<< Предыдущая

стр. 49
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ями решением задачи приведения на многообразие
MS : (3.2.4)
uxy = uxt = uyt = 0, u = ?(x) + ?(y) + ?(t).
Вычислив значения производных па многообразии для каждого из выражений
(3.2.1)–(3.2.3), подставим их в левую часть уравнения (3.2.0). Обращение его в
тождество возможно при выполнении соотношений
? ? ?
(3.2.5)
= ?, = µ, = ?,
(? )2 (? )2 (? )2
где
µ?1 + ? ?1 = ??1 , — постоянные. (3.2.6)
µ, ?, ?
Нетрудно получить отсюда выражения для ?, ?, ?:
? = ???1 {ln[?(?x + A2 )] + A1 } , (3.2.7)

? = ?µ?1 {ln[?(µy + A4 )] + A3 } , (3.2.8)

? = ?? ?1 {ln[?(?t + A6 )] + A5 } . (3.2.9)

Ai , i = 1, 6 — произвольные постоянные. Заметим, что
? = ?(?x + A2 )?1 , ? = ?(µy + A4 )?1 , ? = ?(?t + A6 )?1 .
Это позволяет записать несколько форм решения уравнения (3.2.0):
b2 1 1 1
= ln ± 2 ?
z1,2 + +
a (?x + A2 )(µy + A4 ) (?t + A6 )(?x + A2 ) (µy + A4 )(?t + A6 )

th2 vb
vb vb
? 1? ln(??x ? A2 ) 2? + ln(?µy ? A4 ) 2µ + ln(??t ? A6 ) 2? + c1 ,
2
cth

2 1 1 1
z3 = ln ? ?
+ +
a2 (?x + A2 )(µy + A4 ) (?t + A6 )(?x + A2 ) (µy + A4 )(?t + A6 )
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 207

?2
1
1 1
? ln(??x ? A2 )? ? + ln(?µy ? A4 )? µ + ln(??t ? A6 )? ? + c3 (3.2.10)
,

b2 1 1 1
z4,5 = ln ? ?
+ +
a2 (?x + A2 )(µy + A4 ) (?t + A6 )(?x + A2 ) (µy + A4 )(?t + A6 )
tg2 ? vb
? vb ? vb
? 1+ 2 ln(??x ? A2 )
2? + ln(?µy ? A ) 2µ + ln(??t ? A ) 2? + c ,
4 6 4
ctg
Условия (3.2.5). (3.2.6) будут выполнены и при ? = ? = ? = ? = µ = ? = 0,
когда u = ?x + ?y + ?t + ?. Решения в этом случае оказываются такими:
th2
b2 b
2 ? v (?x + ?y + ?t + ? ? c1 )
= ln ± 2 (?? + ?? + ??) 1 ?
z1,2 ,
cth
a 2
?2(?? + ?? + ??)
(3.2.11)
z3 = ln ,
a2 (?x
+ ?y + ?t + ? + c3 )2
b2 tg2 b
v (?x + ?y + ?t + ? ? c4 )
z4,5 = ln ? (?? + ?? + ??) 1 + ,
ctg2
a2 2
Замечание. В замечании к п.2 раздела II были построены решения уравнения
(2.2а .0). Это позволяет так же, как это было сделано выше, найти решения урав-
нения
(? = ±a2 )
zxx + zyy + ztt + ?ez = 0, (3.2а .0)
сведением к уравнению
uxx + uyy + utt = 0.
Линеаризующие подстановки выберем в виде
th2
b2 2 b
2 ? v (u ? c1 )
= ln ± 2 ux + u2 + u2 1?
z1,2 ,
y t
cth
a 2
?2 u2 + u2 + u2
x y t
(3.2а .1)
z3 = ln ,
2 (u + c )2
a 3

