<< Предыдущая

стр. 47
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

D? ? = ? 2 u??? ,
D? ? = ?u??? , D? ? = ±?u??? ,
D? ? = ? 2 u??? ,
D?? ? = ?u???? , D?? ? = ±(u??? + ?u???? ),
D?? ? = 2?u??? + ? 2 u???? ,
D?? ? = ?u???? , D?? ? = ±(u??? + ?u???? ),
2
D?? ? = 2?u??? + ? u???? ,
D?? ? = 0.
D?? ? = 0, D?? ? = 0,
Отсюда легко найти значения вспомогательных величин
? = ?u??? u??? (? ? ?), K = ??(? + ?), H = ?(??),
zy = ±(? + ?), P = ?(? ? ?)u??? , Q = ?(? ? ?)u??? .
zx = ??,
Производные второго порядка теперь вычисляются весьма просто:
zxx = ?? ?1 ? 2 u??? ? ? 2 u??? ,
zyy = ?? ?1 [u??? ? u??? ] ,
zxx = ?? ?1 [?u??? ? ?u??? ] .
Подстановка найденных выше выражений производных на многообразии в (2.16.0)
обращает последнее в тождество. Следовательно, (2.16.3) есть искомое преобразо-
вание. Замечая, что u = ?(?) + ?(?), запишем решение уравнения (2.16.0)
z = ? 2 ? ? 2?? + 2(? + ?) + ? 2 ? ? 2?? + c1 ,
x = ?(? + ? ) + c2 ,
y = ±(?? ? ? + ?? ? ? ) + c3 .
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 199

Здесь c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные.
17. Уравнение (№ 10):
F17 ? zxy ? zxx zyy ? zxy = 0.
2
(2.17.0)
Будем искать линейное преобразование
? = ?u? + ?u? + ?u + c1 ,
(2.17.1)
? = lu? + mu? + nu + c2 ,
T17 :
? = bu? + du? + eu + c3 ,
осуществляющее приведение к уравнению u?? = 0 по схеме

? 0. (2.17.2)
T17 F17
DM


Определяющее соотношение (2.17.2) запишем так:
[P D? ?D? ? + QD? ?D? ? ? R(D? ?D? ? + D? ?D? ?)] ? 3 ?
? P 2 (D? ?)2 (D? ?)2 + P Q(D? ?)2 (D? ?)2 ? 2RP (D? ?)2 D? ?D? ?+
+QP (D? ?)2 (D? ?)2 + Q2 (D? ?)2 (D? ?)2 ? 2RQ(D? ?)2 D? ?D? ??
?2RP (D? ?)2 D? ?D? ? ? 2RQ(D? ?)2 D? ?D? ? + 4R2 D? ?D? ?D? ?D? ??(2.17.3)
?P 2 (D? ?)2 (D? ?)2 ? Q2 (D? ?)2 (D? ?)2 ? R2 (D? ?D? ? + D? ?D? ?)2 +
+2RP D? ?D? ?(D? ?D? ? + D? ?D? ?) ? 2P QD? ?D? ?D? ?D? ?+
+2RQD? ?D? ?(D? ?D? ? + D? ?D? ?) ? 0.
DM


Здесь слагаемые с P 2 и Q2 взаимно уничтожаются. Следует учесть, что u???
содержится только в P , а u??? — в Q; R не зависит от u. Выполняя расщепление в
3
оставшихся слагаемых (2.17.3) по произведению u??? u??? , по u??? и u??? , получим
систему определяющих уравнений. Решение последней имеет вид
? = ?? + ?u? + ?u? ? u + c1 ,
(2.17.4)
? = u? + ? + c2 ,
? = u? + ? + c3 .
Здесь c1 , c2 , c3 — постоянные интегрирования.
Убедимся в том, что найденная подстановка в самом деле осуществляет приве-
дение уравнений. Простые вычислений дают
D? ? = ? + ?u?? , D?? ? = u?? + ?u??? , D?? ? = 1, D? ? = ? + ?u?? ,
D?? ? = u?? + ?u??? , D? ? = u?? , D? ? = 1, D?? ? = u??? ,
D? ? = 1, D? ? = u?? , D?? ? = u??? ,
D?? ? = D?? ? = 0,

D?? ? = D?? ? = 0, ? = u?? u?? ? 1, K = ???,
H = ??, P = u?? ?, Q = u?? ?, R = ?.

Теперь легко вычисляются значения z
2

zxx = u?? ? ?1 , zyy = u?? ? ?1 , zxy = ? ?1 .
200 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Подставляя их в (2.17.0) на многообразии, убеждаемся в том, что результат верен:
u?? u?? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?1 ? 0.
Решение получим, подставив в (2.17.4)
z = ?? + ?? + ?? ? ? ? ? + c1 ,
(2.17.5)
x = ? + ? + c2 ,
y = ? + ? + c3 .
18. Уравнение (№ 20) (уравнение Plateou) [1, 2]:
F18 ? 1 + zy zxx ? 2zx zy zxy + 1 + zx zyy = 0.
2 2
(2.18.0)
Покажем, что преобразование (подстановка Монжа (Моngе))
1/2 1/2
1 + u2 1 + u2
?=i d? + i d? + c1 ,
? ?
(2.18.1)
T18 : ? = ? + ? + c2 ,
? = u + c3 , ci (i = 1, 3) — const
является преобразованием, осуществляющим приведение (2.18.0) к уравнению
u?? = 0 по схеме

