<< Предыдущая

стр. 48
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?0
T20 F20
S
DM

с учетом полученных результатов принимает вид
2 2
A2 1 + 9?1 ? ?6 ? 3 + ? ? ? ?4 2 · 3?1 ? ? 3 + ? + 9?1 ? ?2 2? 3 ? ? ? 0,

откуда видно, что тождество выполняется за счет обращения в ноль сомножителя.
Заменяя в (2.20.2) u и v произвольными функциями ?(?) и ?(?) получаем решение
уравнения (2.20.0).
21. Уравнение (№ 3) Лиувилля [1]:

F21 ? zxx + zyy + ?2 he2hz = 0. (2.21.0)
1

Здесь, как и в предыдущем случае, многообразие зададим системой уравнений,
дополненной условиями Коши–Римана:
?x = ??y ,
?xx + ?yy = 0,
MS : (2.21.1)
?xx + ?yy = 0, ?y = ?x .
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 203

При u = ? ± i? это отвечает уравнению uxx + uyy = 0.
Линеаризующее преобразование ищем в виде
(? = const). (2.21.2)
T21 : z = ? ln ?(?, ?, ?x , ?y ),
Определяющее соотношение будет таким:

? 0. (2.21.3)
T21 F21
S
DM


DM ,
S
Подставляя значения z , вычисленные на в (2.21.3) и выполняя расщепление
2
по ?2 и ?2 , находим
xx xy

??x ?x ? ? ?1 ??x + ??y ?y ? ? ?1 ??y = 0.
2 2
(2.21.4)
Расщепление по ?xx и ?xy даст совпадающие уравнения вида
?y [?? ??x ? ?? ??y ? ?(??x ? ? ??y ? )]+
(2.21.5)
+?x [?? ??x + ?? ??y ? ?(???x + ??y ? )] ? 0.
Легко убедиться, что данное уравнение обладает решением
? = w?1 (?, ?) ?2 + ?2 + c , (2.21.6)
x y

где w(?, ?) — произвольная функция. Последнее уравнение, остающееся после
расщепления, но содержащее ?ij , таково:

?2 ?? + ?? ? ?(??? + ??? ) ? 4??1 ?2 h? 2?h+2 +
2 2
x
(2.21.7)
+?2 ?? + ?? ? ?(??? + ??? ) = 0,
2 2
(4?2 = ?2 ).
y 1

Если в него подставить ? из (2.21.6), получим ? = (2h)?1 , c = 0, и уравнение
w?? + w?? ? w?1 w? + w? = 8?2 h2 ? k.
2 2
(2.21.8)
Рассмотрим уравнение
uxx + uyy ? u?1 u2 + u2 = k. (2.21.8 )
x y

Будем искать решения вида u = u(x + y). Тогда
1
u ? u?1 (u )2 = k.
2
Решая последнее, находим
v
d(u ? a)
(2.21.9)
= cdx,
(u ? a)2 ? a2
где a = k(2c)?1 , c — произвольная постоянная. Интегрирование (2.21.9) дает не-
сколько форм решений уравнения (2.21.8 ):
a2 > 0,
1) c = 0,
ch v (2.21.10)
k
u1,2 = c(x + y) + A1 + 1 ;
?i sh
2c
204 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

a2 > 0,
2) c = 0,
(2.21.11)
k
u3 = ? [x + y + A3 ]2 ;
4
v
a2 = ?b2 < 0, c = 0, c = (i ± 1) ? , ? ? R,
3) 2
v (2.21.12)
k sh
u4,5 = ? c(x + y) + A4 + 1 .
±i ch
2?
Кроме того, можно указать еще одно решение уравнения (2.21.8 )
k
2
u6 = x2 + y 2 + 1 (2.21.13)
,
8
которое получится, если рассмотреть случай (i = x, y)

u2 u?1 = Mi = const, Ni ?
uii = Ni = const, Mi = k.
i
i i

Найденные выше решения уравнения (2.21.8 ) можно использовать для построения
решений уравнения (2.21.0). Получим соответственно:
2c ?2 + ?2
1 x y
(2.21.10 )
z1,2 = ln ;
ch v
2h
8h2 ?2 [ c(? + ?) + A1 ] + 1
±i sh

