<< Предыдущая

стр. 53
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u12 u22 u13 u33 u23 u33
(3.5)
u11 u12 u13
v3 = u12 u22 u23 .
u13 u23 u33
?1 , ?2 , ?3 — произвольные функции из пространства C ? .
224 В.И. Фущич

При доказательстве использована следующая реализация базисных элементов
?
расширенной алгебры Ли группы G(1, n) = {G(1, n), D(1)}:
1
Ga = x0 pa ?
P 0 = p0 , Pa = p a , Jab = Mab , xa pu ,
2?
(3.6)
?
D = 2x0 p0 ? xa pa .
pu = i , a, b = 1, n,
?u
?
Если алгебру G(1, n) дополнить оператором A (соответствующим проективным
преобразованиям), то получим алгебру Шредингера Sch(1, n). В нашем случае
12
A = x0 (x0 p0 ? xa pa ) + x pu .
4? i
?
Теорема 3. Уравнение (3.2) инвариантно относительно группы G(1, n) (n ? 3)
только в таких случаях:
При n = 1, F = ?ui ui + ?1 u11 .
v2
При n = 2, F = ?ui ui + v1 ? , v1 = 0.
2 (3.7)
v1
v2 v3
При n = 3, F = ?ui ui + v1 ? 2, 3 .
v1 v1
Теорема 4. Уравнение (3.2) инвариантно относительно группы Шредингера
Sch(1, n) (n ? 3) только в таких случаях:
При n = 1, F = ?ui ui .
1/2
F = ?ui ui + ?1 v1 ? 4v2
2
При n = 2, .
(3.8)
1/2
F = ?ui ui + v1 ? 3v2
2
При n = 3, ?(w),
2v1 ? 9v1 v2 + 27v3
3
2
w= , v1 = 3v2 , v1 = 0, v2 = 0.
3/2
(v1 ? 3v2 )
2


Для всех приведенных уравнений вида (3.2), инвариантных относительно
?
групп G(1, n) ? G(1, n) ? Sch(1, n), выполняется принцип относительности Га-
лилея и справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента количества
движения. Среди множества уравнений (3.2) с нелинейностями (3.5) имеется, в
v
частности, уравнение (при ?3 = v1 , v2 = v3 = 0)

(?u)2 = 0. (3.9)
u0 + ?ui ui + ?1
Это уравнение эквивалентно стандартному линейному уравнению теплопроводно-
сти v0 + ?1 ?v = 0, v = ?1 exp ?1 u.
?
?2
Для найденных нелинейных уравнений можно ставить те же задачи, что и
для линейного уравнения теплопроводности. Конечно, начальные или граничные
условия будут, как и в линейном случае, нарушать галилеевскую симметрию.
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 225

§ 4. Какой спин несет поле Навье–Стокса?
1. Для наших целей достаточно рассмотреть простейший вариант системы типа
Навье–Стокса
?ui ?ui
(4.1)
+ ?1 uk + ?2 ?ui = 0, i, k = 1, 2, 3,
?t ?xk
и уравнение непрерывности
?ui
div u = (4.2)
= 0.
?xi
Тот факт, что система уравнений (4.1), (4.2) инвариантна относительно расширен-
?
ной группы G(1, 3), известен давно (см., например, [15]). Сравнительно недавно
?
[16, 17, 2] доказано, что G(1, 3) является максимальной (в смысле С. Ли) группой
инвариантности (МГИ) системы (4.1), (4.2). Базисные элементы 11-мерной алгебры
инвариантности (АИ) уравнений (4.1), (4.2) имеют вид (при ?1 = 1)
? ?
I
(4.3)
P µ = ?µ = , ?0 = , µ = 0, 3,
?xµ ?t

Mab = xa ?b ? xb ?a ,
I I I I
(4.4)
Jab = Mab + Sab , a, b = 1, 3,

?
GI = t?a ? (4.5)
,
a
?ua
?
DI = 2t?0 + xa ?a ? ua (4.6)
,
?ua
где
? ?
? ub
I
(4.7)
Sab = ua .
?ub ?ua
Провести теоретико-алгебраический анализ уравнений означает [4, 18]: 1) най-
ти алгебру инвариантности (АИ); 2) построить по АИ группу инвариантности ДУ;
3) установить, какое именно представление реализуют базисные операторы АИ. В
соответствии с работами С. Ли и Л.В. Овсянникова провести групповой анализ
ДУ означает решить только задачи 1), 2)* . Как нам кажется, уместно использовать
словосочетание “теоретико-алгебраический анализ уравнения” в том случае, когда
решаются все три задачи.
Важность решения третьей задачи теоретико-алгебраического анализа ДУ пред-
ставляется нам очевидней. Действительно, если, например, провести только груп-
повой анализ уравнения Дирака (т.е. решить задачи 1), 2)), то мы не получим
существенной информации о спиновой структуре этого уравнения, т.е. не будем
знать, что система Дирака описывает частицу и античастицу со спином 1/2. По-
следняя информация является следствием того, что на множестве решений уравне-
ния Дирака реализуется прямая сумма двух неприводимых представлений алгебры
Пуанкаре P (1, 3) со спином s = 1/2 (более подробно об этом см., например, рабо-
ту [5]). Алгебра P (1, 3) является алгеброй инвариантности уравнения Дирака.
* Во времена С. Ли третья задача не могла и ставиться, поскольку только в 30–50-е годы нашего
столетия построена теория представлений групп и алгебр Ли.
226 В.И. Фущич

