<< Предыдущая

стр. 38
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Уравнение (П.16) можно интерпретировать как уравнение Шредингера для части-
цы с переменной массой.
В работе [36] осуществлена редукция произвольного неприводимого представ-
ления группы P (1, 4) по представлениям группы G, т.е. полностью исследован
вопрос, какие неприводимые представления группы G входят в заданное пред-
ставление группы P (1, 4), и найден явный вид унитарных операторов, связываю-
щих канонический базис представлений группы P (1, 4) с G-базисом, в котором
операторы Казимира (13) диагональны.

1. In?n? Е., Wigner Е.Р., Nuovo Cimento, 1952, 9, 705.
ou
2. Bargman V., Аnn. Math., 1954, 59, 1.
3. Lie S., Engel F., Theorie der Transformationsgruppen, Bd. 2, Leipzig, 1890.
4. Levi-Leblond J.-M., J. Math. Phys., 1963, 4, 776.
5. Levi-Leblond J.-M., Commun. Math. Phys., 1967, 6, 286; 1967, 4, 157; in: Group Theory and Its
Applications, ed. Е.M. Loebl, Vol.2, N.Y.–Lond., Academic Press, 1971.
6. Hagen С.R., Hurley W.J., Phys. Rev. Lett., 1970, 26, 1381.
7. Hurley W.J., Phys. Rev. D, 1971, 3, 2339; 1974, 7, 1185.
8. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Lett. Nuovo Cimento, 1975, 14, 483.
9. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1976, 16, 81.
10. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Rep. Math. Phys., 1977, 13, 175.
11. Никитин А.Г., Салогуб В.А., Укр. физ. журн., 1975, 20, 1730.
12. Никитин А.Г., Фущич В.И., Международный семинар по теоретико-групповым методам в фи-
зике, Звенигород, 1979, Москва, Наука, 1980, Т.2, 35–41.
13. Никитин А.Г., Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1980, 44, 34.
14. Никитин А.Г., Укр. физ. журн., 1981, 26, 2011.
15. Никитин А.Г., Укр. физ. журн., 1973, 12, 1000.
16. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., Теор. и мат. физ., 1971, 8, 192;
Никитин А. Г., Фущич В. И., Теор. и мат. физ., 1978, 34, 319.
17. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1978, 9, 501.
18. Ryder L.H., Nuovo Cimento, 1967, 3, 879.
19. Brennich R.H., Ann. Inst. H. Poincar?, 1970, 13, 137.
e
20. Steinwedel N., Fort. Phys., 1976, 24, 211.
21. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
Нерелятивистские уравнения движения для частиц 159

22. Hagen С.R., Phys. Rev. D, 1972, 5, 377.
23. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 802.
24. Фущич В.И., Сегеда Ю.H., Докл. АН СССР, 1977, 232, 801.
25. Никитин А.Г., Наконечный В.В., Укр. физ. журн., 1980, 25, 618.
26. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Math. Phys., 1978, 2, 471.
27. Foldy L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
28. Гельфанд И.М., Минлос Р.В., Шапиро З.Я., Представления группы вращений и группы Лоренца
и их применения, М., Физматгиз, 1958.
29. Paravicini G., Sparzani A., Nuovo Cimento A, 1970, 66, 579.
30. George С., Levi-Nahas M., J. Math. Phys., 1966, 7, 980.
31. Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1971, 7, 3.
32. Roman P., Leveille J.P., J. Math. Phys., 1974, 10, 1760;
Celeghni E., Lusanna L., Sorace E., Nuovo Cimento A, 1976, 31, 89.
33. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
34. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Квантовая механика, М., Физматгиз, 1969, с. 493.
35. Lomont D.S., Moses H.E., J. Math. Phys., 1962, 3, 405.
36. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A, 1980, 13, 2319.
37. Kraus К., Ann. Phys., 1980, 37, 82.
38. Chatterjee R., Lulek Т., Acta Phys. Polon. A, 1979, 56, 205;
Chatterjee R., Canad. J. Phys., 1979, 57, 2072.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 160–164.

