<< Предыдущая

стр. 41
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = ± y? y ? + C. (13)

f (x) = (y0 ? y1 )1/2 , g(x) = const.
4) ? = y0 + y1 ,

Функция ?(?) находится из уравнения
?2 ? ? 3?? 2 + 2? = 0. (14)
С помощью нелинейной замены
(15)
? = z(x), x = ?,
нелинейное уравнение (14) сводится к линейному
x2 z ? 3xz + 2 = 0, (16)
общее решение которого задается формулой
c1 x4 + 1
z= .
2x
Решениями уравнения (1) будут функции
? 1/2
?
? ± y0 ? y1 th [c (y + y ) + c ]
?
? + c3 ,
? 10 1 2
? c1
?
?
?
?
? 1/2
? ± y0 ? y1 cth [c (y + y ) + c ]
?
+ c3 ,
10 1 2
c1 (17)
u=
?
?
?
? 1/2
? ± y0 ? y1 tg [c1 (y0 + y1 ) + c2 ]
?
? + c3 ,
?
?
? c1
?
?
?
±[y? y ? + c2 (y0 ? y1 )]1/2 + c3 .

? = y0 ? y1 + a ln(y0 + y1 ), f (x) = (y0 + y1 )1/2 , g(x) = const.
5)

Функция ?(?) находится из уравнения
?2 + 4a ? ? 4a? 3 ? 3?? 2 + 2? = 0, (18)
которое с помощью замены (15) приводится к уравнению Риккати
x2 + 4a z = 4az 2 + 3xz ? 2. (19)
Общее решение уравнения (19) имеет вид
v
2a ? x c1 x2 + 4a ? x
v (20)
z= .
2a c1 x2 + 4a ? x
Подставляя (20) в (15), получаем уравнение для ?

2a ? ? c1 ?2 + 4a ? ?
(21)
?= .
?2 + 4a ? ?
2a c1
О точных решениях уравнения Борна–Инфельда 173

В зависимости от постоянной величины c1 получим следующие решения для урав-
нения (1):
1/2
2
u = ± c2 exp[c3 (y0 ? y1 )] + (y0 + y1 ) (22)
+ c4 , c1 = 0.
c3
Для всех других значений c1 решения (1) получаем в неявном виде
y0 ? y1 ?1
?= u? u2 + 4a(y0 + y1 ) (23)
? exp u? + = c2 ,
2a
для c1 = 1.
В том случае, когда c2 ? 1 > 0, решение уравнения (1) имеет вид
1

(V + 1)A (V ? 1)1/A (V ? K+ )B? (V ? K? )B+
(24)
= c2 ,
(y0 + y1 ) exp [a?1 (y0 ? y1 )]
где
1 ? c1
?1/2
V = u u2 + 4a(y0 + y1 ) , A= ,
1 + c1
c2 ? 1 ± c3 ? 1
c2 + 1
1 1 1
K± = c1 ± c2 ? 1.
B± = , 1
3/2
? 1)
(c2
1

Если c2 ? 1 < 0, то решение уравнения (1) задается следующей неявной функцией:
1
A/2+1/2A
(V ? 1)A (V + 1)1/A V 2 ? 2c1 V + 1
(25)
= c2 .
?1
y0 ?y1
arctg v ?c12 +
(y0 + y1 ) exp v2c1 V
1?c2 a
1?c1
1


III. В заключение сформулируем теорему о приводимости квазилинейного вол-
нового уравнения вида
2u + F (u, u0 , . . . , un?1 ) = 0, (26)
где u = u(x), x = (x0 , . . . , xn?1 ), uµ = ?xµ , µ = 0, 1, . . . , n ? 1, 2 = ?xµ ?xµ , F —
?u ? ?

произвольная дифференцируемая функция, к каноническому виду.
Теорема 2. Если уравнение (26) инвариантно относительно конформной груп-
пы, то с помощью локальной невырожденной замены W = ?(u) оно приводится
к нелинейному волновому уравнению
2W + ?W (n+2)/(n?2) = 0, ? = const. (27)
Замечание. Если F не зависит от u, то конформно инвариантное уравнение (26) с
помощью той же замены приводится к линейному волновому уравнению 2W = 0.

1. Барбашова Б.М., Черников Н.А., ЖЭТФ, 1966, 50, 1296.
2. Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, М., Мир, 1977.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978.
4. Фущич В.И., Серов Н.И., Укр. мат. жур., 1982, 34, № 2.
5. Fushchych W.I., Moskaljuk S.S., Lett. Nuovo Cimento, 1981, 31, № 6, 571.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 174–177.

