<< Предыдущая

стр. 52
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

смысле) группы симметрии ДУЧП. Особенно ценную информацию дает знание
нелинейных преобразований независимых и зависимых переменных, относительно
которых инвариантно то или иное ДУЧП, поскольку это дает возможность по за-
данному одному (иногда тривиальному) решению построить (генерировать) целые
семейства точных решений нелинейных ДУЧП.
Таким образом, классы нелинейных ДУЧП, обладающие богатыми симметрий-
ными свойствами, представляются нам важными и интересными как в теоретиче-
ском, так и прикладом плане. В последующих параграфах эту точку зрения мы
постараемся оправдать и реализовать на конкретных нелинейных ДУЧП.
§ 1. О точных решениях многомерного уравнения Лиувилля
Среди множества пуанкаре-инвариантных нелинейных волновых уравнений ви-
да

pµ pµ u + F (u) = 0, (1.1)

где
? ?
pa = ?i
p0 = i , , µ = 0, n,
?x0 ?xa
u ? u(x), x0 ? t,
x = (x0 , x1 , . . . , xn ),

F — произвольная дифференцируемая функция из пространства C n , существу-
ет только два типа уравнений, инвариантных относительно расширенной группы
? ?
Пуанкаре P (1, n). Группа P (1, n) — группа Пуанкаре, дополненная однопараметри-
?
ческой группой масштабных преобразований D(1), т.е. P (1, n) = {P (1, n), D(1)}.
220 В.И. Фущич

?
Теорема 1 [8]. Уравнение (1.1) инвариантно относительно группы P (1, n) то-
лько в случаях
F = F1 = ? 1 u k (1.2)
или F = F2 = ?2 exp u,
где ?1 , ?2 , k = 1 — произвольные вещественные параметры.
В этих случаях на множестве решений (1.1) реализуется следующие не-
?
эквивалентные представления алгебры Ли группы P (1, n):
2i ?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , D = xµ pµ ?
Pµ = ig µ? p? , при F = F1 ,(1.3)
1 ? k ?u
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , D = xµ pµ ? 2i
Pµ = ig µ? p? , (1.4)
при F = F2 .
?u
Следствие 1. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение Лиувилля является единствен-
ным (в классе (1.1)) уравнением неполиномиального типа, инвариантным относи-
?
тельно группы P (1, n).
Замечание 1. Двумерное уравнение (1.1) при F = F1 = 0 или F = F2 = ?2 exp u
?
инвариантно относительно более широкой алгебры, чем алгебра Ли группы P (1, n).
Можно доказать [9], что в этих и только в этих двух случаях двумерное уравнение
?
(1.1) инвариантно относительно бесконечномерной алгебры A? ? P (1, n).
Замечание 2. Двумерное уравнение Лиувилля с помощью одной из нелокальных
подстановок [10]
c1 ? w
v
u = ln w? w? 1 ? tanh2
2
или
?w ?w
u = ln 2w? w? /(w + c2 )2 , (1.5)
w? = , w? = ,
?? ??
w + c3
v ? = x0 ? x1 ,
u = ln w? w? 1 + tanh2 , ? = x0 + x1 ,
2
где c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные, приводится к линейному волновому
уравнению
2w = ?pµ pµ w = 0. (1.6)
Зная общее решение уравнения (1.6)
w = f1 (x0 + x1 ) + f2 (x0 ? x1 ),
получаем решение двумерного нелинейного уравнения Лиувилля. Решение это
представим в виде (F = F2 = ?2 exp u)
?8f1 (?1 )f2 (?2 )
(1.7)
u = ln ,
?2 (f1 (?1 ) + f2 (?2 ))2
где ?1 = ?µ xµ , ?2 = ?µ xµ , параметры ?µ , ?µ удовлетворяют соотношениям
?µ ?µ = ?µ ? µ = 0, ?µ ? µ = 2,
(1.8)
?f1 ?f2
f1 = , f2 = .
??1 ??2
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 221

