<< Предыдущая стр. 42(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
KA : xµ = ,
1 ? 2C? x? + 2C4 u(x) + C A CA (x2 ? u2 (x))
u(x) ? C4 x2 ? u2 (x)
(14)
u (x ) = ,
1 ? 2C? x? + 2C4 u(x) + C A CA (x2 ? u2 (x))
x2 ? xµ xµ = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ,
0 1 2 3
CA C ? C0 ? C1 ? C2 ? C3 ? C4 ,
A 2 2 2 2 2
A = 0, 1, 2, 3, 4,

where aµ , a4 , ?a , ?a , ?a , ?4 , ?, CA are arbitrary real constants.
Contrary to the usual (linear with respect to the dependent function) transforma-
tions hare we have the nonlinear ones. Hence it is the nonlinear representation of
the conformal group C1,4 , previously mentioned.
Some exact solutions of the equation
One can make sure by the straightforward calculations that the following functions
satisfy eq. (2):

u(x) = F (?? x? ) + ? ? x? , ?? x? = ?? ?? = 0, ? ? ?? = 1, (15)

where F is an arbitrary differentiable function;
1/2
?? ?? = ?1,
u(x) = (?? x? )2 + x? x? (16)
,

1/2
u(x) = x2 ? (? · x)2 ? · ? = 1, (17)
,
0

1/2
u(x) = (x? x? )1/2 ? x2 ? x2 (18)
,
0

where ?? , ?? are arbitrary real constants satisfying the mentioned conditions.
Equation (2) is invariant under the transformations

x > x = f (x, u(x), {?}), u(x) > u (x ) = g(x, u(x), {?}), (19)

where {?} are parameters of transformations; the functions f and g are defined by
(8)–(14). It is obvious that if u(x) = ?(x) is a solution of eq. (2), then the new
solutions can be obtained from the functional equation

g(x, unew (x), {?}) = ? (x = f (x, unew (x), {?})) . (20)

For example, the functions

?1 ± [1 + 4A(Ax? x? + ? ? x? )]1/2
u(x) = ,
(21)
2A
A ? C4 ? ? ? C? = 0, ? ? ?? = 1,
The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal equation 177

1/2
C4 ± C4 + C A CA (1 ? 2C ? x? + C A CA x? x? )
2
u(x) = ,
CA C A (22)
CA C A = C0 ? C1 ? C2 ? C3 ? C4 = 0
2 2 2 2 2

are obtained from (16) with F = 0 and (18), respectively, by means of eqs. (14)
and (20).
Formulae (21), (7) imply that the function

u(x) = (2A)?1 [1 + 4A(Ax? x? + ? ? x? )]1/2 , (23)

where ? ? ?? = 1, A = 0 and are arbitrary real constants, satisfies eq. 2.
Upon application of (20) and (12) to (23), we have another solution of eq. (2):
2 2
?0 sinh ?4 1
?1
?0 sinh ?4 ± + x? x? +
u(x) = (2A) +
2A 2A
(24)
1
+ (?0 x0 cosh ?4 ? ? · x) , ? ? ?? = 1.
A = 0,
A
It is obvious that one can use the rest of finite group transformations to generate
more exact solutions of eq. (2).
Remarks
Firstly, it id important to note that what has been said about the symmetry of eq.
(2) holds true for the equation
1/2
?u ?u ?u
± + m2 =0
?x0 ?xa ?xa
recently proposed [1] as the most natural relativistic generalization of the Hamilton–
Jacobi equation.
Secondly, the symmetry group of eq. (1) with m = 0 turns out to be an infinite-
dimensional one because of the arbitrary dependence of ? µ and ? from (7) on u.
The arbitrary dependence of ? on u implies that the arbitrary differentiable function
F (u(x)) will be a solution of eq. (1) with m = 0 as well as u(x). The contrary is the
case m = 0.

1. Fushchych W.I., in Algebraic-theoretical studies in mathematical physics, Kiev, 1981, 6–28 (in
Russian).
2. Ovsyannikov L.V., The group analysis of differential equation, Moscow, 1978 (in Russian).
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 178–217.

