<< Предыдущая

стр. 55
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>





*В только что вышедшей статье, с которой автор познакомился после сдачи работы в печать, про-
ведена подробная классификация уравнения (3.1) в двумерном и трехмерном случаях.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 233–278.


О новых и старых симметриях уравнений
Максвелла и Дирака ?
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН

Физическая природа величины подчинена ее математической
форме . . . Математика любит прежде всего симметрию.
Д.К.Максвелл

Д.К. Максвеллу удалось выманить у природы в результате
одного лишь мышления такие тайны, которые лишь спустя
целое поколение удалось показать в остроумных и трудоемких
опытах.
М. Планк



Анализируются симметрийные свойства уравнений Максвелла для электромагнитно-
го поля, а также уравнений Дирака и Кеммера–Дэффина–Петье. В рамках “нелиев-
ского” подхода показано, что помимо хорошо известной инвариантности относитель-
но конформной группы и преобразований Хевисайда–Лармора–Райнича уравнения
Максвелла обладают дополнительной симметрией относительно группы U (2) ? U (2)
и относительно 23-мерной алгебры Ли A23 . Преобразования дополнительной сим-
метрии задаются нелокальными (интегро-дифференциальными) операторами. Ис-
следована симметрия уравнения Дирака в классе дифференциальных и интегро-
дифференциальных преобразований. Показано, что это уравнение инвариантно отно-
сительно 18-параметрической группы, включающей в качестве подгруппы группу Пу-
анкаре. Найдена 28-параметрическая группа инвариантности уравнения Кеммера–
Дэффина–Петье. Получены конечные преобразования из конформной группы для
безмассового поля с произвольным спином. Приведен явный вид конформных пре-
образований для электромагнитного поля, а также для полей Дирака и Вейля.

Symmetry properties of the Maxwell equation for the electromagnetic field are analysed
as well as of the Dirac and Kemmer–Duffin–Petiau one. In the frame of the non-
geometrical approach it is demonstrated, that besides to the well-known invariance under
the conformal group and Heaviside–Larmor–Rainich transformation, Maxwell equati-
ons possess the additional symmetry under the group U (2) ? U (2) and under the 23-
dimensional Lie algebra A23 . The additional symmetry transformations are realized by
the non-local (integro-differential) operators. The symmetry of the Dirac equation under
the differential and integro-differential transformations is investigated. It is shown, that
this equation is invariant under the 18-parametrical group, which includes the Poincar? e
group as a subgroup. The 28-parametrical invariance group of the Kemmer–Duffin–
Petiau equation is found. The finite conformal group transformations for a massless
field of any spin are obtained. The explicite form of the conformal transformations for
the electro magnetic field as well as for the Dirac and Weyl fields in given.

Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1983, 14, вып. 1, C. 5–57.
? Эта статья посвящена 150-летию со дня рождения Джеймса Кларка Максвелла (1831–1879).
234 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Введение
Исследование симметрии уравнений Максвелла имеет долгую и славную исто-
рию. Именно при изучении симметрии этих уравнений Лоренцем, Пуанкаре и
Эйнштейном были получены основные формулы релятивистской механики и эле-
ктродинамики, а последующее обобщение принципа релятивистской инвариантно-
сти на все законы физики сыграло поистине революционную роль в современном
естествознании.
Оказалось, что классические результаты Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна,
Бейтмена, Канингхема не исчерпывают всех свойств симметрии уравнений Ма-
ксвелла. В работах [15–27] были найдены новые группы инвариантности этих
уравнений, а также уравнений Дирака, Кеммера–Дэффина–Петье (КПД) и других
уравнений релятивистской физики. Особенностью новых групп симметрии реля-
тивистских уравнений является то, что они включают нелокальные (неточечные)
преобразования зависимых и независимых переменных и поэтому в принципе не
могут быть получены в классическом подходе Ли. Детальному анализу нелокаль-
ных симметрий посвящена [64].
В настоящей статье, являющейся в основном обзором наших работ [15–35],
в рамках единого теоретико-алгебраического похода будут получены классические
результаты симметрии уравнений Максвелла, а также установлены не известные
до недавнего времени (1974 г. [16], 1978 г. [28, 31, 32]) симметричные свойства
этих уравнений (дополнительная инвариантность относительно группы U (2)?U (2)
и 23-мерной алгебры Ли A23 ). Будут также проанализированы свойства симметрии
уравнений Дирака и КПД и найдены в явном виде конформные преобразования
для безмассовых полей с произвольным спином.
1. Прежде чем приступать к краткому изложению полученных результатов и
основных идей используемого подхода, остановимся кратко на истории вопроса о
симметрии уравнений Максвелла.
Современный вид уравнениям Максвелла придали Герц и Хевисайд. В 1893 г.
Хевисайд [1], записав их в симметричной форме, обратил внимание на то, что они
инвариантны относительно замены:

E > H, H > ?E, (1)

