<< Предыдущая

стр. 46
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Расщепление по производным z дает
2

zx ?zx + zy ?zy = 0,
откуда ? = ?(?, z), ? ? zx .
zy
Второе уравнение оказывается таким:
?z + ?? = 0.
Таким образом, окончательно получим
?1
? = ?(zx zy ? z).
8. Уравнение (№ 14):
F8 ? zy (1 + zy )zxx ? (1 + 2zy )(1 + zx )zxy + (1 + zx )2 zyy = 0. (2.8.0)
Выполним преобразование
? = x + y,
T8 : ? = x, ? = x + y + z,
уравнения u?? = 0 с решением u = ?(?) + ?(?). Получим
1 + zy
? = ?(1 + zx ), K = (1 + zy ), H = zy , u? = ,
1 + zx
u? = ?zy (1 + zx )?1 , P = zxx , Q = zyy , R = zxy .
Подставляя в выражение u?? из (1.5.0), находим
?1
zy (1 + zy )zxx + (1 + zx )2 zyy ? zxy (1 + 2zy )(1 + zx ) = 0,
u?? = 3
(1 + zx )
что при zx zy = 1, zx = ?1 дает (2.8.0), решение которого имеет вид
x = ?(x + y + z) + ?(x + z).
Выбирая в качестве исходного уравнение (2.5.3), получим такое обобщение урав-
нения (2.8.0):
?zy 1 + zy
F8 = ?(1 + zx )3 ?S + ?N + ?T (x) .
1 + zx 1 + zx
9. Уравнение (№ 15):
F9 ? zy zxx ? (1 + zx + zy )zxy + (1 + zx )zyy = 0 (2.9.0)
получается из u?? = 0 (u = ?(?) + ?(?)) преобразованием
? = x + y.
T9 : ? = z, ? = x + z,
При этом
? = 1 + zx ? z y , K = ?zy , H = zx ? z y , u? = zy (1 + zx ? zy ),
zx ? zy
u? = , P = zxx , Q = zyy , R = zxy .
1 + zx ? z y
194 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Вычисляя u?? , получаем (2.9.0)
u?? = (1 + zx ? zy )?3 [zxx zy + zyy (1 + zx ) ? zxy (1 + zx + zy )] = 0.
Решение этого уравнения имеет вид
z = ?(x + z) + ?(x + y).
Преобразование уравнения (2.5.3) дает результат
zx ? zy zy
F9 = [1 + zx ? zy ]3 ?S + ?N + ?T (z) .(2.9.1)
1 + zx ? z y 1 + zx ? z y
10. Уравнение (№ 17):
F10 ? (ex ? 1)(zy zxx ? zx zxy ) ? zx zy ex = 0. (2.10.0)
Выполним преобразование
? = x ? ex , ? = y,
T10 : ? = z,
уравнения u?? = 0. В этом случае

K = zy (1 ? ex ), H = (1 ? ex ),
? = zx ,
1 ? ex (1 ? ex )zy
u? = ?
u? = , ,
zx zx
?P = zxx (1 ? ex ) + zx ex , ?Q = zyy (1 ? ex ), ?R = zxy (1 ? ex ).
Вычисляя теперь u?? , получаем
u?? = (?zx )3 [zx zy ex + (1 ? ex )zy zxx ? zx zxy (1 ? ex )] = 0,
откуда следует (2.10.0). Решение последнего имеет вид
x ? ex = ?(z) ? ?(y).
В рассмотренном примере, как и в предыдущем, легко можно построить обобщение
уравнения (2.10.0), усложняя, например, исходное уравнение до (2.5.3).
Для уравнения (2.10.0) возможно решение другой задачи приведения. Выберем
в качестве исходного такое линейное уравнение:
? ? wx + ex (1 ? ex )?1 w = 0. (2.10.1)
Найдем преобразование T такое, что

? 0, (2.10.2)
T ?(w) w = ?(zx , zy ).
M(2.10.0)

