<< Предыдущая

стр. 50
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Зададим многообразие M уравнением

uxt + uxy = g g ?1 (uy + ut ),
M:

решением которого является функция

u = ?(x) + g(x)[?(y) + ?(t)].

Двум найденным в п. 4 раздела II решениям уравнения (2.4.0) поставим в соо-
тветствие такие подстановки:
c1 (uy + ut )
(3.4.1)
z1 = ln ;
c3 (x) exp(?g ?1 u) ? c1 ??1 g 2

uy + ut
(3.4.2)
z2 = ln .
gu
210 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Отметим, что в этом примере не появляется никаких дополнительных ограничений
на многообразие. Соответствующие решения будут вида:
c1 (? (y) + ? (t))g(x)
(3.4.1 )
z1 = ln ;
c3 (x) exp ?g ?1 [?(x) + g(x)(?(y) + ?(t))] ? c1 ??1 g 2

z2 = ln (? (y) + ? (t))[?(x) + g(x)(?(y) + ?(t))]?1 . (3.4.2 )

Возможность распространения на большее число независимых переменных очеви-
дна.
5. Многомерное расширение уравнения (2.21.0) запишем в форме
?4 u = uxx + uyy + uzz + utt = ??2 he2hu . (3.5.0)
1

Многообразие зададим системой соотношений
?y = ??x ,
?xx + ?yy = 0, ?xx + ?yy = 0, ?x = ?y ,
MS : (3.5.1)
?zz + ?tt = 0, ?zz + ?tt = 0, ??z = ?t , ?t = ? z .
Рассмотрим нелокальные замены функции u:
2c ?2 + ?2 + ?2 + ?2
1 x y z t
(3.5.2)
u1,2 = ln ,
ch v
2h
8h2 ?2 [ c(? + ?) + A1 ] + 1
±i sh

?4 ?2 + ?2 + ?2 + ?2
1 x y z t
(3.5.3)
u3 = ln ,
2 ?2 (? + ? + A )2
2h 8h 3

?2? ?2 + ?2 + ?2 + ?2
1 x y z t
u4,5 = ln ,
sh v
2h
8h2 ?2 [ c(? + ?) + A4 ] + i
±i ch (3.5.4)
v ?
c = (i ± 1) ? ? R,
,
2

?2 + ? 2 + ? 2 + ? 2
1 x y z t
(3.5.5)
u6 = ln .
2h h2 ?2 (?2 + ? 2 + 1)2

Подстановка каждой из них в уравнение (3.5.0) на MS дает дополнительные усло-
вия, связывающие ?ij и ?i . Ввиду громоздкости его здесь выписывать не будем.
Для всех замен эти ycловия могут быть удовлетворены, например, функциями,
связанными соотношениями (3.5.1) и имеющими вид
? = ?[(x + t), (y + z)], ? = ?[(x + t), (y + z)].
Другое решение получим, полагая ?ij = ?ij = 0, (i, j = x, y, z, t), когда

? = ?x + ?y + ?z + ?t + µ,
? = ??x + ?y + ?z ? ?t + ?,
?, ?, ?, ?, µ, ? — произвольные постоянные.
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 211

Соотношения (3.5.2)–(3.5.5) в этом случае также являются решениями уравне-
ния (3.5.0).
6. Воспользуемся известным решением уравнения (2.5.0) для исследования
уравнения

F (x, y, z, . . . , z )ztt + zy zxx ? zx zxy = 0. (3.6.0)
n

Потребуем выполнения условий

zy zxx ? zx zxy = 0. (3.6.1)
ztt = 0,

Решение второго записывается в виде z = ?(x + ?(y, t)). Первое уравнение тогда
дает соотношение
2
? ?t + ? ?tt = 0.

Отсюда сразу же следует

? ?tt
= ? 2 = k = const.
? ?t
Интегрируя эти два уравнения, находим

? = J1 k ?1 exp[k(x + ?)],
? = k ?1 ln(kt + J2 ) + J3 (y), J1 = const.

Следовательно,

z = J1 k ?1 (kt + J2 (y)) exp[k(x + J3 (y))]. (3.6.2)

Другая возможность увеличения размерности уравнения (2.5.0) связана с пе-
реходом к преобразованиям в пространстве большего числа переменных x, y, z:

u = u = ?(x, y, z, u, u, . . . , u),
n
1
x
x = ? = ? (x, y, z, u, u, . . . , u ),
m
1
T: y
y = ? = ? (x, y, z, u, u, . . . , u),
1 k
z
z = ? = ? (x, y, z, u, u, . . . , u).
s
1

При таких преобразованиях производные вычисляются по формулам

di Dij
(3.6.3)
ui = , uij = ,
d D
где

d = Dy ?y [?x , ?z ]x,z + Dx ?y [?z , ?x ]y,z + Dz ?y [?z , ?x ]x,y ,
D D D
y y y
d = Dy ?D [?, ? ]x,z + Dx ?D [?, ? ]z,y + Dz ?D [?, ?z ]y,x ,
x z z

dy = Dz ?z [?, ?x ]y,x + Dy ?z [?, ?x ]x,z + Dx ?z [?, ?x ]z,y ,
D D D
d = Dx ?D [?, ? ]z,y + Dy ?D [?, ? ]x,z + Dz ?D [?, ?y ]y,x .
z x y x y x
212 В.И. Фущич, В.А. Тычинин