Решение (1.7) совпадает с лиувиллевским решением, если положить ?1 =
x0 + x1 (?0 = ?1 = 1), ?2 = x0 ? x1 (?0 = ?1 = 1). Представление решений двумер-
ного уравнения (1.1) в виде (1.7) имеет важное, с точки зрения обобщения, преи-
мущество по сравнению с лиувиллевским решением. Непосредственной проверкой
можно убедиться, что множество функций вида (1.7) удовлетворяет n-мерному
уравнению Лиувилля, если параметры удовлетворяют условиям типа (1.8).
Приведенное наблюдение подсказывает следующий способ построения частных
решений многомерного уравнения по решениям двумерного (или трехмерного)
уравнения:
1) представить (построить) решения двумерного (или трехмерного) уравнения в
явно инвариантном виде, т.е. решения записать через всевозможные инвариантные
переменные ?1 , ?2 или, например,
?3 = ?µ? xµ x? , ?4 = ?µ? xµ x? , (1.9)
где ?µ? , ?µ? — параметры;
2) подставить явно инвариантные решения двумерного уравнения в многомер-
ное нелинейное ДУЧП и найти условия на параметры ?µ , ?µ , ?µ? , ?µ? , при ко-
торых “двумерные” решения типа (1.7) являются решениями многомерного урав-
нения. Этот способ построения решений многомерных уравнений по решениям
двумерного и трехмерного уравнения широко использовался в [8] для уравнения
Тейлора–Даламбера.
Очевидно, что многомерное уравнение Лиувилля помимо решений вида (1.7)
имеет много других решений. Широкий класс решений многомерного уравнения
Лиувилля, неэквивалентных (1.7), построен в [8].
§ 2. Решения нелинейного уравнения Дирака
Рассмотрим нелинейное уравнение Дирака
?
?µ pµ ? ?(??)k ? = 0, (2.1)
µ = 0, 3,
?µ — матрицы Дирака, ?, k — произвольные постоянные, ? = ?(x) — четыре-
хкомпонентный спинор, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), ? = ?(x) = ?† ?0 — сопряженный
? ?
по Дираку спинор. Уравнение (2.1) инвариантно относительно конформной группы
C(1, 3) ? P (1, 3) только в том случае, когда k = 1/3 [11].
Решения уравнения ищем в виде [6]
(2.2)
? = A(? 1 )?(? 2 ),
? ?
где A(? 1 ) — функция, зависящая от матрицы ?1 , матричные элементы которой за-
? ?
висят от x. Матрица ?1 выбирается таким образом, чтобы она била инвариантной
?
относительно подгруппы конформной группы, например, относительно группы Ло-
ренца. Требование лоренц-инвариантности может быть записано в виде
(2.3)
[? 1 , Jµ? ] = 0,
? Jµ? = Mµ? + Sµ? ,
i
Mµ? = xµ p? ? x? pµ , (?µ ?? ? ?? ?µ ), (2.4)
Sµ? =
4
?(? 2 ) — четырехкомпонентный спинор, ?2 — скалярная инвариантная переменная
? ?
типа (1.8), для которой по определению выполняется
(2.5)
[? 2 , Mµ? ] = 0.
?
222 В.И. Фущич

Формуле (2.2) можно дать простую физическую интерпретацию: решение урав-
нения (2.1) представляет собой волну с “амплитудой” A(? 1 ) и “фазой” ?(? 2 ).
? ?
Подставив (2.2) в (2.1) получим уравнение для A(? 1 ) и ?(? 2 ). При некотором
? ?
специальном виде амплитуды A(? 1 ) для ?(? 2 ) получим систему обыкновенных
? ?
ДУ относительно переменной ?2 . Можно, конечно, задать явный вид фазы ?(? 2 ),
? ?
а амплитуду искать в виде

A(? 1 ) = ?µ xµ f (? 3 ), (2.6)
? ?

