<< Предыдущая

стр. 51
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

п/п уравнение новка
“+”
?=x x = ?(z, y) ± i?(z, y)
2 2
1. ?=z ?z = ??y , ?y = ?z
zxx 1 ± ± + 2zx zy zxy = 0
u?? ± u?? = 0 zy zyy zx
“?”
?=y x = ?(z + y) + ?(z ? y)
“+”
? = ?y ?y = ?(x, z) ± i?(x, z)
2 2
2. ?=x ?x = ??z , ?z = ?x
u?? ± u?? = 0 zyy zx ± 1 ± zxx zy ? 2zx zy zxy = 0
“?”
?=z ?y = ?(x + z) + ?(x ? z)
?=x 2
x = ?(z + x, x + y + z) ± i?(z + x, x + y + z)
zxx 1 + 2zy + 2zy + 2zyy (1 + zx )2 ?
3. ? =z+x
u?? + u?? = 0
?4zy (1 + zx )zxy = 0 ?z+x = ??x+y+z , ?x+y+z = ?x+z
?=x+y+z
4. —”— (1 ? zx zy )(1 + 2zy )zxx (1 + zx )?3 = 0 x = ?(2x + 2z + y) + ?(y)
u?? ? u?? = 0

“+”
?=z z = ?(x + y, x + z) ± i?(x + y, x + z)
2
zxx 1 ± zy + zyy 1 ± (1 + zx )2 ?
5. ? =x+y ?x+y = ??x+z , ?x+z = ?x+y
u?? ± u?? = 0
?2zxy [1 ± zy (1 + zx )] = 0
“?”
?=x+z z = ?(2x + y + z) + ?(z ? y)
“+”
? = x ? ex x ? ex = ?(y, z) ± i?(y, z)
2 2
(1 ? ex ) (1 ± zy )zxx ± zx zyy ? 2zx zy zxy +
6. ?=x ?y = ??z , ?z = ?y
u?? ± u?? = 0 2
+zx ex (1 ± zy ) = 0
“?”
?=y x ? ex = ?(z + y) + ?(z ? y)
?=z 2 2
z = ?(x + z, y + z) ± i?(x + z, y + z)
zxx 1 + 2zy + 2zy + zyy 1 + 2zx + 2zx ?
7. ?=x+z
u?? + u?? = 0
?2zxy [zx + zy + 2zx zy ] = 0 ?x+z = ??y+z , ?y+z = ?x+z
? =y+z
zxx (1 + 2zy ) ? zyy (1 + 2zx )?
8. —”— z = ?(2z + x + y) + ?(x ? y)
u?? ? u?? = 0
?2zxy (zx ? zy ) = 0
В.И. Фущич, В.А. Тычинин
Приложение 2
Таблица 2


Исходное уравнение № в тексте Подстановка Полученое уравнение
п/п
1. (2.1.0)
zxy + zzx = 0 x = x, y = iv, z = i?
z zxv ? z zx = 0
? ??
?+? ???
2. —”— x= , y= z?? ? z?? + z(z? + z? ) = 0
2 2
?+? ???
3. (2.2a .0)
zxx + ?ez = 0 x= , y= z?? + 2z?? + z?? + ?ez = 0
2 2
2
4. (2.3.0) x = x, y = iv zxv ? 4?(x, iv)zx zv = 0
zxy ? 4?(x, y)zx zy = 0
?+? ??? 2 2
5. —”— x= , y= (z?? ? z?? )2 ? 4?(? + ?, ? ? ?) z? ? z? = 0
2 2
?+iv ??iv 2 2
6. —”— x= , (z?? + zvv )2 ? 4?(? + iv, ? ? iv) z? + zv = 0
2
y= 2
?+?
7. (2.5.0)
zy zxx ? zx zxy = 0 x= , y = ??? z? z?? ? z?? (z? ? z? ) ? z? z?? = 0
2 2
?+iv ??iv
8. —”— x= , z?v zv + z? zvv = 0, z?v z? + zv z?? = 0
2
y= 2
9. —”— инвариантно
x = x, y = iv
?+? ???
3
10. (2.7.0) x= , y= z?? (z? + z? ) ? z? z?? ? z? z?? ? 1 (z? ? z? )3 = 0
zy zxy ? zx zyy = zy 2 2 2
?+? ???
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений




