<< Предыдущая

стр. 54
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3. Чтобы ответить на вопрос, вынесенный в заглавие, достаточно провести
сравнительный анализ операторов (4.12), (4.13) и (4.3)–(4.7). Совокупность всех
228 В.И. Фущич

операторов (4.3)–(4.7), в отличие от операторов (4.12), (4.13), не может быть
определена в пространстве вектор-функций {?(t, x) = столбец (u1 (t, x), u2 (t, x),
? ?
u3 (t, x)}, поскольку GI выражается через оператор сдвига ?ua . Оператор ?ua явля-
a
ется неограниченным оператором, поэтому его невозможно представить матрицей
конечного порядка.
В силу этого действие всех операторов (4.3)–(4.7) можно задать только в
пространстве функций {? = ?(t, x1 , x2 , x3 , u1 , u2 , u3 )}, зависящих от семи пере-
менных. Это главное отличие операторов (4.3)–(4.7) от операторов (4.12), (4.13).
Конечно, операторы (4.12), (4.13) можно задать в пространстве {?}. При этом
пространство {?} будет приводимо относительно операторов (4.12), (4.13).
Из приведенного следует, что квадрат оператора спина
2 2 2 2
I I I I
(4.25)
Sab = S12 + S23 + S31

в пространстве {?(t, x, u)} не равен 2, но принимает бесконечно много различных
значений.
Подведем итог. Поле Навье–Стокса (уравнения (4.1), (4.2)) и поле Эйлера
(уравнения (4.22), (4.23)) несут всевозможные целочисленные спины s = 0, 1, 2, . . .
Этот результат принципиально отличен от того, что мы знаем о нелинейном урав-
нении Дирака (2.1) или о нелинейном уравнении для векторного поля, или о полях
Янга–Милса, где спин принимает либо одно, либо конечное количество различных
значений.
В заключение этого параграфа приведем пример релятивистской алгебры (со-
держащей в качеств подалгебры алгебру P (1, 3)) операторов, которые приводят
также к бесконечному набору целых спинов. Совокупность таких операторов вы-
глядит как
?
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Sµ? ,
Pµ = ? µ , Rµ = ,
?uµ
(4.26)
? ? ? ?
G± ± u? ? u?
= xµ , Sµ? = uµ .
µ?
?u? ?xµ ?u? ?uµ

Часть операторов (4.26) инвариантна относительно замены зависимых (u(x)) и
независимых переменных (x): xµ > uµ , uµ > xµ .
§ 5. О некоторых нерешенных задачах
В этом параграфе укажем несколько задач, которые представляются автору
важными для развития и применения теоретико-алгебраических методов.
1. Описать нелинейные системы ДУЧП второго порядка для вектор-функции
?(t, x1 , x2 , . . . , xn ), инвариантные относительно групп, содержащих в качестве
подгрупп группу Галилея G(1, n) и группу Пуанкаре P (1, n).
Нетривиальным примером системы ДУЧП, инвариантной как относительно
группы G(1, 3), так и относительно P (1, 3), является система уравнений Эйлера
(4.22), (4.23).
Построить класс систем ДУЧП, инвариантных относительно групп P (1, n+ m),
C(1, n + m), m — число компонент у вектор-функции ?(t, x) = {?1 , ?2 , . . . , ?m }.
Примером таких уравнений являются скалярные уравнения эйконала, Монжа–
Ампера, инвариантные относительно группы C(1, n + 1).
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 229

2. Провести групповую классификацию системы уравнений
?vi ?vi ?vi ?vk ?Sn
+ ? 1 vk + ? 2 Sk + ?3 ?vi + Fi vk , Sk , , = 0,
?t ?xk ?xk ?xl ?xl
(5.1)
?Si ?Si ?Si ?vk ?Sn
?
+ µ1 Sk + µ2 vk + µ3 ?Si + Fi vk , Sk , , = 0,
?t ?xk ?xk ?xl ?xl

где i, k, l, n = 1, 3, vi — скорость жидкости, Si — внутренний момент количества
?
движения жидкости, Fi , Fi — произвольные функции, ?i , µi — произвольные
постоянные.
Известные в литературе уравнения движения жидкости с внутренним момен-
том [21, 22], как показано в [23], не инвариантны ни относительно G(1, 3), ни
относительно P (1, 3).
3. Описать уравнения вида