Тогда

zxy ?zy + zxx ?zx + ex (1 ? ex )? ?0
M
или
zxy ?zy ? ex (1 ? ex )?1 ?zx + zxy zx zy ?zx + ex (1 ? ex )?1 ? ? 0.
?1
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 195

Расщепление по zxy дает
(2.10.3)
zy ?zy + zx ?zx = 0,
zx
откуда следует ? = f , что удовлетворяет и второму уравнению, остающемуся
zy
от (2.10.3):
zx ?zx ? ? = 0.
Решение (2.10.1) имеет вид w = F (y)(ex ? 1). Поэтому из замены
?1
zx zy = F (y)(ex ? 1)
находим z = ?(ex ? x + F (y)).
11. Уравнение (№ 18) [1]:
F11 ? zy (1 + zy )zxx ? (1 + zx + zy + 2zx zy )zxy + zx (1 + zx )zyy = 0. (2.11.0)
Данное уравнение получим из u?? = 0 подстановкой
? = y + z.
T11 : ? = z, ? = x + z,
При этом
zy
K = ?zy ,
? = 1 + zx + z y , H = zx , u? = ,
1 + zx + z y
zx
u? = , P = zxx , Q = zyy , R = zxy .
1 + zx + z y
Вычисление u?? дает уравнение (2.11.0). Решение его таково:
z = ?(x + z) + ?(y + z).
Преобразованием уравнения (2.5.3) получим
zx zy
F11 = (1 + zx + zy )3 ?S + ?N + ?T (z) .
1 + zx + zy 1 + zx + z y
12. Уравнение (№ 23):
F12 ? z(zy zxy ? zx zyy ) ± zx zy = 0.
2
(2.12.0)
Исходным здесь может быть взято уравнение
u?? = ? ?1 u? , (2.12.1)
имеющее решением функцию u = ?(?) + ??(?).
Выполним следующее преобразование уравнения (2.12.1):
? = ±z.
T12 : ? = y, ? = x,
При этом находим
?1
? = ±zy , K = ?1, H = ?zx , u? = ±zy ,
?1
u? = ?zx zy , P = ?zxx , Q = ?zyy , R = ?zxy .
196 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Полученные выражения позволяют вычислить производные u?? и u? на M много-
образии. Подставим их в (2.12.1), получим
zx
u?? = [?zy zxy ± zx zyy ] (±zy )?3 = ? = ? ?1 u? .
zy z
Решение (2.12.0) может быть, следовательно, записано в виде
y = ?(z) ± z?(x).
Потребовав, чтобы исходное уравнение имело вид (2.5.3) с ?, ?, ?, зависящими от
?, придем к такому обобщению (2.12.0)
zx 1
zy zxy ? zx zyy = zy ?(z)S ?
3
+ ?(z)N + ?(z)T (y) .
zy zy
В частности, потребовав, чтобы (2.5.3) имело вид
1
u?? = u? , (? = z),
f (?)
получим
f (z)[zy zxy ? zx zyy ] = ?zx zy .
2


Решение этого уравнения выглядит так:

f ?1 (z) dz dx + ?(z).
y= ?(x) exp

13. Уравнение (№ 12):
F13 ? zy zxx ? 2zx zy zxy + zx zyy = 0
2 2
(2.13.0)
может быть получено преобразованием
?=z
T13 : ? = y, ? = x,
уравнения u?? = 0 с решением u = ??(?) + ?(?). В самом деле
?1
K = ?1, H = ?zx ,
? = zy , u ? = zy ,
?1
u? = ?zx zy , P = ?zxx , Q = ?zyy , R = ?zxy .