11. (2.9.0)
zy zxx ? (1 + zx + zy )zxy + (1 + zx )zyy = 0 x= , y= z?? (1 + 2z? ) ? z?? = 0
2 2

12. (2.10.0) инвариантно
(ex ? 1)(zy zxx ? zx zxy ) ? zx zy ex = 0 x = x, y = iv
z? z?? + z?? (z? ? z? ) ? z? z?? ?
?+?
?+? ???
13. —”— x= , y= 2 2 e2
2 2 =0
?+?
? 1 z? ? z?
2
e2 ?1
z[z?? (z? + z? ) ? z? z?? ? z? z?? ]±
?+? ???
2
14. (2.12.0) x= , y=
z(zy zxy ? zx zyy ) ± zx zy = 0 2 2
2 2 ± 1 z? ? z? (z? ? z? ) = 0
2
15. —”— инвариантно
x = x, y = iv
?+? ???
2 2
16. (2.13.0) инвариантно
x= , y=
zy zxx ? 2zx zy zxy + zx zyy = 0 2 2

17. —”— инвариантно
x = x, y = iv
215
216




Продолжение таблицы 2


Исходное уравнение № в тексте Подстановка Полученое уравнение
п/п
?+? ???
2 2 22 2 2 2 2
1
18. (2.14.0) x= , y=
zy zxx ? 2zx zy zxy + zx zyy ? zx zy = 0 z? z?? ? 2z? z? z?? + z? z?? = z? ? z? (z? ? z? )
2 2 4

19. —”— инвариантно
x = x, y = iv

20. (2.16.0)
zxx + zx zyy ? zy zxy = 0 x = x, y = iv zxx ? zx zvv ± zv zxv = 0
?+? ???
21. —”— x= , y= z?? (1 + 2z? ) + z?? (1 + 2z? ) = 2z?? (1 ? z? ? z? )
2 2

2 2
22. (2.17.0) x = x, y = iv
zxy ? zxx zyy ? zxy = 0 zxv + zxx zvv ? zxv = 0
?+? ??? 2
23. —”— x= , y= (z?? ? z?? ) ? 4 z?? z?? ? z?? = 0
2 2

?+iv ??iv 2
24. —”— x= , y= (z?? + zvv ) + 4 z?? zvv ? z?v = 0
2 2

2 2
25. б/н x = x, y = iv
1 ? zxx zyy ? zxy = 0 1 + zxx zvv ? zxv = 0
?+? ??? 2
26. —”— x= , y= 1 ? 4 z?? z?? ? z?? = 0
2 2

?+iv ??iv 2
27. —”— x= , y= 1 + 4 z?? zvv ? z?v = 0
2 2

2 2 2 2
28. (2.18.0) x = x, y = iv
1 + zy zxx ? 2zx zy zxy + 1 + zx zyy = 0 1 ? zv zxx + 2zx zv zxv ? 1 + zx zvv = 0
В.И. Фущич, В.А. Тычинин
О линеаризации некоторых нелинейных уравнений 217

1. Forsyth A.R., Theory of differential equations, Vol. V, VI, N.Y., Dover Publication, 1959, 478 p.,
596 p.
2. Аmes W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, Vol. I, N.Y., Academic press,
1965, 301 p.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., О точных решениях уравнения Борна–Инфельда, ДАН СССР, 1982,
263, № 3, 582–586.
4. Погорелов А.В., Об уравнениях Монжа–Ампера эллиптического типа, Харьков, госуниверситет,
1960, 110 с.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 399 с.
6. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 6–27.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 218–232.