О дополнительной инвариантности
уравнений для векторных полей
В.И. ФУЩИЧ, В.А. ВЛАДИМИРОВ

В работах [1, 2] предложен метод исследования групповых свойств систем диф-
ференциальных уравнений, отличный от классического метода Ли–Овсянникова.
С помощью этого метода, называемого в дальнейшем нелиевским, установлена
дополнительная инвариантность уравнений Дирака, Максвелла [2], а также ряда
других пуанкаре-инвариантных уравнений.
В настоящей работе показано, что система уравнений Прока
pµ pµ ? m2 ? ? (x) = 0, (1.1)
?? µ, ? = 0, 1, 2, 3,

pµ ? µ (x) = 0, (1.2)
?
?
где pµ = i ?xµ , µ = 0, 1, 2, 3, и некоторые другие уравнения второго порядка обла-
?
дают дополнительной симметрией, которая не может быть найдена с помощью
метода Ли–Овсянникова [3].
1. Определение. Пусть L(x, p) — линейный дифференциальный оператор. Будем
?
говорить, что уравнение
(2)
L(x, p)?(x) = 0,
?
инвариантно относительно некоторого множества операторов Q = {QA },
если для всякого A
(3)
L(x, p)QA ? = 0.
?
Максимальной в смысле С. Ли алгеброй инвариантности уравнения Прока яв-
ляется алгебра Пуанкаре P [1, 3], базисные элементы которой задаются операто-
рами
?
?
Pµ = i µ , µ = 0, 1, 2, 3,
?x (4)
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
? ? µ, ? = 0, 1, 2, 3,
где Sµ? — матрицы, реализующие конечномерное представление D 1 , 1 алгебры
22
1
Ли группы O(1, 3) . Если в (1.1) положить m = 0, перейдя таким образом к уравне-
ниям, описывающим 4-потенциал свободного электромагнитного поля, то алгебра
инвариантности системы (1) помимо множества (5) будет включать оператор ди-
латации
D = xµ pµ + R, (5)
?
Доклады Академии наук СССР, 1981, 257, № 5, С. 1105–1108.
элементы Sµ? имеют следующий вид:
1 Матричные


(Sµ? )? = i gµ g?? ? g? gµ ,
? ??
qµ? ? g µ? = diag(1, ?1, ?1, ?1).
?, ?, µ, ? = 0, 1, 2, 3,
?
О дополнительной инвариантности уравнений для векторных полей 161

где R — произвольная постоянная. Напомним, что в подходе С. Ли алгебра сим-
метрии ищется в классе дифференциальных операторов первого порядка. Ниже с
помощью нелиевского метода будет показано, что система (1) при m = 0 инвари-
антна относительно 15-мерной конформной алгебры, базисные элементы которой
являются интегродифференциальными операторами.
Теорема 1. Уравнение Прока (дополнительно) инвариантно относительно 9-
мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются операторами сле-
дующего вида2 :
?1
Dab = 2?1 p2 + p2 2?1 pa pb (2S 2 + [p(N ? S)][p(S ? N )])+
?
0
+p0 pb (S ? N )a + pa (N ? S)b ? p2 + p2 S 2 ?ab ?
0
(6)
?(pb [S ? N ) ? p]a + [(N ? S) ? p]b pa ) ? 2p0 [(S ? p)b Sa +
+S b (S ? p)a ] + 2(S ? p)b (S ? p)a } , a, b = 1, 2, 3,

где Sa = ? 2 ?abc Sbc , Na = ?iS0a , a, b, c = 1, 2, 3.
i

Доказательство. Запишем систему (1)в следующих обозначениях:
L0 (p) = pµ pµ ? m2 I, (7.1)
L0 (p)?(x) = 0,
? ?
p0 p1 p2 p3
?0 0 0 0?
L1 (p) = ? ?, (7.2)
L1 (p)?(x) = 0, ?0 0 0 0?
000 0