Вычисляя u?? и приравнивая результат нулю, приходим к (2.13.0). Решение запи-
сывается в виде
y = ?(z)x + ?(z).
В случае преобразования T13 уравнения
(2.13.1)
u?? = ?(?)S(u? ) + ?(?)N (u? ) + ?(?)T (u)
получим
zx 1
F13 = zy ?(z)S ?
3
+ ?(z)N + ?(z)T (y) .
zy zy
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 197

14. Уравнение (№ 13):
F14 ? zy zxx ? 2zx zy zxy + zx zyy ? zx zy = 0
2 2 2
(2.14.0)
получается как частный случай предыдущего (2.13.1).
Выполним преобразование
?=z
T14 : ? = y, ? = x,
уравнения u?? = u? , имеющего решение u = e? ?(?) + ?(?). Решение уравнения
(2.14.0) запишется в виде
y = ex ?(z) + ?(z).
15. Уравнение (№ 16) [1]:
F15 ? (b + zy )2 zxx ? 2(a + zx )(b + zy )zxy + (a + zx )2 zyy = 0 (2.15.0)
получается из u?? = 0 заменой
? = ax + by + z.
T15 : ? = z, ? = x,
При этом находим
K = ?zy , H = zx (b + zy ) ? zy (a + zx ),
? = b + zy ,
a + zx
u? = zy (b + zy )?1 , u ? = zx ? z y ,
b + zy
P = bzxx , Q = bzyy , R = bzyy .
С помощью полученных выражений вычислим u?? . Приходим к (2.15.0). Решение
этого уравнения имеет вид (u = ??(?) + ?(?)):
z = x?(ax + by + z) + ?(ax + by + z).
Преобразованием уравнения (2.13.1) получим
a + zx zy
F15 = b?1 (b + zy )3 ?S zx ? zy + ?N + ?T (z) .
b + zy b + zy
Уравнения, которые будут рассмотрены ниже, объединяет то, что все они допу-
скают линеаризацию посредством нелокального преобразования всех переменных.
16. Уравнение (№ 21) [1]:
F16 ? zxx + zx zyy ? zy zxy = 0. (2.16.0)
Поставим следующую задачу приведения: найти преобразование
z = ?(?, ?, u, u, u),
12
x = ?(?, ?, u, u, u), (2.16.1)
T16 : 12
y = ?(?, ?, u, u, u),
12

осуществляющее приведение (2.16.0) к уравнению u?? = 0 по схеме

? 0.
T16 F16
DM
198 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Полученное преобразование может быть полезно для построения решения урав-
нения (2.16.0) в основном в тех случаях, когда (2.16.1) есть линейные функции
(возможно с переменными коэффициентами), т.е.
? = ?u?? + ?u? + ?u?? + ?u? + ?u + c1 ,
(2.16.2)
? = hu?? + lu? + ku?? + mu? + nu + c2 ,
? = au?? + bu? + cu?? + du? + eu + c3 ,
Здесь все коэффициенты — функции ?, ?. Выписывать значения производных
на M не будем ввиду их громоздкости. Определяющее соотношение может быть
записано так:
P ?(D? ?)2 + H(D? ?)2 ± KD? ?D? ? + Q ?(D? ?)2 + H(D? ?)2 ± KD? ?D? ? ?
?R [2?D? ?D? ? + 2HD? ?D? ? ± K(D? ?D? ? + D? ?D? ?)] ? 0.
DM

Легко увидеть, что u???? встретится лишь в P , а u???? — только в Q. Отсюда
следует, что R = 0. Выполняя дальнейшее расщепление в P и Q по u и затем по u,
4 3
получаем систему большого числа простых уравнение, позволяющую в завершение
процесса решения получить замену
? = ? 2 u?? ? 2?u? + 2u + ? 2 u?? ? 2?u? + c1 ,
? = ?(u?? + u?? ) + c2 , (2.16.3)
? = ±(?u?? ? u? + ?u?? ? u? ) + c3 .
Проверим, что преобразование (2.16.3) в самом деле дает решение задачи. Вычи-
сление дает следующие результаты на M:
D? ? = ?u??? , D? ? = ±?u??? ,

<< Предыдущая

стр. 46
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>