов группы Галилея для всех классов непри-
водимых представлений.
Представления I класса (которые обычно сопоставляются нерелятивистской ча-
стице со спином s, массой m и внутренней энергией ?0 = C1 /2m) в другой реа-
лизации получены в [4]. Там же были найдены представления II класса алгебры
(6)–(10), которые можно сопоставить нерелятивистской безмассовой частице. Та-
кие представления имеют дополнительный инвариантный оператор C4 = Ja Pa P ?1
и являются одномерными по индексу ?. Представления III класса бесконечномер-
ны по спиновому индексу. Представления этого класса алгебры Ли расширенной
группы Галилея по-видимому впервые получены в настоящей работе.
Отличительной чертой реализации (П.6) является одинаковая и симметричная
форма генераторов Pµ , Ja , Ga для всех классов неприводимых представлений (в
то время как обычно [4] неприводимые представления различных классов имеют
совершенно разную реализацию). В случае m = 0 особенно C3 = 0 аналитические
выражения для операторов Ga значительно упрощаются (при этом m = ?a ? 0).
Связь представления (П.6) с реализациями, полученными в [4], задается фор-
мулами

† ?† ?†
U? G? U? = Ga , ? = I, II,
U? Ja U? = Ja , U? Pµ U? = Pµ ,
a

?·p p?
arctg
UI = exp i ,
2m?
p p1 + p2 + p3
1/2
p = (p1 ? p2 )2 + (p3 ? p1 )2 + (p2 ? p3 )2
? ,


p2 ? p 1
UII = exp 2i?0 arctg v ,
3 + 1 (p + p3 ) + p1 + p2


где Pµ , Ja , GI и Pµ , Ja , GII — генераторы группы Галилея I и II класса в реали-
I I II II
a a
зации, найденной в [4], а Pµ , Ja , Ga задаются формулами (П.6).
Отметим, что формулы (П.2), (П.6) определяют также представления IV клас-
2
са, соответствующие C2 < 0. Эти представления неэрмитовы, хотя и порождаю-
тся эрмитовыми представлениями алгебры O(1, 2). Однако операторы, образующие
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 157

прямую сумму таких представлении:
Pµ 0 M 0 ? 0
? ?
Pµ = , M= =i ,
?M ??
0 Pµ 0 0
Ja 0 Ga 0
? ?
Ja = , Ga = ,
0 Ja 0 Ga
где Pµ , Ja , Ga задаются соотношениями (П.2), (П.6) с c2 < 0, эрмитовы в инде-
2
финитной метрике

d3 p ?† (p)?1 ?2 (p),
(?1 , ?2 ) = 1

где
? 0 I
?= , ?1 = ,
? I 0
? и ? — элементы из пространства представлений D(c1 , c2 , c3 ) и D(c? , c2 , c3 ), I и
1
0 — единичная и нулевая матрицы соответствующей размерности.

Приложение 2
О связи между представлениями расширенной группы Галилея
и обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4)
Расширенная группа Галился G является подгруппой обобщенной группы Пу-
анкаре P (1, 4) — группы вращений и сдвигов в пятимерном пространстве Мин-
ковского. Это означает, в частности, что каждое представление группы P (1, 4)
определяет представление группы G, которое в общем случае будет приводимым.
Алгебру Ли группы P (1, 4) образуют пятнадцать генераторов Pµ , Jµ? (µ, ? =
0, 1, 2, 3, 4, Jµ? = ?J?µ ), удовлетворяющих коммутационным соотношениям [31]
[Pµ , J?? ] = i(gµ? P? ? gµ? P? ),
[Pµ , P? ] = 0,
(П.12)
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? + g?? Jµ? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ),
где gµ? — метрический тензор; g00 = ?gkk = 1, k = 1, 2, 3, 4; gµ? = 0, µ = ?.
Переходя в (П.12) к новому базису
1
? ?
P0 = P 0 ? P 4 , M= (P0 + P4 ), Pa = Pa , K = J04 ,
2
(П.13)
1 1
G? = J0a ? J4a ,
G+ = (J0a + J4a ),
Ja = ?abc Jbc , a a
2 2
получаем следующую алгебру (изоморфную (П.12)):
?? ? ? ??
[P0 , Pa ] = [P0 , M ] = [Pa , M ] = [Pa , Pb ] = 0,
? ? ?
[P0 , Ja ] = [M, Ja ] = [G+ , G+ ] = [M, G+ ] = 0, (П.14)
[Pa , Jb ] = i?abc Pc ,
a a
b
? ? ?
[Pa , G+ ] = i?ab M, [P0 , G+ ] = iPb ,
[Ja , Jb ] = i?abc Jc ,
b b

[P0 , G? ] = [G? , G? ] = 0, [G? , M ] = ?iPa , [G? , Jb ] = i?abc G? ,
? ?
a a a a c
b
[G? , Pb ] = ?i?ab P0 , [G? , Gb ] = ?i(?abc Jc + ?ab K), [P0 , K] = ?iP0 , (П.15)
? ? ? ?
+
a a
[G± , K] = ±iG± .
?
[Pa , K] = [Ja , K] = 0, [M, K] = iM, a a
158 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Коммутационные соотношения (П.13) совпадают с (6)–(10), т.е. определяют
алгебру Ли расширенной группы Галплея.
Из изложенного выше следует, что любое уравнение, инвариантное относитель-
но группы P (1, 4), инвариантно также относительно расширенной группы Галилея.
Так, например, пятимерное уравнение Клейна–Гордона
?
Pµ = pµ = ?i
Pµ P µ ? = 0, , µ = 0, 1, 2, 3, 4,
?xµ
с помощью замены (П.13) приводят к форме, явно инвариантной относительно
группы Галилея
? ??
2M P0 ? Pa Pa ? = 0. (П.16)

<< Предыдущая

стр. 37
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>