где E и H — векторы напряженности электрического и магнитного полей. Лар-
мор [2] и Райнич [3] обобщили эту симметрию до семейства однопараметрических
преобразований следующего вида:

E > E cos ? + H sin ?, H > H cos ? ? E sin ?. (2)

В конце прошлого века выдающимся норвежским математиком Ли были соз-
даны математические основы науки о симметрии дифференциальных уравнений
(ДУ). Не ставя перед собой общей задачи исследования групповых свойств ДУ,
Лоренц [4], Пуанкаре [5, 6] и Эйнштейн [7] получили один из наиболее фундамен-
тальных результатов в этой области, сыгравший революционную роль в физике.
Именно Лоренц, который не был знаком с теорией Ли, нашел линейные преобра-
зования координат и времени (и соответствующие преобразования для E и H),
оставляющие инвариантными уравнения Максвелла для электромагнитного поля
в отсутствие зарядов.
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 235

Пуанкаре и независимо от него Эйнштейн показали, что и при наличии заря-
дов и токов уравнения Максвелла инвариантны относительно тех же преобразо-
ваний, если плотности токов и зарядов преобразуются соответствующим образом.
Пуанкаре впервые установил и детально изучил одно из самых важных свойств
подобных преобразований — их групповую структуру. Подчеркнем, что именно
на основе анализа свойств симметрии уравнений Максвелла в работах Лоренца,
Пуанкаре и Эйнштейна были заложены основы релятивистской теории.
В 1909 г. Бейтмен [8] и Канингхем [9] доказали, что уравнения Максвелла
инвариантны относительно нелинейных конформных преобразований, которые мо-
жно представить как произведение преобразований инверсии:

xµ > xµ = xµ /(x? x? ), (3)
µ, ? = 0, 1, 2, 3,

сдвига xµ > xµ = xµ ? dµ и вторичной инверсии xµ > xµ = xµ /(x? x ? ). Канин-
гхем [9] нашел в явном виде линейные преобразования векторов E и H, которые
совместно с (3) оставляют уравнения Максвелла инвариантными.
Конформные преобразования совместно с преобразованиями Лоренца и пре-
образованиями изменения масштаба образуют 15-параметрическую конформную
группу C(1, 3). Как показано Бейтменом [8], эта группа является максимальной
точечной группой симметрии уравнений Максвелла с токами и зарядами. Отме-
тим, что группа конформных преобразований в 4-пространстве R4 была изучена
еще Ли [10].
В последнее двадцатилетие основные идеи и методы классического теоретико-
группового анализа дифференциальных уравнений получили существенное разви-
тие в работах Л.В. Овсянникова и его учеников [11–14]. Сравнительно недав-
но алгоритм Ли–Овсянникова был применен при групповом анализе уравнений
Максвелла для электромагнитного поля в вакууме [13]. В результате было уста-
новлено, что максимальной локальной группой инвариантности такого уравнения
является 16-параметрическая группа C(1, 3) ? H, где H — однопараметрическая
подгруппа преобразований Хевисайда–Лармора–Райнича (2).
2. В связи с изложенным выше может сложиться впечатление, что свойства
симметрии уравнений Максвелла полностью изучены и нет никаких надежд по-
лучить какой-либо новый результат в этой области. На самом деле это не так,
поскольку уравнения Максвелла обладают скрытой (негеометрической) симметри-
ей, которая не связана с локальными преобразованиями координат [16, 28, 31].
Как отмечалось в [15–35], инфинитезимальный метод Ли позволяет обнару-
жить далеко не все симметрии, которыми обладает та или иная система ДУ.
Хорошо известным примером “нелиевской” симметрии является инвариантность
уравнения Шредингера для атома водорода относительно группы O(4), впервые
обнаруженная Фоком [36].
Чтобы уяснить себе, какие группы инвариантности ДУ могут и какие не могут
быть найдены в классическом подходе Ли–Овсянникова, рассмотрим произвольное
линейное дифференциальное уравнение
? (4)
L(x, d/dx)?(x) = 0,
?
где L — некоторый линейный оператор, ? — вектор-функция с компонентами
{?1 , ?2 , . . . , ?n }, x ? Rn . В подходе Ли–Овсянникова инфинитезимальные опе-
236 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