b2 2 tg2 b
v (u ? c4 )
z4,5 = ln ? ux + u2 + u2 1+ ,
ctg2
y t
2
a 2
Если дополнительно потребовать, чтобы было uij = 0, т.е.
u = ?x + ?y + ?t + ?,
получим несколько соответствующих форм решения (3.2а .0)
th2
b2 b
2 ? v (?x + ?y + ?t + ? ? c1 )
= ln ± 2 ?2 + ? 2 + ? 2 1?
z1,2 ,
cth
a 2
?2 ?2 + ? 2 + ? 2
(3.2а .2)
z3 = ln 2 ,
a (?x + ?y + ?t + ? + c3 )2
b2 2 tg2 b
v (?x + ?y + ?t + ? ? c4 )
z4,5 = ln ? ? + ?2 + ?2 1+ .
ctg2
2
a 2
208 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Еще одна возможность построения решений уравнения (3.2а .0) связана со следу-
ющим замечанием. Введение новой переменной
1
? = v (y + t)
2
для

uxx + uyy + utt = 0

дает

M: uxx + u?? = 0

и позволяет записать (3.2а .0) в виде

zxx + z?? + ?2 he2hz = 0.
1

Решения последнего были построены ранее, что позволяет записать такие решения
уравнения (3.2а .0): ? = ? y+t ; x , ? = ? y+t ; x ,
v v
2 2

?1
v ch v
1 2 2 ?1
ln 2 2c ?2 + ?2
z1,2 = 8h ? c(? + ?) + A1 + 1 ;
±i sh
x ?
2h
v
1 ?1 ?2
ln ?4 2 ?2 + ?2 {? + ? + A3 }
8h2 ?2
z3 = ;
x ?
2h
(3.2а .3)
?1
v sh v
1 2 2 ?1
ln ?2 2? ?2 + ?2
z4,5 = 8h ? c(? + ?) + A4 + i ;
± ch
x ?
2h
v
1 ?1 ?2
ln 2 ?2 + ?2 h2 ? 2 ?2 + ? 2 + 1
z6 = .
x ?
2h
3. Обратимся теперь к уравнению (2.3.0). Для него характерно то, что на
многообразии, заданном уравнением
?x0
M1 : ux0 x1 ? ux ? ?u = 0, (3.3.1)
2? 1
преобразование

??1 u2 1 dx1
z=? u2 dx0 + (3.3.2)
x


обращает zx0 тождественно в ноль:
?x0 2 1 ?x0
= ?u2 + ? dx1 = ?u2 + u2 ? 0.
zx0 ux1 + 2ux1 ux + ?u
2? 1
?2 ?
M1

Отсюда следует, что на M1 всегда будет иметь место тождество zx0 x1 ? 0. Таким
образом, всякое решение, полученное из решения уравнения (3.3.1) подстановкой
(3.3.2), окажется решением широкого класса уравнений, например, такого:

?(zx0 x1 , zx0 ) = zx0 f (x0 , x1 , z, z , . . . , z ). (3.3.3)
n
1
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 209

Здесь ?(zx0 x1 , zx0 ) может быть, например, однородной функцией своих аргументов,
f (·) — произвольная функция.
Зададим теперь многообразие MN уравнением
N N N
?x
M ?0 ? ?u
N
u2 i (3.3.4)
: ux0 xi uxi uxi = 0.
x
2?
i=1 i=1 i=1


? 0 будет выполнено, если
Легко проверить, что по-прежнему условие zx0
MN
подстановку взять в виде
N
??1 u2 i dxi .
z = ?N 2
(3.3.5)
u dx0 + x
i=1

В самом деле,
N
?x0 2
u + 2??1 uxi ux0 xi dxi
= ?N u + ?
2
zx0 =
2 xi
?
MN MN
i=1
N N
?x ?x0 2
?1
= ?N u + ? 20
2
u2 i + 2? u + ?uuxi dxi =
x
2? xi
? i=1 i=1
N
= ?N u + 2uuxi dxi = ?N u2 + N u2 ? 0.
2

i=1

Теперь при соблюдении всех перечисленных выше условий многомерным аналогом
уравнения (3.3.3) оказывается такое:

?(zx0 , zx0 xi ) = zx0 f (·).

4. Получим теперь решение такого многомерного расширения уравнения
(2.4.0)

zxy + zxt + g ez + gzx ez = 0. (3.4.0)

<< Предыдущая

стр. 49
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>