?4 ?2 + ?2
1 x y
(2.21.11 )
z3 = ln 2 2 ;
2h 8h ? (? + ? + A3 )2

?2? ?2 + ?2
1 x y
z4,5 = ln ,
sh v
2h
8h2 ?2 [ c(? + ?) + A4 ] + i
±i ch (2.21.12 )
v ?
c = (i ± 1) ? ? R;
,
2
?2 + ? 2
1 x y
(2.21.13 )
z6 = ln .
2h h2 ?2 (?2 + ? 2 + 1)2

§ 3. Линеаризация некоторых многомерных уравнений
Наличием произвольных функций и постоянных интегрирования в постро-
енных решениях двумерных нелинейных уравнений можно воспользоваться при
отыскании решений некоторых их многомерных обобщений.
1. Один из возможных методов трехмерного обобщения рассмотрим на примере
уравнения (2.1.0). Заметим, что два уравнения
zxy + zzx = 0, zx? + z zx = 0
? y ??
могут быть независимо приведены к линейным uxy = 0 и ux? = 0, соответственно,
y
подстановками (2.1.11 )–(2.1.14 ). Это обстоятельство наводит на мысль о суще-
ствовании подстановок, линеаризующих уравнение
(3.1.1)
zxy + zxt + zzx = 0.
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 205

Решением задачи приведения могут быть получены подстановки
uyy utt
th
z1,2 = ?2b(uy + ut ) [?(bu + c1 )] ? ? ,
cth uy ut
2(uy + ut ) uyy utt
? ?
z3 = ,
u + c3 uy ut
uyy utt
tg
z4,5 = ?2b(uy + ut ) [bu + c4 ] ? ? ,
(?1)ctg uy ut
и некоторые дополнительные условия на многообразие, вытекающие из системы
определяющих уравнений. Получим эти условия здесь более простым путем, при
этом убедимся в справедливости указанных подстановок. Многообразие зададим
системой соотношений
MS : uxy = uxt = uyt = 0 =? u = ?(y) + ?(t) + ?(x).
Вычислим производные на многообразии для каждой из подстановок и подставим
найденные значения в уравнение (3.1.1). Потребуем обращения его в тождество на
многообразии. Это возможно при условии
utt u?2 + uyy u?2 = 0. (3.1.2)
t y

С учетом того, что u = ?(y) + ?(t) + ?(x), получим два уравнения
? ? ? ?
? = ??? 2 ,
? = ??2 , ? = const.
Решение их дает следующие выражения:
1
? = ? {ln[?(?y + A2 )] + A1 } ,
?
1
? = ? {ln[?t ? A4 ] + A3 } ,
?
где Ai , i = 1, 4 — произвольные постоянные. Теперь соответствующие решения
имеют вид
?b/?
?t ? A4
1 1 2b th
z1,2 =? + ln + ?1 (x) + c1 + 1 ,
A4 ? ?t ??y ? A2
? cth
?y + A2
1/?
?t ? A4
1 1 2
? (3.1.3)
z3 = ? + ln + ?2 (x) + c2 + 1 ,
A4 ? ?t ??y ? A2
?y + A2 ?
b/?
?t ? A4
1 1 2b tg
z4,5 =? + ln + ?4 (x) + c4 + 1 .
A4 ? ?t ??y ? A2
? (?1) ctg
?y + A2
При utt = uyy = 0 получим u = ?(x) + ?y + ?t + ?, ?, ?, ? — const. Решение
оказываются такими:
th
z1,2 = ?2b(? + ?) [?b(?(x) + ?y + ?t + ?) + c1 ],
cth
2(? + ?)
(3.1.4)
z3 = ,
?3 (x) + ?y + ?t + c3
tg
z4,5 = ?2b(? + ?) [b(?4 (x) + ?y + ?t + ?) + c4 ].
(?1) ctg
206 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

2. Рассмотрим уравнение
zxy + zxt + zyt + ez = 0. (3.2.0)
Рассуждая как и в предыдущем случае, находим, что подстановки могут быть
выбраны в виде

th2
b2 b
2 ? v (u ? c1 )
= ln ± 2 (ux uy + ut ux + uy ut ) 1 ? (3.2.1)
z1,2 ,
cth
a 2

?2(ux uy + ut ux + uy ut )
(3.2.2)
z3 = ln ,
a2 (u + c3 )2

b2 tg2 b
v (u ? c4 )
= ln ? 2 (ux uy + ut ux + uy ut ) 1 + (3.2.3)
z4,5 .
ctg2
a 2
Записанные подстановки могут быть получены вместе с дополнительными услови-

<< Предыдущая

стр. 48
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>