? 0, (2.18.2)
T18 F18 u = ?(?) + ?(?).
DM

Вычислим значения на многообразии вспомогательных величин
D? ? = u? , D? ? = u? ,
D? ? = 1, D? ? = 1, Dij ? = 0,
?1/2
1/2
Dij ? = 0, D? ? = i 1 + u2 D?? ? = iu? u?? 1 + u2
, ,
? ?
?1/2
1/2
D? ? = i 1 + u2 D?? ? = iu? u?? 1 + u2
, ,
? ?
1/2 1/2
? = u? ? u? , ? i 1 + u2
K = i 1 + u2 , R = 0,
?
?
(2.18.3)
1/2 1/2
u? ? i 1 +
H = i 1 + u2 u2 u? ,
?
?
?1/2 1/2 1/2
? 1 + u2
P = i?u? u?? 1 + u2 1 + u2
+ iu?? ,
?
? ?

?1/2 1/2 1/2
? 1 + u2
Q = i?u? u?? 1 + u2 1 + u2
+ iu?? .
?
? ?

Определяющее соотношение на многообразии имеет вид
1 + K 2 ? ?2 P u2 + Qu2 + 2KH? ?2 [P u? + Qu? ]+
? ?
(2.18.4)
2 ?2
? 0.
+ 1+H ? [P + Q]
DM

Выполняя здесь все действия, убеждаемся в справедливости тождества (2.18.2).
Решение уравнения (2.18.0) выглядит следующим образом:
1/2 2 1/2
1+?2
z=i d? + i 1+? d? + c1 ,
x = ? + ? + c2 ,
y = u + c3 .
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 201

19. Уравнение (№ 22) [1]:
F19 ? (zy + yzyy )(zxx + 1) ? (yzxy ? zx ? x)zxy = 0,
(2.19.0)
zy zx + x zy
? zxx zyy ? zxy +
2
zxx + zyy + zxy + = 0.
y y y
Покажем, что уравнение (2.19.0) может быть приведено к линейному
wyy + ?y ?1 w?y + y ?1 wy = 0.
Mw : (2.19.1)
Решение последнего легко находится из задачи приведения к уравнению u?? = 0.
Подстановка оказывается такой:
?
? = ?(?, y, w) = , ? = ?(?, ?, w) = ?, u = ?(?, y, w) = w,
y
? 1 ?
?=? K = ?wy , H=?
, w? + wy ,
y2 y y
? 2 1
P =? R = ? w?y ? wy .
w?? , Q = ? wyy + wy ,
y2 y ?
При этом решение (2.19.1) записывается в следующем виде (u = ?(?) + ?(?)):
?
w = ?(?) ? ? (2.19.2)
.
y
Преобразование, осуществляющее приведение (2.19.0) к (2.19.1)
12
? = ??w? ? w? + w + c1 ,
2
T19 : ? = ?w? ,
?=y
дает следующие значения вспомогательных величин на многообразии:
1
? = ?w?? , K = ?? P = ??w?? ,
2
H = ?(? + w? ), w?? w? + wy ,
2
12 1 2 ? ? 1
Q = ? ? w?? + w? w?? + w??y ? w?y ? wy .
R = ? 2 w?y ,
2 2 y y y y
Подстановка последних в (2.19.0) обращает его в тождество. Решение уравнения
(2.19.0) имеет вид
1 ?
z = ??x ? x2 + ?(?) ? ? + c1 ,
2 y
1
x=? ? ? ? , y = y,
y
иди в другой форме
1 ?
z = ??x ? x2 + ?(?) ? ? + c1 ,
2 y
1
x = ?? + ? , y = y.
y
202 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

20. Уравнение ( № 19) [1]:

F20 ? [zxx ? zx zyy ]2 ? zy zxx zyy = 0.
2
(2.20.0)

В отличие от рассмотренных ранее уравнений подстановка, осуществляющая при-
ведение этого уравнения, зависит сразу от двух различных решений последнего.
Это соответствует заданию многообразия системой двух линейных уравнений

MS : (2.20.1)
u? = 0, v? = 0.

Решая систему определяющих уравнений, найдем
1 2
2? ? ? 3 u ? u + ? 4 v d? + c1 ,
?=
3 3
1
? = u + v + c2 , (2.20.2)
T20 :
?
? = ?u ? ? 2 v d? + c3 , ci = const.

Покажем, что данное преобразование обеспечивает приведение уравнения (2.20.0)
к системе (2.20.1). Вычислял вспомогательные величины на многообразии, полу-
чаем
1
? = 2? ?1 u K = ?(3?)?1 2? 3 ? ? ,
?2v ? u , ?? ? 3 + ? ,
H=
3
2 2
?(?v ? u ) 4? 2 + ? , R ? 0,
P= Q = ?u ,
3 3
2
zxx = ? ?2 ? 2 v ? u u ? 2 4? 2 + ? u + ? 2 v ? u ? A = 0,
3
1 1
zyy = ? ?4 A, zy = ? 2? 2 ? ? .
zx = ? ? 3 + ? ,
3 3?
Определяющее соотношение

<< Предыдущая

стр. 47
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>