?2u
?u ?u ?u ?u ?u
a1 x, u, + a2 x, u, +
?t2
?xa ?xa ?t ?xa ?xa
(5.2)
?u ?u ?u ?u ?u ?u
+a3 x, u, , ?u + F x, u, , = 0,
?t ?xa ?xa ?t ?xa ?xa
инвариантные относительно групп Sch(1, 3), Sch(1, 4), G(1, 3), G(1, 4), P (1, 3),
P (1, 4), C(1, 3), C(1, 4) и их подгрупп.
Уравнения (5.2), инвариантные относительно группы P (1, 3) или ее подгруппы
O(1, 3), могут быть использованы, в частности, для описания процессов теплооб-
мена с конечной скоростью распространения (a2 = 0, a3 = 0).
4. Провести групповой анализ и построить семейство частных решений урав-
нений
N
?u ?u ?u
?n S n u + F (5.3)
u, , = 0,
?t ?xa ?xa
n=0

µ2 2
µ
{exp µS}u = u + Su + S u + · · · = 0, (5.4)
1! 2!
?
Sn = S · S · · · S, ? ??, (5.5)
S=
?t
n

µ, ?, ?n , N — постоянные.
Уравнение (5.4) является линейным интегральным уравнением. Уравнение (5.3)
(в частности, при F = 0) и (5.4) инвариантны относительно группы Галилея
G(1, 3), поэтому можно предполагать, что они могут быть использованы для опи-
сания тепловых и диффузионных процессов. Уравнение (5.3) совпадает со стандар-
тным уравнением теплопроводности, если положить в (5.3) ?0 = 0, ?1 = 1, ?n = 0
для n > 1 и F = 0.
5. Провести групповую классификацию уравнений
?u ?u ?u
(5.6)
?u = F u, , .
?t ?xa ?xa
230 В.И. Фущич

Построить классы точных решений для тех уравнений вида (5.6), которые инва-
риантны относительно нетривиальной бесконечномерной алгебры.
6. Исследовать групповые свойства и построить семейства частных решений
уравнения четвертого порядка
det |uik | + ?1 det |uikl | + ?2 det |uiklm | = F (u),
(5.7)
?2u ?3u ?4u
uik = , uikl = , uiklm = ,
?xi ?xk ?xi ?xk ?xl ?xi ?xk ?xl ?xm
|uik | — плоская матрица, |uikl | — пространственная матрица, |uiklm | — матрица в
четырехмерном пространстве.
Полагая в (5.7) ?1 = ?2 = 0, F = 0, получаем многомерное уравнение Монжа–
Ампера. В этом случае уравнение (5.7) инвариантно относительно группы
C(n + 1) [7].
7. Описать уравнения вида
? ?
?µ pµ ? + F1 (??, ?)? + F2 (?µ pµ ?, ?? p? ?, ??)? = 0,
(5.8)
?? ??
?
pµ pµ ? + F3 ??, ?, ? = 0,
?xµ ?xµ
инвариантные относительно конформной группы C(1, 3). Построить семейства ча-
стных решений. Система (5.8) описывает взаимодействие спинорного поля ? со
скалярным полем ?.
8. Провести теоретико-алгебраический анализ пуанкаре-инвариантной системы
?1 vµ?? v µ?? ? + ?2 (vµ?? ?)† (v µ?? ?) = F (?† ?)?, (5.9)
?
(5.10)
vµ?? = Pµ J?? + P? J?µ + P? Jµ? , Pµ = p µ = i ,
?xµ
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (5.11)

Sµ? — матрицы, реализующие представление D(m, n) ? D(n, m) алгебры Ли груп-
пы Лоренца O(1, 3). ? — вектор-столбец, размерность которого зависит от размер-
ностей матриц Sµ? ,
?? ?
?µ pµ ? + ??µ = 0, ?µ = ??µ ?,
µ
?x
? — четырехкомпонентный спинор.
9. Провести теоретико-алгебраический анализ галилеевски-инвариантной си-
стемы
?1 Wa Wa ? + ?2 (Wa ?)† (Wa ?)? = F (?† ?)?, (5.12)

Wa = mJa ? ?abc Pb Gc , Ja = ?abc Jbc ,
(5.13)
Jbc = xb pc ? xc pb + Sab , Ga = tpa ? mxa + ?a ,

