<< Предыдущая

стр. 44
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

cth
a 2

?2
2) c = b2 = 0, (2.2.4)
?3 = ,
a2 (u + c3 )2

b2 tg2 b
v (u ? c4 )
3) c = ?b2 < 0, ?4,5 = ? (2.2.5)
1+ .
ctg2
a2 2

II. ? = ?a2 < 0.
th2
b2 b
2 ? v (u ? c6 )
=? 2 1?
2
(2.2.6)
1) c = b > 0, ?6,7 ,
cth
a 2
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 185

2
2) c = b2 = 0, (2.2.7)
?8 = ,
a2 (u + c8 )2

b2 tg2 b
v (u ? c9 )
3) c = ?b < 0,
2
(2.2.8)
?9,10 =2 1+ .
ctg2
a 2
В соответствии с этим существует несколько замен

th2
b2 b
2 ? v (u ? c1 )
= ln ± 2 ux uy 1 ? (2.2.6 )
?1,2 ,
cth
a 2

?2ux uy
(2.2.7 )
?3 = ln ,
a2 (u + c3 )2

b2 tg2 b
v (u ? c4 )
?4,5 = ln ? (2.2.8 )
ux uy 1 + .
ctg2
a2 2

Верхний знак отвечает значениям ? > 0, нижний — значениям ? < 0, ci , (i = 1, 9)
— произвольные постоянные.
Замечание. Столь же просто могут быть получены решения уравнения
zxx + ?ez = 0. (2.2а .0)
Опуская вычисления, перечислим несколько различных форм подстановок, обеспе-
чивающих приведение к уравнению uxx = 0, u = ?(y)x + ?(y):

th2
b2 2 b
2 ? v (u ? c1 )
= ln ± 2 ux 1 ?
?1,2 ,
cth
a 2
?2u2
(2.2а .1)
x
?3 = ln 2 ,
a (u + c3 )2
b2 2 tg2 b
v (u ? c4 )
?4,5 = ln ? ux 1 + .
ctg2
a2 2
Соответствующие решения имеют вид:

th2
b2 2 b
2 ? v (?(y)x + ?(y) ? c1 )
= ln ± 2 ? (y) 1 ?
z1,2 ,
cth
a 2
?2?2 (y)
(2.2а .2)
z3 = ln 2 ,
a (?(y)x + ?(y) + c3 )2
b2 2 tg2 b
v (?(y)x + ?(y) ? c4 )
= ln ? 2 ? (y) 1 +
z4,5 .
ctg2
a 2
3. Уравнение (№ 7) [1]:
F3 ? zxy ? 4?(x, y)zx zy = 0.
2
(2.3.0)
Будем искать нелокальное преобразование вида

f (x, y, u, u) dx + ?(x, y, u, u) dy,
?=
1 1
186 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

приводящее уравнения (2.3.0) к линейному
??
M? : ? ? uxy ? x uy ? ?u = 0, (2.3.1)
2?
? 0. (2.3.2)
T 3 F3 ?
DM


Вычислим значения производных zx , zy , zxy на многообразии M? и запишем опре-
деляющее соотношение (2.3.2) в виде
2
?x
fy + uy fu + uy + ?u fux + uyy fuy +
2?
2
?x
+ ?x + ux ?u + uy + ?u ?uy + uxx ?ux +
2?
?x
uy + ?u fux + uyy fuy ?
+2 fy + uy fu +
2?
(2.3.3)
?x
? ?x + ux ?u + uy + ?u ?uy + uxx ?ux ?
2?
?x
?4? f + uy + ?u ?uy + uxx ?ux dy ?
?x + ux ?u +
2?
?x
? ?+ uy + ?u fux + uyy fuy dx ? 0.
fy + uy fu +
2?
Выполняя расщепление (2.3.3) по u, получаем fuy = 0, ?ux = 0. Учитывая наличие
2
в (2.3.3) интегралов, потребуем выполнения на многообразии условия
?x ?
?(?, u, u) =
?? ?x + ux ?u + ?uy + ?uy ?u =
2? ?y 1

= ?? ?y + ?u uy + ?ux uxy + ?uy uyy .
Расщепление по u сразу же дает ?ux = 0, ?uy = 0, а по ux и ?y — ?u = 0, ?? = 0,
2
соответственно. Остается соотношение для ? и ?
?x
(2.3.4)
?? ?x + ?uy + ?uy ?u = ?u uy .
2?
Пусть ? = ?(?)u2 , тогда ?x ?? = ?? ?x u2 и (2.3.4) приобретает вид
y y

?x
?? ?x u2 + 2u2 + 2uy ?u = ?u uy .
y y
2?
Отсюда следует: ? = ??1 , ?u = ?2u, ? = ?u2 . Значит, ? можно взять в виде
? = ??1 u2 .
y

С учетом полученных результатов определяющее приводимость соотношение за-
писывается так:
2
?x ?x
fy + uy fu + + ?u fux + 4 fy + uy fu + uy + ?u fux uuy +
2? 2?
?x
+(2uuy )2 ? 4? f + u2 uy + ?u fux dx ? 0.
fy + uy fu +
2?
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 187

Анализ показывает, что в последнем слагаемом интегральный сомножитель обра-
щаться в ноль не должен (это ведет к противоречию). Обращение в ноль последне-
го слагаемого достигается выполнением равенства f = u?2 . Проверка показывает,
что это значение f удовлетворяет определяющему соотношению. При этом полу-
чаем

??1 u2 dy.
?=? u2 dx + (2.3.5)
y


Решение уравнения (2.3.0) получится подстановкой решения уравнения (2.3.1) в
(2.3.5).
4. Уравнение (№ 4) [1]:
?
F4 ? zxy + [g(x)ez ] = 0. (2.4.0)
?x
Решим задачу приведения этого уравнения к линейному
g
M? : ? ? uxy ? (2.4.1)
uy = 0, u = ?(x) + g(x)?(y)
g
преобразованием

? 0, T4 : z = ?(z, y, u, u). (2.4.2)
T 4 F4
?
DM 1

Расщепление (2.4.2) по uxx uyy , uxx , uyy на многообразии (2.4.1) дает, соответ-
ственно, уравнения

?ux uy = 0,
g
uy ?ux ux + ge? ?ux = 0,
?yux + uy ?ux u +
g
g
?xuy + ux ?uuy + (uy ?uy uy + ?uy ) = 0.
g
Пусть ?ux = 0. Тогда возможно дальнейшее расщепление по ux :

?yu + uy ?uu + ge? ?u = 0.
?uuy = 0,

Слагаемые, остающиеся после расщепления и не содержащие u и ux , дадут еще
2
одно уравнение

g g g
uy ?u + uy ?xu + uy ?yuy + g e? + ge? ?x + uy ?u = 0.
?xy +
g g g
Пусть, далее ?yuy = ?xuy = ?y = 0. Теперь система определяющих уравнений
станет такой:
uy ?uy uy + ?uy = 0,
uy ?uu + ge? ?u = 0,
(2.4.3)
g g
uy ?u + uy ?xu + g e? + ge? ?x + uy ?uy = 0.
g g
188 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

? ищем в виде

? = ln ?(uy ) ? ln ?(u, x).

Первое из уравнений (2.4.3) теперь дает:

? ? ??1 ?2 = ??u?1 , (2.4.4)
? ? ?y

второе —
2
?uu ?u ?u
?2 (2.4.5)
uy +g ? = 0.
? ? ?
Из последнего сразу же получаем, что ? = c1 uy (c1 = const), а уравнение (2.4.5)
приобретает вид

<< Предыдущая

стр. 44
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>