<< Предыдущая стр. 40(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha cos ?1 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?1 ,
?
168 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

? ? ? ?
Ea > Ea = Ea cos ?2 + Ha sin ?2 ,
(13b)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha cos ?2 ? Ea sin ?2 ,
? ? ? ?
Ea > Ea = Ea cos ?3 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?3 ,
?
(13c)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha cos ?3 ? i?abc pb Dcd Ed sin ?3 ,
?
? ? ? ?
Ea > Ea = Ea ch ?4 ? Dab Hb sh ?4 ,
(13d)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha ch ?4 ? Dab Eb sh ?4 ,
? ? ? ??
Ea > Ea = Ea ch ?5 + i?abc pb Ec sh ?5 ,
(13e)
? ? ? ??
Ha > Ha = Ha ch ?5 + i?abc pb Hc sh ?5 ,
? ? ? ?
Ea > Ea = Ea ch ?6 ? Dab Eb sh ?6 ,
(13f)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha ch ?6 + Dab Hb sh ?6 ,
? ? ? ? ? ?
Ea > Ea = Ea exp ?7 , Ha > Ha = Ha exp ?7 , (13g)
? ? ? ??
Ea > Ea = Ea cos ?8 + i?abc pb Hc sin ?8 ,
(13h)
? ? ? ??
Ha > Ha = Ha cos ?8 ? i?abc pb Ec sin ?8 ,

So the formulae (13) give the explicit form of the transformations from the group
U (2) ? U (2) which remain (1) invariant. The transformation (13b) coincides with the
Heaviside–Larmor–Rainich one (3). The transformations for E(t, x) and H(t, x) may
be obtained from (13) by the Fourier integral
1 ?
d3 p E exp(ipx),
E (t, x) =
(2?)3/2
(14)
1 ?
d3 p H exp(ipx).
H (t, x) =
(2?)3/2
One can make sure that from the invariance of eqs. (1) under the algebra (6) it follows
the existence of the following new constants of motion for the electromagnetic field
? ?
? 2 Ea ? 2 H a ? Ea ? H a
?
d3 x
I1 = ,
?x2 ?x2 ?xa ?xa
c
b
a,b,c,b=c

? ? ? ?
? 2 Ea ? 2 Ea ? 2 Ha ? 2 Ha ? Ea ? Ea ? Ha ? Ha
, (15)
? ?
d3 x
I2 = +
?x2 ?x2 ?x2 ?x2 ?xa ?xa ?xa ?xa
c c
b b
a,b,c,b=c

?A
?
A= .
?t
Theorem 2. The Maxwell equations (1) are invariant under the 23-dimensional Lie
algebra, basis elements of which have the form (6) and (16):
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , Kµ = 2xµ D ? x? x ? pµ , (16)
D = xµ pµ + i,
P µ = pµ ,
where
xa = W ?1 xa W, x0 = x0 = t.
On the new symmetries of Maxwell equations 169

This theorem may be considered as unification of the results of Bateman and of
the ones, established in Theorem 1. Proof is adduced in [14, 16].
In conclusion we note that the equations for the electromagnetic potential Aµ
possess the non-geometrical symmetry U (3) [17].

1. Larmor I., Collected papers, London, 1928.
2. Rainich G.I., Trans. Am. Math. Soc., 1925, 27, 106.
3. Minkowski G., in Principle of relativity, Atomizdat, Moscow, 1973 (in Russian).
4. Bateman H., Proc. London Math. Soc., 1909, 8, 223.
5. Cunningham E., Proc. London Math. Soc., 1909, 8, 77.
6. Ovsjannikov L.V., Group analysis of differential equations, Nauka, Moscow, 1978 (in Russian).
7. Ibragimov N.H., Group properties of some differential equations, Nauka, Novosibirsk, 1967 (in
Russian).
8. Danilov Yu.A., Group properties of Dirac equation, Preprint N 1736 of Kurchatov Atomic Energy
Institute, Moscow, 1968 (in Russian).
9. Fushchych W.I., On additional invariance of relativistic equations of motion, Preprint 70-32E of
Institute for Theoretical Physics, Kiev, 1970.
10. Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 1971, 7, 3 (in Russian); Theor. Math. Phys., 1971, 7, 3 (in English).
11. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, 508.
12. Nikitin A.G., Segeda Yu.N., Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 1976, 29, 82 (in Russian); Theor.
Math. Phys., 1976, 29, 943 (in English).
13. Fushchych V.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1977, 19, 347.
14. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. Gnen., 1979, 12, 747.
15. Fushchych W.I., in Group-Theoretical Methods in Mathematical Physics, Institute of Mathematics,
Kiev, 1978, 5–44 (in Russian).
16. Fushchych W.I., Nikitin A. G., in Group-Theoretical Methods in Mathematical Physics, Institute of
Mathematics, Kiev, 1978, 45–80 (in Russian).
17. Fushchych W.I., Vladimirov V.A., Dokl. Akad. Nauk of USSR, 1981, 257, № 5, 1105–1108.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 170–173.