где ?(x) — вектор- функция с компонентами {? 0 (x), ? 1 (x), ? 2 (x), ? 3 (x)}.
Следуя нелиевскому алгоритму [2], найдем множество операторов {QA } =
{Dab }, удовлетворяющих условию инвариантности (3). Для этой цели расщепим
систему (7) на незацепляющиеся подсистемы. Это достигается с помощью обрати-
мого оператора U (p), матричные элементы которого имеют вид
?1/2 µ µ
(U (p))µ = p2 + p2 [p0 g? ? g0 p? + pµ g?0 + 2g0 g?0 p0 ? ?krj pk gr g?j ] , (8)
µ µ
? 0

?1/2
µ
U ?1 (p) µ µ
= p2 + p 2 [p0 g? + g0 p? + pµ g?0 ? 2g0 g?0 p0 + ?krj pk gr g?j ] .(9)
µ µ
0
?

В силу коммутативности L0 (p) и U ?1 (p) система (7) эквивалентна следующей
системе интегродифференциальных уравнений:
? ?? (10)
L0 ? = 0, L1 ? = 0,
где
? ?
1 0 0 0
?0 0?
0 0
? ?.
1/2
? = U ?1 (p)?,
?? ?
L1 = L1 U (p) = p2 + p2 (11)
?0 0?
0 0 0
0 0 0 0
Теперь нетрудно найти оператор, удовлетворяющий условию инвариантности
?? ??? (12)
L0 QA ? = 0, L1 QA ? = 0.
формуле (6) и далее мы опускаем “шляпку” над символом p.

162 В.И. Фущич, В.А. Владимиров

Очевидно, что каждый оператор вида
? ?
0 0 0 0
? 0 q11 (p) q12 (p) q13 (p) ?
Q(p) = ? ?, (13)
? 0 q21 (p) q22 (p) q23 (p) ?
0 q31 (p) q32 (p) q33 (p)
где qij (p) — произвольные функции от pµ , удовлетворяет условию (12).
Зададим базис в множестве (13) с помощью матриц
1
? (14)
Dab = Sb Sa = (Na Nb + Sb Sa ), a, b = 1, 2, 3,
2
реализующих трехмерное представление алгебры Ли группы GL(3). Операторы (6)
?
получаются из матриц Dab согласно формулам
Dab = U (p)Dab U ?1 (p).
? ? (15)
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Матричные элементы операторов (6) имеют вид
µ ?1
= ?2?1 p2 + p2 µ
? (p0 ga ? g0 pa + ?akr gr pk ) ?
Dab µ µ
0
(16)
?
? (p0 g?b + pb g?0 ? ?jsb g?j ps ) ,
?
Dab — ограниченные интегродифференциальные операторы. Вся интегральность
?1
содержится в члене p2 + p2 .
0
Замечание 2. Преобразование U (p), расщепляющее уравнения (7), очевидно, не
единственно. Так, например, оператор
?1/2 µ
(V (p))µ = p2 ? p2 (p0 g? ? g0 p? + pµ g?0 ? i?krl gr g?l pk ) ,
µ µ
? 0
(17)
2 ?1/2
µ
?1 µ
?p ? p g?0 +
p2 µ µ µ
V (p) = (p0 g? + g0 p ? i?krl gr g?l pk )
0
?

также диагонализирует L1 (p). Если использовать преобразование V (p) вместо
?
U (p) и вычислить по формуле (15) явный вид операторов Dab , то получатся не
интегродифференциальные операторы, а дифференциальные операторы второго по-
рядка
µ
= m?2 (p0 ga ? g0 pa + i?kaj gk pj ) (pb g?0 ? p0 g?b + i?bsn g?s pn ) ? ? . (18)
µ µ
? µ
Dab ?

2. Рассмотрим систему (1) для случая m = 0
L0 = pµ pµ I, (19.1)
L0 ? = 0,

(19.2)
L1 ? = 0.

Условие (19.2) называется калибровочным условием Лоренца, нередко также ис-
пользуют калибровку Кулона
? ?
0 p 1 p2 p3
?0 0 0 0 ?
L2 = ? ? (20)
L2 ? = 0, ? 0 0 0 0 ?.
0000

<< Предыдущая

стр. 38
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>