<< Предыдущая

стр. 43
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


? 0. (1.6 .0)
T2 F (u )
L
DM



DM
P
в пространстве (x, y, u, u, . . . , u) может быть задано уравне-
Многообразие
1 l
нием P (u) = 0, его дифференциальными следствиями и, возможно, некоторыми
дополнительными условиями. Связь уравнений F и L может быть выражена при
??
помощи операторов P1 , P2 соотношениями
? (1.7.0)
T1 L(u ) = P1 F (u),

или
? (1.7 .0)
T2 F (u ) = P2 L(u).

Приведение уравнения F к линейному L назовем нелокальной линеаризацией
уравнения F .
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 181

§ 2. Линеаризация и точные решения
Рассмотрим серию нелинейных уравнений [1, 2, 4] от двух независимых пере-
менных. Для этих уравнений построим точные решения сведением их к линей-
ным уравнениям наиболее простого вида. Преобразования переменных при этом
оказываются либо нелокальными, либо точечными. Номер уравнения в скобках
соответствует нумерации, принятой в [3].
1. Уравнение (№ 1) [1]:
F1 ? zxy + zzx = 0. (2.1.0)
Будем искать нелокальное преобразование, обеспечивающее приведение к уравне-
нию M : uxy = 0 по схеме:

? 0,
T 1 F1 T1 : z = ?(u, uy , uyy ).
DM


Вычислим выражения производных на многообразии, подставим их в уравнение
(2.1.0) и выполним расщепление по производным третьего порядка. Это даст урав-
нения:
?uuyy = 0,

uy ?uu + ??u + uyy ?uuy = 0.

В силу первого уравнения ? ищем в виде
? = ?(u, uy ) + ?(uy , uyy ).
Второе уравнение теперь оказывается таким:
uy ?uu + ??u + ??u + uyy ?uuy = 0.
Здесь от uyy зависят третье и четвертое слагаемые. Поэтому получим следующие
два уравнения, определяющие ? и ?:
?u ? + uyy ?uuy = ??(u, uy ), (2.1.1)

(2.1.2)
?uu uy + ??u = ?(u, uy ).

Из (2.1.1) следует, что
?uuy
?
(2.1.3)
= A1 (uy ), = A2 (uy ),
?u ?u
откуда

? = A3 (uy )?(u) exp A2 (uy ) duy + A4 (uy ),
(2.1.4)
? = A1 (uy )A3 (uy )? (u) exp A2 (uy ) duy .

В силу произвольности функций Ai , i = 1, 4, можем выбрать ? и ? в виде
? = uy [?2?(uy )?(u) + ?(uy )] ,
(2.1.5)
? = ?2u2 ?(uy )?(uy )? (u).
y
182 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Здесь ? и ? — произвольные функции uy . Подставив (2.1.5) в (2.1.2), получим
обыкновенное дифференциальное уравнение о тносительно функции ?(u):

? = ? ?2 + ? , (2.1.6)

где ?(uy ) — произвольная функция. Из (2.1.6) следует, что ?, ?, ? — постоянные.
При интегрировании (2.1.6) возможны такие три случая:
a2
1) ? = ? ?2 < 0; при этом
a
th [?(au + c1 )], (2.1.7)
?=
?
a
cth [?(au + c2 )]; (2.1.8)
?=
?
2) ? = 0. В этом случае находим

? = ?(u + c3 )?1 ?; (2.1.9)
b2
3) ? = > 0 дает
?2

b
tg (bu + c4 ), (2.1.10)
?=
?
b
?=? ctg (bu + c4 ). (2.1.10 )
?
В формулах (2.1.7)–(2.1.10) a, b, ci (i = 1, 4) — произвольные постоянные. Тогда
?2u2 a2 ?
y
? = uy [?2a th [?(au + c1 )] + ?] , (2.1.11)
?= ,
ch2 [?(au + c1 )]

2u2 a2 ?
y
? = uy [?2a cth [?(au + c2 )] + ?] , (2.1.12)
?= ,
sh2 [?(au + c2 )]