Sab — матрицы, реализующие представление алгебры группы O(3), ?a — матрицы,
удовлетворяющие коммутационным соотношениям [14]
[?a , ?b ] = 0, [?a , Sb ] = i?abc ?c .
О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений 231

10. Провести теоретико-алгебраический анализ релятивистских уравнений дви-
жений во внешних электромагнитных полях
(?µ ? µ + ?Fµ? F µ? ) u(x) = 0, (5.14)

(?µ ? µ + ?1 Sµ? F µ? + ?2 pµ pµ ?? A? ) ? = 0,
(5.15)
i
?µ = pµ ? eAµ , Sµ? = (?µ ?? ? ?? ?µ ).
4
11. Описать системы обыкновенных ДУ
? (5.16)
xi = Fi (t, x, x),
? i = 1, . . . , n,
инвариантные относительно следующих групп (или их подгрупп) преобразований:
x0 ? t,
xµ = aµ? x? + bµ , µ, ? = 0, n,

cµ xµ = ?1,
xµ = ,
1 + cµ xµ
cµ? x?
d? x? = 0,
xµ = ,
?
d? x
xµ + cµ x? x?
xµ = .
1 + 2c? x? + c? c? x? x?
Используя симметрийные свойства уравнений (5.16), построить первые интегралы
системы (5.16).
12. Описать системы обыкновенных ДУ
? (5.17)
xi = Fi (t, x, x),
? i = 1, 3,
обладающие интегралом движения Лапласа–Рунге–Ленца.
?
1. Lie S., Uber die Integration durch bestimente Integrale von einer Klasse lineare partiellen Differenti-
algleichungen, Arch. Math., 1881, 6, 328–368.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
3. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
4. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, ДАН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
5. Фущич В.И.. Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
6. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
7. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и точные решения многомерного уравнения Монжа–
Ампера, ДАН СССР, 1983, 273, № 3, 24–64.
8. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solution of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alambert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
9. Шульга М.В., О двумерных нелинейных волновых уравнениях, инвариантных относительно
некоторых алгебр Ли, в кн. Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физике,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 84–86.
10. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт 82.33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 49 с.
232 В.И. Фущич

11. G?rsey F., On a conform-invariant spinor wave equation, Nuovo Cimento, 1956, 3, № 10, 988–1006.
u
12. Fushchych W.I., Shtelen W.M., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equation, J. Phys.
A: Math. Gen., 1983, 16, № 2, 271–277.
13. Фущич В.И., Штелень В.М., Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака, ДАН
СССР, 1983, 269, № 1, 88–92.
14. Фущич В.И., Никитин А.Г., Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольных
спином, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1981, 12, вып. 3, 1157–1219.
15. Биркгоф Г., Гидродинамика, М., Изд-во иностр. лит., 1954, 183 с.
16. Пухначев Вл.В., Групповые свойства уравнений Навье–Стокса в плоском случае, Журн. прикл.
мех. и техн. физ., 1960, № 1, 83–90.
17. Данилов Ю.А., Групповые свойства уравнений Максвелла и Навье–Стокса, Препринт Ин-та
атом. энергии им. И.В. Курчатова, 1967, 15 с.
18. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных урав-
нений в частных производных, в кн. Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 5–44.
19. Ибрагимов Н.Х., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1963, 260 с.
20. Anderson R.L., Ibragimov N.H., Lie-B?cklund transformations in applications, Philadelphis, 1979,
a
150 p.
21. Сорокин B.C., О внутреннем трении жидкостей н газов, обладающих скрытым моментом им-
пульса, Журн. эл. техн. физики, 1943, 13, 306–314.
22. Шлиомис М.И., Динамика жидких парамагнетиков, Пермь: Пермский госуниверситет, 1983,
68 с.
23. Славуцкий С.Л., Групповые свойства некоторых уравнений гидро-газодинамики, в кн. Теорети-
ко-алгебраические методы в задачах математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1983, 71–74.
24. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский C.P.,* Групповые свойства уравнения тепло-
проводности с источником в двумерном и трехмерном случаях, Диф. ур-ния, 1983, 19, № 7,
1215–1224.

<< Предыдущая

стр. 54
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>