раторы группы инвариантности уравнения (9) ищутся в виде дифференциальных
операторов первого порядка:
? ?
µ
? k
(5)
QA = ?A (x, ?) + ?A (x, ?) ,
?xµ ??k
µ k
где ?A (x, ?) и ?A (x, ?) — неизвестные функции, которые можно найти исходя из
требования, чтобы операторы (5) удовлетворяли условию инвариантности уравне-
ния (4):
?? (6)
LQA ?(x) = 0.
Если потребовать, чтобы операторы (5) задавали базис конечномерной алгебры
µ k
Ли, то функции ?A (x, ?) и ?A (x, ?) должны удовлетворять некоторым дополни-
тельным условиям, которые вытекают из соотношений
?? ? (7)
[QA , QB ] = ifABC QC ,
где fABC — структурные константы. Совокупность операторов, удовлетворяющих
условиям (6) и (7), будем называть алгеброй инвариантности (АИ) уравнения (4).
Очевидно, что подход Ли–Овсянникова не позволяет найти все возможные АИ
заданного дифференциального уравнения, поскольку на базисные элементы АИ
накладывается априорное требование принадлежности классу дифференциальных
операторов первого порядка* . Из сказанного ясно, что постановку задачи об ис-
следовании алгебраических свойств ДУ можно существенно обобщить, если ра-
?
сширить класс искомых операторов QA , удовлетворяющих (6), (7). Например, мо-
жно искать алгебру инвариантности ДУ в классе дифференциальных операторов
второго порядка или даже интегро-дифференциальных операторов. Именно таким
путем были найдены новые АИ уравнений Дирака [15–19], Максвелла [16, 28, 31,
32] и многих других уравнений квантовой механики [15–35]. Такие алгебры инва-
риантности, называемые ниже негеометрическими, соответствуют нелокальным
преобразованиям зависимых и независимых переменных и поэтому не порождают
локальных групп Ли.
Не будем здесь касаться широкого круга вопросов, которые связаны с дина-
мической симметрией физических систем, достаточно полно освещенных в лите-
ратуре (см., например, [38–40]). Физическим аспектам динамической симметрии
посвящена книга [41].
3. Главный и самый трудный вопрос, возникающий в связи с негеометриче-
ским подходом к исследованию симметрийных свойств ДУ, состоит в следующем:
?
каким способом конструктивно вычислить операторы QA , образующие АИ задан-
ного дифференциального уравнения? Обобщая результаты конкретных вычислений
АИ уравнений квантовой механики, можно сформулировать следующий алгоритм
для нахождения явного вида таких операторов [24, 30, 33]: 1) система ДУ с помо-
щью невырожденного преобразования приводится к каноническому диагональному
виду, т.е. производится максимальное расщепление системы ДУ на независимые
?
подсистемы; 2) находится АИ преобразованного уравнения; 3) если операторы QA
удовлетворяют соотношениям (7), то устанавливается, какое именно представле-
ние алгебры Ли реализуют эти операторы на множестве решений исследуемого
* Следуетотметить, что подход Ли–Овсянникова получил существенное-развитие в работе Ибраги-
мова и Андерсена с помощью преобразования Ли–Бэклувда [37].
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 237

уравнения; 4) с помощью обратного преобразования находится явный вид бази-
сных элементов алгебры инвариантности исходного уравнения; 5) по найденному
представлению АИ вычисляются конечные преобразования

?(x) > ? (x) = exp(iQA ?A )?(x), (8)

где ?A — параметры преобразований.
В основе сформулированного алгоритма лежит одна из самых плодотворных
и эффективных идей в теории ДУ — преобразования независимых и зависимых
переменных. Приведем более подробное описание первого шага этого алгоритма.
Важную роль в реализации алгоритма будет играть понятие символа оператора
? ?/?x), который можно определить с помощью преобразования Фурье (более
L(x,
подробно о символах см., например, в [42]):

L(x, ?/?x)?(x) = (2?)?n/2
? ?
L(x, p) exp(ix · p)?(p) dn p, (9)
D(p)

?
? ?
где ? ? C0 (Rn ), ? = F ?(x) — фурье-образ ?(x), F — унитарный оператор
?? ?
Фурье, отображающий вектор из гильбертова пространства H в H, ?(p) ? H,
D(p) — область интегрирования, x · p = g xµ p? = g x0 p0 + g x1 p1 + · · · +
µ? 00 11

g n?1 n?1 xn?1 pn?1 , g µ? — метрический тензор риманова пространства Rn .
?
Связь между оператором L(x, ?/?x) и его символом L(x, p) задается формулами

L(x, ?/?x) = F ?1 L(x, p)F,
? (10)

L(x, p) = F L(x, ?/?x)F ?1 .
? (11)

Формулы (10), (11) указывают путь реализации первого шага алгоритма. Дей-
?
ствительно, если уравнение (4) таково, что символ оператора L(x, ?/?x) является
матрицей с переменными коэффициентами, а это имеет место для абсолютного
большинства уравнений математической физики, то задача о расщеплении систе-
мы (4) на максимально возможное число незацепляющихся уравнений сводится к
преобразованию матрицы L(x, p) (11) к диагональной или жордановой форме. Та-
кая диагонализация в общем случае представляет достаточно сложную проблему,
но если вектор-функция ?(x) имеет не слишком много компонент, то трудности
носят чисто технический характер.
Следует сказать, что полная реализация приведенного выше алгоритма для
конкретных уравнений физики и механики, как правило представляет непростую
математическую задачу. Сказанное в полной мере относится и к алгоритму Ли–
Овсянникова.
1. Различные формулировки уравнений Максвелла
Изложим здесь основные формулировки уравнений Максвелл для электрома-

<< Предыдущая

стр. 55
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>