О точных решениях уравнения
Борна–Инфельда
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ

Некоторый класс точных решений нелинейного уравнения Борна–Инфельда

u00 ? u11 + u2 u11 + u2 u00 ? 2u0 u1 u01 = 0, (1)
0 1
2
где u = u(x), x = (x0 , x1 ), uµ = ?xµ , uµ? = ?xµu ? , µ, ? = 0, 1, найден в [1]. Реше-
?u ?
x
ния Барбашова и Черникова [1], как показано в [2], можно получить с помощью
преобразования годографа.
I. В этой статье с использованием групповых свойств уравнения (1) найдены
новые классы точных решений уравнения (1).
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно 5-мерной алгебры Ли с
базисными операторами
? ?
P1 = ?i J01 = x0 P1 ? x1 P0 ,
P0 = i , ,
?x0 ?x1
(2)
?
D = x? P ? ? i, x? P ? = x0 P0 ? x1 P1 .
Q= ,
?u
Доказательство теоремы проводится с помощью метода Ли–Овсянникова [3].
Алгебра (2) порождает следующие инфинитезимальные преобразования:

xµ = xµ + a? µ (x, u) + O a2 , µ = 0, 1,
(3)
u = u + a?(x, u) + O a2 ,

? µ = cµ? x? + dµ , (4)
? = c00 u + d2 , µ = 0, 1,

где c00 = ?c11 , c01 = ?c10 , dµ , d2 — некоторые параметры.
Решения уравнения (1) ищем в виде

(5)
u = f (x)?(?) + g(x),

где ? = ?(x) = {?1 (x), . . . , ?n?1 (x)} — инварианты группы преобразований (3),
т.е. первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx0 dxn?1 du
= ··· = (6)
= .
0 (x, u) n?1 (x, u)
? ? ?(x, u)
Функции f (x) и g(x) находятся из (6), ?(?) — неизвестная пока функция. В
случае уравнения (1) ? зависит только от одной переменной ? = ?1 . Структура
решения в виде (5) определяется из (6). О решении нелинейных многомерных
волновых уравнений указанным способом см. [4].
Доклады Академии наук СССР, 1982, 263, № 3, C. 582–586.
О точных решениях уравнения Борна–Инфельда 171

II. Не вдаваясь в подробности интегрирования системы (6), выпишем явный
вид функций f (x), g(x) и инварианта ? = ?1 (x). В зависимости от соотношений
между cµ? , dµ и d2 рассмотрим несколько случаев.
? = a? x? , g(x) = ?? x? , — const.
1) f (x) = 1, a? , ??
Для функции ?(?) получаем уравнение
a? a? + (?0 ?1 ? ?1 ?0 )2 ? = 0. (7)
В том случае, когда a? a? + (?0 ?1 ? ?1 ?0 )2 = 0, решением (1) является линейная
функция u = ?? x? +C, где ?? , C — произвольные постоянные величины. В случае,
когда a? a? + (?0 ?1 ? ?1 ?0 )2 = 0, решением уравнения (1) будет
u = ?(?? x? ) + ?? x? , (8)
где ? — произвольная дважды дифференцируемая функция. Это решение совпа-
дает с решением [1], когда ?1 = ±?0 , ?1 = ?0 = 0.
? = y? y ? ,
2) f (x) = 1, g(x) = a ln(y0 + y1 ),
a? , a — const.
y? = x? + a? ,
В этом случае для функции ? (?) получаем уравнение Абеля
? + a2 ? ? 2?? 3 ? 3a? 2 + ? = 0. (9)
Общее решение уравнения (9) имеет вид
? ? ?
v v v v
?1 a b
? b ? + a2 ? a ? + b2
? ? + a2 + ? + b2
? ln ?c ?,
v v v v
?
?2
? ? + a2 ? ? + b2
? b? ? + a2 + a? ? + b2
?
?
?
? v v a
b a2 + ? ? a b2 ? ? a2 + ?
1 (10)
?(?) =
v v
? + b arctg
ln c ,
?2
? b2 ? ?
b? a2 + ? + a? b2 ? ?
?
?
?
?
?
? ?a
?
? ln c
? ? + a2 + a + ? + a2 .

Решения уравнения (1) можно записать в виде
? a
?1 a2 y? y ? + b2 y ? y ? + b2
y0 + y1 a1 b1
? ln c
? th cth
ln ln ,
?2
? y0 ? y1 b2 y? y ? + a2 y? y ? + a2
? 4 4
?
?
?
? a
a2 b2 ? y? y ? a2 + y? y ?
1 y0 + y1 1
tha , (11)
u= + b arctg
ln c ln
?2 y0 ? y1 b2 ? y ? y ?
? b2 a2 + y? y ?
4
?
?
?
?
? ?1
?
? a ln c(y0 + y1 )
? y? y ? + a2 + a + y? y ? + a2 .

g(x) = const.
3) ? = y1 /y0 , f (x) = y0 ,

Функция ?(?) удовлетворяет уравнению
?2 + ? 2 ? 1 ? = 0. (12)
172 В.И. Фущич, Н.И. Серов

Помимо линейной функции от ?, решением уравнения (1) будет функция
v
 << Предыдущая стр. 40(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>