Определитель D имеет вид:
(Dx ?x )2 (Dx ?y )2 2Dx ?x Dx ?y (Dx ?z )2 2Dx ?x Dx ?z 2Dx ?y Dx ?z
(Dy ?x )2 (Dy ?y )2 2Dy ?x Dy ?y (Dy ?z )2 2Dy ?x Dy ?z 2Dy ?y Dy ?z
Dx ?x Dy ?y Dx ?x Dy ?z Dx ?y Dy ?z
Dx ?x Dy ?x Dx ?y Dy ?y Dx ?z Dy ?z
+Dy ?x Dx ?y +Dy ?x Dx ?z +Dy ?y Dx ?z
D= 2Dz ?y Dz ?z . (3.6.4)
(Dz ?x )2 (Dz ?y )2 2Dz ?x Dz ?y (Dz ?z )2 2Dz ?x Dz ?z
Dx ?x Dz ?y Dx ?x Dz ?z Dx ?y Dz ?z
Dx ?x Dz ?x Dx ?y Dz ?y Dx ?z Dz ?z
+Dz ?x Dx ?y +Dz ?x Dx ?z +Dz ?y Dx ?z
Dy ?x Dz ?y Dy ?x Dz ?z Dy ?y Dz ?z
Dy ?x Dz ?x Dy ?y Dz ?y Dy ?z Dz ?z
+Dz ?x Dy ?y +Dz ?x Dy ?z +Dz ?y Dy ?z

Определители Dij получаются заменой элементов столбцов в D с индексами ij на
элементы bij (i, j = x, y, z)
bij = [dDij ? ? dx Dij ?x ? dy Dij ?y ? dz Dij ?z ] d?1 . (3.6.5)
Легко убедиться, что преобразование
?x = u, ?y = y, ?z = z (3.6.6)
T: ? = x,
уравнения u?? = 0, (u = ?(?, ? ) + ?(?, ? ) + ?(? )) дает уравнение
uy uxx ? ux uxy = 0.
Изменим преобразование (3.6.6), полагая его таким:

?x = u + ?y = y, ?z = z.
T1 : ? = x, uz dx,

Из u?? = 0 сразу же получим уравнение

(3.6.7)
(ux + uz )(uxy + uyz ) = (uxx + uxz ) uzy dx,

решение которого имеет вид

x=? u+ uz dx, z + ?(y, z) + ?(z).

Второй пример получаем для преобразования переменных

?x = u, ?y = y, ?z = z.
T2 : ? =x+ uz dx,

В этом случае получается
bxx = u?1 (ux uxx ? (1 + uz )uxx ),
dx = 1 + u z ,
d = ux , x
b = u?1 (ux uyz ? (1 + uz )uxy ).
yx
Dxx ? = uxz , Dxy ? = uyz , x

Простой подсчет дает уравнение
(1 + uz )(ux uxx ? uy uxy ) = ux (ux uxz ? uy uyz ). (3.6.8)
Решение уравнения (3.6.8) выглядит так:

x+ uz dx = ?(u, z) + ?(y, z) + ?(z).
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 213

§ 4. Групповые свойства уравнений, допускающих линеаризацию
В этом параграфе приведем кратко результаты исследований групповых
свойств уравнений, рассмотренных в предыдущих параграфах.
Теорема 1. Уравнения (2.1.0), (2.2.0), (2.2а.0), (2.4.0)–(2.15.0), (2.21.0), (2.21.8)
инвариантны относительно бесконечной группы Ли.
Утверждение доказывается прямым вычислением по стандартной методике
С. Ли [5].
Замечание. Перечисленные в теореме 1 уравнения, линеаризуются либо точе-
чной заменой переменных, либо нелокальным преобразованием функции. Урав-
нение (2.3.0), линеаризуемое с помощью интегральной подстановки (2.3.5) для
зависимой переменной, и уравнения (2.16.0) ,(2.17.0) (2.19.0), (2.20.0), линеари-
зация которых достигается нелокальной заменой по всем переменным, указанным
свойством не обладают.
Теорема 2. 1) Базисные элементы алгебры инвариантности уравнения мини-
мальной поверхности (2.18.0) (уравнения Плато) имеют вид:
? ? ? ? ?
?x ,
X1 = , X2 = , X3 = , X4 = u
?x ?y ?u ?x ?u
(4.1.0)
? ? ? ? ? ? ?
?y , ?x ,
X5 = u X6 = y X7 = x +y +u .
?y ?u ?x ?y ?x ?y ?u
2) Замена независимой переменной

(4.1.1)
y = iv

приводит уравнение (2.18.0) к уравнению Борна–Индельфа
1 ? u2 uxx + 2ux uv uxv ? 1 + u2 uvv = 0. (4.1.2)
v x

Доказательство осуществляется прямым вычислением.
Сформулированные в теореме 2 результаты позволяют строить точные решения
уравнения (4.3.0) [3, 6].
По найденным решениям уравнения (2.18.0) строятся решения уравнения
(4.3.0) по формулам
1/2 1/2
1 + ? (?)2 1 + ? (?)2
u=i d? + i d? + c1 ,
x = ? + ? + c2 ,
v = ?i[? + ? + c3 ],

где ?(?) и ?(?) — произвольные функции.
214



Приложение 1
Таблица 1

№ Исходное Подста-
Полученое уравнение Решение

<< Предыдущая

стр. 50
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>