2. Рассмотрим линейную систему типа (4.1), (4.2) (положив ?1 = 0, ?2 = ?1)
?ui
? ?ui = 0, (4.8)
?t
div u = 0. (4.9)

В матричной записи систему (4.8), (4.9) можно представить в виде

L0 = (?t ? ?)I3 , (4.10)
L0 ? = 0,
? ?
? 1 ?2 ?3
L1 = ? 0 0 0 ? , (4.11)
L1 ? = 0,
000

? — вектор-функция с компонентами (u1 , u2 , u3 ), I3 — единичная матрица 3 ? 3.
Базисные элементы максимальной алгебры инвариантности системы (4.8), (4.9)
выглядят как
?
D1 = 2x0 ?0 ? xa ?a ,
II II II
(4.12)
P µ = ?µ , D2 = ua ,
?ua
II I I I
(4.13)
Jab = Jab = Mab + Sab .

На множестве решений уравнений (4.10), (4.11) операторы (4.12), (4.13) можно
представить в виде

D1 = 2x0 ?0 ? xa ?a ,
II II II
(4.14)
P µ = ?µ , D2 = I3 ,

II I II
(4.15)
Jab = Mab + Sab ,

где 3 ? 3 матрицы Sab = Sab реализуют векторное представление алгебры Ли
II

группы вращений SO(3), т.е.
? ? ? ?
0 ?1 0 00 0
S12 = S3 = ? 1 0 0 ? , S23 = S1 = ? 0 0 ?1 ? ,
000 01 0
? ? (4.16)
0 01
S31 = S2 = ? 0 0 0 ? .
?1 0 0

Легко подсчитать, что квадрат спинового оператора
2
? Sab ? = ? S1 + S2 + S3 ? = s(s + 1)I3 ? = 2?.
II 2 2 2
(4.17)

Проведенный анализ представлений (4.14), (4.15) показывает, что система ДУ (4.8)
(4.9) списывает физическую систему со спином s = 1.
Замечание 1. Важно подчеркнуть, что линейная система Навье–Стокса (4.6),
(4.9), в отличие от нелинейной, не инвариантна относительно преобразований
Галилея, т.е. для нее не выполняется основной принцип механики — принцип
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 227

относительности Галилея. Это обстоятельство как нам кажется, ставит под сом-
нение правомерность использования линеаризованной системы Навье–Стокса для
описания реальных гидродинамических систем.
Замечание 2. Максимальной АИ системы (4.8), без условия (4.9), является 22-
мерная алгебра с базисными операторами
Jab = xa ?b ? xb pa ,
III III
(4.18)
P µ = ?µ ,

?
GIII = 2x0 ?a + xa ub (4.19)
,
a
?ub

? 3 1 ?
AIII = x0 xµ ?µ ?
DIII = 2x0 ?0 + xa ?a + ua , + xa xa ub ,(4.20)
?ua 2 2 ?ub

?
III
(4.21)
Sab = ua .
?ub
Это означает, что группой инвариантности системы (4.8) является группа
Sch(1, 3) ? GL(3).
Замечание 3. Система (4.8), (4.9), помимо локальной группы инвариантности,
порождаемой операторами (4.12), (4.13), обладает нелокальной симметрией SU (2).
Доказательство этого утверждения проводится с помощью метода [3–5]. По трем
базисным операторам алгебры Ли группы SU (2) можно построить новые законы
сохранения для системы (4.8), (4.9).
Замечание 4. Нелинейная система (?1 = 1, ?2 = 0)
?ui ?ui
+ uk (4.22)
= 0,
?t ?xk
div u = 0 (4.23)
?
инвариантна относительно группы G(1, 3). Максимальной АИ системы (4.22),
(4.23) является алгебра Ли группы IGL(4, R) ? P (1, 3). Базисные элементы этой
алгебры имеют вид
?
J0a = xa ?0 ? ua ub
I
P µ = ?µ , Jab = Jab , ,
?ub
(4.24)
? ? ?
Ga = x0 ?a ? D0 = x0 ?0 ? ub
, , Da = xa ?a + ua .
?ua ?ub ?ua
Из явного вида операторов (4.24) следует, что система уравнений Эйлера (4.22),
(4.23) инвариантна как относительно преобразований Галилея, так и относительно
преобразований Лоренца. Таким образом, система (4.22), (4.23) является примером
уравнений, для которых выполняется как принцип относительности Галилея, так
и принцип относительности Пуанкаре–Эйнштейна.
Замечание 5. Уравнение неразрывности (4.2) инвариантно относительно бесконе-
чной алгебры.

<< Предыдущая

стр. 53
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>