<< Предыдущая

стр. 45
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2
?u ?u
?uu ? (2.4.6)
+ c1 g = 0.
? ?
Решение этого уравнения нетрудно найти

? = c3 (x) exp c2 (x)u ? c1 c?1 (x)g(x) , (2.4.7)
2

c2 , c3 — произвольные функции от x.
Третье уравнение системы (2.4.3) для ? дает выражение

2c1 ? gc1 ?g ? ?1 ? g ?1 ?u ? ?ug + ?u ?g ? ?1 = 0. (2.4.8)

Расщепление (2.4.8) по exp 2c2 u дает уравнение

g ?1 c2 c2 + c3 [(c3 )g c2 + c3 (c2 )g + c3 c2 (c2 )g ] ? c3 c2 [(c3 )g + c3 (c2 )g ] = 0. (2.4.9)
? ? ? ? ?
3

После простых преобразований оно примет вид

(c2 )g = ?g ?1 c2 . (2.4.10)
?

Решение этого уравнения легко найти:

c2 (x) = ?g ?1 . (2.4.11)

Здесь ? — произвольная постоянная.
Оставшиеся два уравнения, получающиеся из (2.4.8) расщеплением по exp c2 u,
выполняются при этом тождественно. Искомая подстановка приобретает вид
c1 uy
(2.4.12)
?1 = ln .
c3 (x) exp(?g ?1 u) ? c1 g 2 ??1
В случае c2 ? 0 находим

? = c1 gu + c4 ,

c4 — постоянная интегрирования. Нелокальная замена в этой случае оказывается
такой:
c1 uy
(2.4.13)
?2 = ln .
c1 gu + c4
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 189

Соответствующие две формы решения уравнения (2.4.0) запишем в виде
c1 ? (y)g(x)
(2.4.14)
z1 = ln ,
c3 (x) exp(?g ?1 [?(x) + ?(y)g(x)]) ? ??1 c1 g 2

c1 ? (y)g(x)
(2.4.15)
z2 = ln .
c1 g(x)[?(x) + ?(y)g(x)] + c4

Замечание. Уравнение (2.4.0) может быть проинтегрировано иначе. Для этого
заметим, что его можно записать в виде
?
[zy + g(x)ez ] = 0,
?x
откуда
zy + g(x)ez = G (y). (2.4.16)
G (y) — произвольная функция. Выполняя замену z = u+G(y) в (2.4.16), получаем
uy + g(x) exp G(y) exp u = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, находим

exp(?u) = g(x) exp G(y) dy + f (x).

exp G(y)dy ? F (y). Тогда: G(y) = ln F (y) и
Введем обозначение:
u = ? ln[g(x)F (y) + f (x)].
Решение уравнения (2.4.0) теперь может быть записано в виде
z = ln F (y) ? ln[g(x)F (y) + f (x)].
Данному решению отвечает следующая задача приведения: для уравнения wx = 0
следует найти преобразование T такое, что

? 0,
T wx T : w = ?(x, z, zy ).
M(2.4.0)

Решая эту задачу, получаем подстановку
w = zy + g(x)ez .
Учитывая, что w = G (y), можем выразить z как функцию от w, решая уравнение
(2.4.16).
Следующие ниже уравнения объединяет то, что все они допускают линеариза-
цию точечной заменой всех переменных.
5. Уравнение (№ 8):
F5 ? zy zxx ? zx zxy = 0. (2.5.0)
Первое решение. Ищем преобразование вида T : z = ?(u), которое позволило
бы привести (2.5.0) к уравнению
ux ? [? (y)]?1 uy = 0.
M:
190 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Для последнего, как известно, решение можно записать так:
u = ?(x + ?(y)).
Соотношение, определяющее приводимость, имеет вид