?4u2 ?
2 y
(2.1.13)
? = uy +? , ?= ,
u + c3 u + c3

?2u2 b2 ?
y
? = uy [?2b tg (bu + c4 ) + ?] , (2.1.14)
?= ,
cos2 (bu + c4 )

?2u2 b2 ?
y
? = uy [2b ctg (bu + c4 ) + ?] , (2.1.14 )
?= .
sin2 (bu + c4 )

Из (2.1.1), учитывая (2.1.5), получим

? = ??uy ? uyy u?1 . (2.1.15)
y

Следовательно, существует несколько замен:
1
?1 = ? 2au2 th [?(au + c1 )] + uyy , (2.1.11 )
y
uy
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 183

1
?2 = ? 2au2 cth [?(au + c2 )] + uyy , (2.1.12 )
y
uy
2uy uyy
? (2.1.13 )
?3 = ,
u + c3 uy
1
?4 = ? 2bu2 tg (bu + c4 ) + uyy , (2.1.14 )
y
uy
1
?5 = ? ?2bu2 ctg (bu + c4 ) + uyy , (2.1.14 )
y
uy
Замечание. Уравнение (2.1.0) весьма просто может быть проинтегрировано следу-
ющим образом: заметим, что уравнение допускает запись
?
2zy + z 2 = 0.
?x
Интегрируя, получаем
2zy + z 2 = F (y). (2.1.16)
Если z0 (y) — частное решение уравнения (2.1.16), то
2 exp ? z0 (y) dy
(2.1.17)
z(x, y) = + z0 (y).
f (x) + exp ? z0 (y) dy dy
Введем обозначение

exp ? z0 (y) dy dy ? g(y).

Это позволяет придать (2.1.17) вид
2g (y) g (y)
? (2.1.13 )
z(x, y) = .
f (x) + g(y) g (y)
Рассмотренное решение допускает формулировку в виде такой простой задачи ли-
неаризации: пусть многообразие M задано уравнением (2.1.0), следует найти пре-
образование T , приводящее уравнение wx = 0 к (2.1.0). Запишем определяющее
соотношение в виде

? 0,
T wx w = ?(z, zy ),
M(2.1.0)

или в развернутом виде

? 0.
zx ?z + zxy ?zy
zxy =?zzx

Отсюда сразу же находим
? = F 2zy + z 2 ,
где F(s) — произвольная функция аргумента. Решение уравнений известно: w =
F (y). Это позволяет найти из (2.1.16) решение (2.1.13 ), называемое общим реше-
нием уравнения (2.1.0) [3].
184 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

2. Уравнение (№ 2) Лиувилля [1]:

F2 ? zxy + ?ez = 0. (2.2.0)

Пусть преобразование зависимой переменной T : z = ?(u, u) обеспечивает приведе-
1
ние (2.2.0) к уравнению uxy по схеме

? 0, M : uxy = 0,
T 2 F2 u = ?(x) + ?(y),
DM


Расщепляя по производным второго порядка u определяющее соотношение, полу-
2
ченное подстановкой производной zxy и z, приходим к системе уравнений

?uux = 0, ?uuy = 0, ?ux uy = 0, ux uy ?uu + ? exp ? = 0.

Решение будем искать в виде ? = ln ux uy ?(u). Тогда из предыдущих уравнений
находим

?uu ? ?2 ??1 + ??2 = 0.
u

Обозначим ?u = p, ?uu = pp, p = p(?). Тогда
?

p ? p??1 = ???2 p?1 .
?

?2(?? + c), откуда
Полагая p = wv, найдем w = ?, v = ?

?2(?? + c), (2.2.1)
p = ?u = ? ?

или
v
d?
v (2.2.2)
= 2 du.
? ??? + c
Интегрируем подстановкой
12 1
??? + c = t2 , ?=? t ?c , d? = ? 2t dt.
? ?
Возможны такие случаи:
I. ? = a2 > 0.
th2
b2 b
2 ? v (u ? c1 )
1?
2
(2.2.3)
1) c = b > 0, ?1,2 =2 ,

<< Предыдущая

стр. 43
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>