The symmetry and some exact solutions
of the relativistic eikonal equation
W.I. FUSHCHYCH, W.M. SHTELEN
We discuss the symmetry group of the relativistic eikonal equation. It is found to be
the conformal group C1,4 of the (4 + 1)-dimensional Poincar?–Minkowski space. Some
e
exact multiparametrical solutions of the equation are obtained.
Introduction
The relativistic eikonal or the relativistic Hamilton–Jacobi equation
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? ? = m2 (1)
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
is a fundamental one in theoretical physics.
Without loss of generality we shall put m = 1 and consider the equation
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? ? (2)
= 1.
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
In the study of partial differential equations one often gains deep insight by stu-
dying the symmetry of the equation both from the point of view of its physical
interpretation and from being able to find exact solutions and to generate new solu-
tions from known ones.
In this note we have shown that the maximally extensive local (in sense of Lie)
invariance group of eq. (2) is the conformal group C1,4 of the (4 + 1)-dimensional
Poincar?-Minkowski space with the metric
e
s2 = xA xA = g AB xA xB = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? u2 , (3)
0 1 2 3

where A, B = 0, 1, . . . , 4; x4 = u; g AB = gAB = {1, ?1, ?1, ?1, ?1}?AB , ?AB is the
Kronecker delta.
Some exact multiparametrical solutions of eq. (2) are obtained with the help of
the method recently proposed [1]. A procedure of generating new exact solutions from
known ones is presented.
The symmetry group
Theorem. The maximally extensive local invariance group of eq. (2) is the 21-para-
metrical Lie group, basis elements of its Lie algebra having the form
? ? ?
Pa = ? P4 = ? ,
P0 = , , a, b = 1, 2, 3,
?x0 ?xa ?u
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ , µ, ? = 0, 1, 2, 3,
J04 = x0 P4 ? uP0 , Ja4 = xa P4 ? uPa , (4)
D = xA PA ? x0 P0 ? x1 P1 ? x2 P2 ? x3 P3 ? uP4 ,
Kµ = 2xµ D ? xB xB Pµ , xB xB ? x2 ? x2 ? x3 ? u2 ,
0 1 3
K4 = 2uD ? x xB P4 ,
B


Lettere al Nuovo Cimento, 1982, 34, № 16, P. 498–502.
The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal equation 175

and satisfying commutation rules of the conformal algebra C1,4
[PA , JBC ] = gAB PC ? gAC PA ,
[PA , PB ] = 0,
[JAB , JCD ] = gBC JAD + gAD JBC ? gAC JBD ? gBD JAC , [PA , D] = PA ,
(5)
[PA , KB ] = 2(gAB D ? JAB ),
[JAB , D] = 0, [D, KA ] = KA ,
[JAB , KC ] = gBC KA ? gAC KB , [KA , KB ] = 0, A, B, C, D = 0, 1, . . . , 4.
One can get the proof of this theorem living Lie’s method [2]. This being the case,
one has to solve the set of first-order coupled partial differential equations:
?? a ?? b
+ = 0, a = b, a, b = 1, 2, 3,
?xb ?xa
?? 0 ?? a ?? 0 ?? 1 ?? 2 ?? 3 ??
? (6)
= 0, = = = = ,
?xa ?x0 ?x0 ?x1 ?x2 ?x3 ?u
?? a ?? 0
?? ??
?
+ = 0, = 0,
?u ?xa ?u ?x0
which can be integrated in a straightforward manner to obtain the infinitesimal
transformations ? µ and ? and then, from the formula
? ?
Q = ? µ (x, u) (7)
+ ?(x, u) ,
?xµ ?u
the vector fields (4).
It is emphasized that because u is a dependent variable, the nonlinear represen-
tation of the conformal group C1,4 is realized on the manifold of the solutions of
eq. (2). Let us remind that the Klein–Gordon equation with m = 0 is invariant under
the Poincar? group A1,3 ? C1,3 ? C1,4 only; the massless Klein–Gordon equation is
e
invariant under the conformal group C1,3 . In both cases one has usual (linear) group
representations as contrasted with the case of eq. (2).
The finite group transformations
Below we present the finite transformations generated by the operators (4), which
can be obtained by direct integration of corresponding Lie equations:
Pµ : xµ = xµ + aµ , u (x ) = u(x), µ = 0, 1, 2, 3,
(8)
P4 : xµ = xµ , u (x ) = u(x) + a4 ,

Jab : x0 = x0 , u (x ) = u(x),
x?? ? · (? · x)
x = x cos ? + (1 ? cos ?), (9)
sin ? +
?2
?
1/2
x ? (x1 , x2 , x3 ), ? ? (?1 , ?2 , ?3 ), ? ? ?1 + ?2 + ?3
2 2 2
,
xa = xa cos ?a ? u(x) sin ?a ,
Ja4 : x0 = x0 ,
(10)
xb = xb , xc = xc , a = b = c, a, b, c = 1, 2, 3,
u (x ) = u(x) cos ?a + xa sin ?a ,
J0a : x0 = x0 cosh ?a + xa sinh ?a , xa = xa cosh ?a + x0 sinh ?a ,
(11)
xb = xb , xc = xc , a = b = c, a, b, c = 1, 2, 3,
u (x ) = u(x),
176 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen

J04 : x0 = x0 cosh ?4 + u(x) sinh ?4 , xa = xa , a = 1, 2, 3,
(12)
u (x ) = u(x) cosh ?4 + x0 sinh ?4 ,

xµ = e? xµ , u (x ) = e? u(x), (13)
D: µ = 0, 1, 2, 3,

xµ ? Cµ x2 ? u2 (x)

<< Предыдущая

стр. 41
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>