? 0. (2.5.0 )
T F5
DM


Подстановка в него значений производных, вычисленных на M, дает
uy (? )?1 uxy ?u ? ux uxy ?u ? 0
или
1
? ux ? 0.
uxy ?u uy
?
Полученный результат означает, что ?(u) — произвольная функция. Решение урав-
нения (2.5.0), следовательно, может быть записано в виде
z = f (x + ?(y)).
Второе решение. Решим задачу об отыскании уравнения F (z) = 0, получаю-
щегося в результате преобразования (1.3.0) уравнения u?? = 0.
Воспользуемся формулами (1.5.0) для преобразования переменных
? = y.
T5 : ? = x, ? = z,
Получим:
Dx ? = 1, Dy ? = 0, Dij ? = 0 (i, j = x, y),
Dx ? = 0, Dy ? = 1, Dij ? = 0,
(2.5.1)
Dx ? = zx , Dy ? = zy , Dij ? = zij ,
?1
? = zx , K = zy , H = 1, u ? = zx ,
?1
P = ?zxx , Q = ?zyy , R = ?zxy , u? = ?zy zx .
Вычисляя u?? , находим
?3
u?? = [zx zxy ? zy zxx ]zx = 0, (2.5.2)
т.е. как раз уравнение (2.5.0). Решение последнего получим, заменяя u, ?, ? их
значениями на MF :
u = ?(?) ? ?(?), x = ?(z) ? ?(y),
=?
что эквивалентно найденному выше первым методом.
Ближайшее обобщение уравнения (2.5.0) наиболее просто получим, задавая,
например, уравнение
(2.5.3)
u?? = ?S(u? ) + ?N (u? ) + ?T (u).
Если здесь ?, ?, ? выбрать функциями ?, получим уравнение
1 zy
zx zxy ? zy zxx = zx ?(z)S ?
3
(2.5.4)
+ ?(z)N + ?(z)T (x) .
zx zx
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 191

По известному решению уравнения (2.5.3) легко, как было показано, строится
решение нелинейного уравнения (2.5.4).
Иной способ построения более общих нелинейных уравнений можно получить
изменением преобразования переменных. Так, выбирая преобразование T в виде
? = y,
? = x, ? = sin z,
получаем
zy
u? = ? ?P = zxx cos z ? zx sin z,
? = zx cos z, ,
zx
u? = (zx cos z)?1 , ?Q = zyy cos z ? zy sin z,
K = zy cos z,
?R = zxy cos z ? zy sin z,
H = 1,
а уравнение оказывается таким:
1 zy
zx zxy ? zy zxx = zx cos2 z ?S ?
3
+ ?N + ?T (x) .
zx cos z zx
Замечание. Уравнение (2.5.0) можно решить иначе. Рассмотрим уравнение
wx = 0, решение которого запишем в виде w = c1 (y). Найдем преобразование
T такое, что

? 0,
T wx w = ?(zx , zy ).
M(2.5.0)

Получим

?0
zxy ?zy + zxx ?zx ?1
zxy =zy zx zxx

или
zy ?zy + zx ?zx = 0.
Отсюда
zx
? = f1 .
zy
Чтобы выразить z через w, следует решить уравнение
zx ? [? (y)]?1 zy = 0.
Получим
z = f (x + ?(?(y)).
6. Уравнение (№ 9):
F6 ? zy zxy ? zx zxy = 0 (2.6.0)
аналогично предыдущему. В этом случае также можно указать несколько способов
решения. Первый — решение задачи приведения к уравнению
uy ? [? (y)]?1 ux = 0.
192 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Второй — преобразование уравнения u?? = 0 заменой

? = x,
T4 : ? = y, ? = z,
?1
? = ?zy , K = ?zx , H = ?1, u ? = zy , (2.6.1)
zx
u? = ? .
P = zxx , Q = zyy , R = zxy ,
zy
Находим
?3
u?? = zy (zx zyy ? zy zxy ) = 0.

Преобразование уравнения (2.5.3) при ?(?), ?(?), ?(?) дает в этом случае уравне-
ние
1 zx
?
3
F6 = zy ?(z)S + ?(z)N + ?(z)T (y) .
zy zy
Замечание. Это уравнение (2.6.0) может быть приведено к wy = 0

w = [? (x)]?1 .
? 0,
T wy
M(2.6.0)

Подстановка будет иметь вид
zx
w = f1 .
zy
Решая уравнение

zy ? [? (x)]?1 zx = 0,

получаем z = f (y + ?(x)).
7. Уравнение (№ 11):

F7 ? zy zxy ? zx zyy ? zy = 0
3
(2.7.0)

может быть построено как частный случай предыдущего, в котором следует поло-
жить u?? = 1. Выполним преобразование (2.6.1). Получим

u?? = (?zy )3 (zx zyy ? zy zxy ) = 1.

Уравнение (2.7.0) может быть получено иначе. Полагая исходное уравнение таким:
u?? = ?1, и выполняя преобразование

? = ?y, ? = z,
T: ? = x,

найдем ? = zy , K = 1, H = zx , P = zxx , Q = zyy , R = zxy ,
?3
u?? = zy (zx zyy ? zy zxy ) = ?1.

Для уравнения (2.7.0) может быть решена также еще одна задача приведения — к
уравнению wy = 0, имеющему решение вида w = f (x):

? 0,
T wy w = ?(z, zx , zy ).
M(2.7.0)
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 193

<< Предыдущая

стр. 45
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>