О симметрии и частных решениях
некоторых многомерных уравнений
математической физики
В.И. ФУЩИЧ
Предложен способ построения точных решений многомерных нелинейных волно-
вых уравнений. В явном виде построены семейства точных решений многомерных
нелинейных уравнений Лиувилля, Дирака. Проведен теоретико-алгебраический ана-
лиз уравнений Навье–Стокса. Показано, что система уравнений Навье–Стокса опи-
сывает физическую систему с бесконечным набором спинов. Выведены нелинейные
уравнения для описания тепломассопереноса, инвариантные относительно группы
Галилея.
The method of construction of some exact solutions of multidimensional nonlinear wave
equations is proposed. The families of exact solutions of multidimensional nonlinear
Lioville’s and Dirac equations are obtained. The algebraic-theoretical analysis of Navier–
Stokes equation is performed. It is shown that the system of Navier–Stokes equations
describes the physical system with infinite number of spins. The non-linear Galilei-
invariant equation is derived for the description of heat and mass transport.

Введение. Принцип симметрии
Настоящая статья представляет собой, в основном, краткий обзор исследова-
ний по симметрийным свойствам и точным решениям некоторых многомерных
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), ко-
торые широко встречается в математической физике. Ряд результатов публикуется
впервые.
В современных исследованиях по математической и теоретической физике все
возрастающую роль играют принципы симметрии. Это, прежде всего, связано
с тем, что основные физические законы, уравнения движения, различные моде-
ли обладают явной или скрытой, геометрической или негеометрической, локаль-
ной [1, 2] или нелокальной [3–5] симметриями. Построение математического ап-
парата, способного выявить разнообразные виды симметрии, — одна из важных
задач математической физики. Не менее важной является задача в определенном
смысле обратная к только что сформулированной: по заданной группе или алге-
бре и их представлениям построить математические модели, обладающие заданной
симметрией.
Для адекватного математического описания физических явлений естественно,
как нам представляется, поставить идеи и принципы симметрии в основу науки
о построении математических моделей [6]. Симметрийный принцип в такой нау-
ке должен играть роль правила отбора, выделяющего из множества допустимых
математических моделей (уравнений) только такие, которые обладали бы соответ-
ствующими симметрийными свойствами. Этот принцип в явном или неявном виде
Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1983, C. 4–23.
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 219

используется при построении современных физических теорий, но, к сожалению,
мало используется в классической математической физике.
В некоторых случаях требование инвариантности уравнений движения относи-
тельно той или иной группы приводит к тому, что среди множества математически
допустимых уравнений заданными свойствами обладают только одно или несколь-
ко уравнений. Так, например, среди множества линейных систем дифференциаль-
ных уравнений в частных производных первого порядка для двух вектор-функций
E(t, x) = {E1 , E2 , E3 }, H(t, x) = {H1 , H2 , H3 } существует единственная систе-
ма ДУЧП, инвариантная относительно группы Пуанкаре P (1, 3). Этой системой
являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме (более
подробно об этом см. [5]).
Аналогичным свойством обладает и система уравнений Дирака. Единственной
(с точностью до преобразований эквивалентности) линейной системой четырех
ДУЧП первого порядок, инвариантной относительно группы P (1, 3), является си-
стема Дирака (см. [5] и цитированную там литературу). Указанными свойствами
обладают не только линейные уравнения движения, но и нелинейные ДУЧП. При-
мером нелинейного уравнения, обладающего широкой группой симметрии, являе-
тся хорошо известная система уравнений Эйлера–Навье–Cтокса (см. § 4). Следует
подчеркнуть, что некоторые нелинейные ДУЧП обладают такими широкими груп-
пами симметрии, какими не обладают ни одно линейное ДУЧП. Примерами таких
скалярных уравнений являются многомерное уравнение Монжа–Ампера [7] и эй-
кональное уравнение [8].
С чисто математической точки зрения важно знать максимальные (в некотором

<< Предыдущая

стр. 51
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>