f (? 3 ) — произвольная функция скалярного инварианта ?3 .
? ?
Воспользуемся теперь анзатцем (2.1) для отыскания конформно-инвариантных
решений уравнения (2.1). Следуя [12, 13], выбираем амплитуду в виде
?1
?
?1 = ?µ xµ , ?1 = (xµ xµ )2 .
?4 (2.7)
A(? 1 ) =
? , ?
?4
?1
В качестве скалярного инварианта ?2 выберем инвариант конформных преобразо-
?
ваний
?µ xµ
? ?, x? x? = 0. (2.8)
?2 =
?
x? x?
Формула (2.2) принимает вид
?µ xµ
(2.9)
?(x) = ?(?).
(x? x? )2
Подстановка (2.9) в (2.1) приводит к системе обыкновенных ДУ для ?(?)
d? ?
(??)1/3 (?? ? ? )?. (2.10)
=i ?
?
d? ?? ?
Общее решение уравнения (2.10) имеет вид [12]

?(?) = exp {i?k(?? ? ? )?} ?, (2.11)
k = 1/3,

? — постоянный спинор.
Таким образом, получили четырехпараметрическое семейство точных решений
уравнения (2.1) (k = 1/3) в форме
?? x?
exp {i?k(?? ? ? )?} ?, ?? ? ? > 0. (2.12)
?(x) = ? )2
(x? x

§ 3. Какие уравнения описывают нелинейную теплопроводность?
Процессы тепломассопереноса описывают линейным или нелинейным уравне-
нием вида
?u ? ?u
(3.1)
= c(u) + F (u), i = 1, 2, 3,
?t ?xi ?xi
u = u(t, x1 , x2 , x3 ), c(u) > 0, F (u) — произвольная дифференцируемая функция.
Групповые свойства одномерного линейного уравнения (3.1) (c(u) = ?1 , F (u) =
?2 u, ?1 , ?2 = const) полностью изучил еще С. Ли. Для нас важно подчеркнуть„
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 223

что в трехмерном случае линейное уравнение (3.1) инвариантно относительно 10-
параметрической группы Галилея G(1, 3) более подробно об этом см., например,
[5, 14]).
Групповой анализ одномерного нелинейного уравнения (3.1) (в случае F (u) =
0) осуществил Л.В. Овсянников [2]. Методом С. Ли [2] можно изучить группо-
вые свойства трехмерного уравнения (3.1). Такие исследования были проведены
М.М. Серовой и Р.М. Чернигой. Результат их исследования таков: среди нелиней-
ных уравнений вида (3.1) (c(u) = const) не существует уравнений инвариантных
относительно всей группы Галилея G(1, 3). Это означает, что для нелинейного
уравнения вида (3.1) (F = 0), в отличие от линейного, не выполняется прин-
цип относительности Галилея [6]. Если функции c и F явным образом зависят
от t, т.е. c(u, t), F (u, t), то уравнения вида (3.1) не будут инвариантны относитель-
но всей группы G(1, 3), но могут быть инвариантны относительно преобразова-
ний Галилея. Для таких уравнений будет иметь место принцип Галилея. Поэтому
представляется важной задача о построении классов нелинейных ДУЧП второго
порядка
u0 + F (x, u, u, u) = 0,
12
?u
u = (u1 , u2 , . . . , un ), u = (u11 , u12 , . . . , unn ), uµ = ,
(3.2)
?xµ
1 2

?2u
u ? u(x0 ? t, x1 , . . . , xn ),
uµ? = , µ, ? = 0, n,
?xµ ?x?
инвариантных относительно группы Галилея G(1, n) и группы Шредингера
Sch(1, n) ? G(1, n). Эта задача для случая n ? 3 решена Серовой М.М. и ав-
тором. Решения ее приведем в виде следующих теорем.
Теорема 2. Уравнение (3.2) инвариантно относительно группы G(1, n) только
в таких случаях:
1. При n = 1

(3.3)
F = ?i ui + ?1 (v1 ), v1 = ?u = u11 .

2. При n = 2
F = ?ui ui + ?2 (v1 , v2 ), v1 = ?u = u11 + u22 ,
(3.4)
u11 u12
= u11 u22 ? u12 u12 .
v2 =
u12 u22
3. При n = 3
F = ?ui ui + ?3 (v1 , v2 , v3 ), v1 = ?u,
u11 u12 u11 u13 u22 u23
v2 = + + ,

<< Предыдущая

стр. 52
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>