О линеаризации некоторых нелинейных
уравнений с помощью нелокальных
преобразований
В.И. ФУЩИЧ, В.А. ТЫЧИНИН
С помощью нелокальных преобразований линеаризованы многие, широко встречаю-
щиеся в прикладных вопросах, нелинейные дифференциальные уравнения в частных
производных. В явном виде построены такие преобразования для уравнений Лиуви-
лля, Монжа–Ампера, Плато и других. Это позволило найти точные решения нели-
нейных уравнений. В основном рассмотрены нелинейные уравнения, зависящие от
двух независимых переменных. Исследованы групповые свойства нелинейных диф-
ференциальных уравнений. Большинство из рассмотренных уравнений допускают
бесконечную группу.
В данной работе показано, что многочисленные нелинейные дифференциаль-
ные уравнения в частных производных от двух независимых переменных, для
которых в известных книгах Форсайта [1] и Эймса [2] получены частные и об-
щие решения, с помощью нелокальных преобразований приводятся к линейным
уравнениям. Установлено, что большинство из этих уравнений инвариантны отно-
сительно бесконечных групп. Видимо, этот факт является причиной того, что для
таких уравнений построены общие решения. Найдена максимальная группа инва-
риантности уравнения для минимальной поверхности (уравнение Плато), которое
при соответствующей замене сводится к уравнению Борна–Инфельда.
Рассмотрены многомерные нелинейные уравнения в частных производных, ко-
торые также допускают линеаризацию.
§ 1. Введение
В основе большинства методов построения точных решений линейных и не-
линейных уравнений лежит одна из самых плодотворных и эффективных идей в
теории дифференциальных уравнений — преобразование независимых и зависи-
мых переменных, т.е. преобразований исходного дифференциального уравнения к
простейшему виду. Чаще всего используются локальные преобразования незави-
симых и зависимых переменных. Теория таких преобразований наиболее полно
изучена в том случае, когда совокупность преобразований образует группу Ли.
Знание группы Ли, допускаемой тем или иным дифференциальным уравнени-
ем, дает способ отыскания эффективных замен. Так, например, если нелинейное
волновое уравнение вида
?u
2u = F (1.0.0)
x,
?x
инвариантно относительно конформной группы, то существует невырожденная ло-
кальная замена w = ?(u), приводящая (1.0.0) к линейному волновому уравне-
нию [3]
2w = 0.
Препринт № 82.33, Киев, Институт математики АН УССР, 1982, 54 с.
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 179

Очевидно, что, зная решения последнего уравнения и явный вид замены, мы на-
ходим решения исходного нелинейного уравнения. На этой идее и построено наше
дальнейшее исследование. При этом рассматриваем, в основном, нелокальные за-
мены вида
?2u
?u
w = ? u, , ,... ,
?xµ ?xµ ?x?
т.е. преобразования зависят от производных.
К нелокальным преобразованиям такого типа относятся преобразования Эйле-
ра, Лежандра, Ли–Бэклунда, Коула–Хопфа, годографа, градиентные преобразова-
ния второго рода в электродинамике.
Замену независимых и зависимых переменных вида

xi = ?i (x, u? , u? , . . . , u ? ), ? = 1, p,
m
1
(1.1.0)
u? = ? i (x, u? , u? , . . . , u? ), i = 1, N ,
s
1

будем называть нелокальными преобразованиями порядка n.
Преобразование производных на многообразии в случае неособой замены пере-
менных (1.1.0) осуществляется по формуле
?

u?i = ? (?xi ? ? ) · xj i + (?u? ? ? ) · u?j · xj i +
x
x x x
j i
?
? (1.2.0)

(?u? ? ? ) · u?k xj · xj i + · · ·?
+ .
x x
xk
M
i
? k

Производная берется на многообразии, по повторяющимся индексам выполняе-
тся суммирование. Оператор полного дифференцирования

u? ?u? + · · ·
u? ?u? +
Dj = ?xi + i ki k
? ? k

позволяет записать (1.2.0) иначе:

Dj ? ? = u?i · Dj xi .
x

В случае одной зависимой u и двух независимых x и y переменных замена имеет
вид
? = x = ?(x, y, u, u, . . . , u ),
m
1
? = y = ?(x, y, u, u, . . . , u ), (1.3.0)
m
1
z = u = ?(x, y, u, u, . . . , u ).
m
1

При этом следует решать систему двух линейных алгебраических уравнений (1.2.0)

Dx ? = ux · Dx ? + uy · Dx ?, Dy ? = ux · Dy ? + uy · Dy ?.
180 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Если определитель системы ? не равен нулю, получим
Dx ?Dy ? ? Dy ?Dx ? H
?,
ux =
Dx ?Dy ? ? Dy ?Dx ? ?
(1.4.0)
Dy ?Dx ? ? Dx ?Dy ? K
?? .
uy =
Dx ?Dy ? ? Dy ?Dx ? ?
Для производных второго порядка из (1.2.0) находим

Djk ? ? = u? l · Dk ?l · Dj ?i + u? · Djk ?i .
i i

Решая систему трех линейных алгебраических уравнений относительно u? j ,
i
с учетом (1.4.0) получаем
? · Dxx ? ? H · Dxx ? + K · Dxx ? ? P,
? · Dyy ? ? H · Dyy ? + K · Dyy ? ? Q,
? · Dxy ? ? H · Dxy ? + K · Dxy ? ? R,
ux x = P (Dy ?)2 + Q(Dx ?)2 ? 2RDx ?Dy ? ? ?3 , (1.5.0)
?3
ux y = P Dy ?Dy ? + QDx ?Dx ? ? RD [?, ?]+ ? ,
x,y

uy y = P (Dy ?)2 + Q(Dx ?)2 ? 2RDx ?Dy ? ? ?3 ,
D [?, ?]x,y ? Dx ?Dy ? + Dy ?Dx ?.
+

Наряду с (1.1.0) будем рассматривать нелокальные преобразования, содержащие
функцией (1.3.0) под знаком неопределенного интеграла. Считаем при этом спра-
ведливым внесение оператора дифференцирования под знак интеграла.
Уравнение F (u ) = 0 будем называть приводимым нелокальным преобразова-
нием T к уравнению L(u) = 0, если существует нетривиальное решение системы
определяющих уравнений, полученных из соотношений

? 0, (1.6.0)
T1 L(u )
F
DM

 << Предыдущая стр. 42(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>