<< Предыдущая

стр. 56
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

гнитного поля в вакууме и в присутствии токов и зарядов. Все эти формули-
ровки математически эквивалентны, но каждая из них может оказаться наиболее
удобной при решении конкретно физической задачи. Кроме того, разные формы
уравнений Максвелла открывают путь к совершенно различным обобщениям этих
уравнений.
238 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Уравнения Максвелла в векторных обозначениях. Уравнения Максвелла
для электромагнитного поля в вакууме имеют вид
p ? E = i?H/?t, p ? H = ?i?E/?t, (12а)
p · E = 0, p · H = 0, (12б)
где pa = ?i?/?xa , a = 1, 2, 3, E = E(t, x) и H = H(t, x) — векторы напря-
женности электрического и магнитного полей. Мы используем систему единиц
Хевисайда, в которой = c = 1.
При наличии токов и зарядов система уравнений Максвелла принимает вид:
i?E/?t = ?p ? H ? ij, p · E = ?ij0 , (13а)
i?H/?t = p ? E, p · H = 0, (13б)
где j = (j0 , j) — 4-вектор электрического тока, а константа электромагнитного
взаимодействия выбрана равной единице.
Запись уравнений Максвелла в форме (12) или (13) была предложена еще Гер-
цем и Хевисайдом. Использование векторных обозначений делает уравнения (12)
и (13) достаточно компактными и изящными. Однако формулировки (12) и (13)
не являются явно релятивистски-инвариантными. Глядя на формулы (12) и (13),
очень непросто догадаться, что эти уравнения можно интерпретировать как урав-
нения для безмассовых частиц со спиральностью ? = ±1. Наконец, уравнения в
форме (12) или (13) невозможно непосредственно обобщить на случай частиц с
произвольным (отличным от ±1) значением спиральности. Форма уравнений (12)
и (13) не очень удобна также для исследования их свойств симметрии. Поэтому
приведем ниже другие формулировки уравнений Максвелла, свободные от пере-
численных недостатков.
Уравнения Максвелла в операторной форме. Для исследования свойств сим-
метрии уравнений Максвелла удобно представить систему (12) как результат дей-
ствия некоторых линейных операторов на вектор-функцию
?(t, x) = столбец (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ), (14)
где Ea и Ha — компоненты векторов напряженности электрического и магнитного
полей.
Обозначим символами Sa (a = 1, 2, 3) и ?µ (µ = 0, 1, 2, 3) следующие матрицы:
? 1?
Sa 0 0
Sa = , ?0 = ,
? ?1
0
0 Sa
? ?1
?1 1?
0 0 0
?1 = , ?2 = i , ?3 = ? ?1 ,
1? 1? (15)
0 0 0
? ? ? ? ? ?
0 ?i
00 0 0 0 i 0
S1 = ? 0 0 ?i ? , S2 = ? 0 0 ?, S3 = ? i 0 0 ?,
? ? ?
0
?i
0i 0 0 0 00 0
где ? и 1 — трехрядные квадратные нулевые и единичные матрицы. Используя
0
обозначения (15), уравнения (12а) можно записать в форме Шредингера:
? ?
L1 ?(t, x) = 0, L1 = i?/?t + ?2 S · p. (16)
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 239

Что же касается уравнений (12б), то их также можно записать в операторной
форме
?2
La ?(t, x) = 0, (17)
?
где La — любой из трех операторов
2
?
La = (?ab ? Sb Sa )pb , (18)
a, b = 1, 2, 3.
2
Здесь и далее ?ab означает символ Кронекера, а по повторяющимся латинским
индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.
Таким образом, уравнения (12) можно представить в форме уравнения Шредин-
гера (16) для шестикомпонентной вещественной функции (14) и дополнительного
условия (17), которое, как будет показано ниже, уменьшает число независимых
компонент функции (14) до четырех. Именно формулировку (16), (17) будем в
основном использовать ниже при исследовании свойств симметрии уравнений Ма-
ксвелла.
Рассмотрим здесь еще одну форму уравнений (12), в которой используется
трехкомпонентная комплексная вектор-функция:
? ?? ?
H1 ? iE1
?1
? = ? ?2 ? = ? H2 ? iE2 ? . (19)
H3 ? iE3
?3
В обозначениях (15), (19) уравнения (12) можно переписать в следующем виде:
? ?
? ?
H = S · p, (20а)
i ? = H?,
?t
?
(pa ? S · pSa )? = 0. (20б)
Уравнение (20б), будучи записано покомпонентно, сводится к следующему усло-
вию для функции (19):
p · ? = 0, (21)
где ? = (?1 , ?2 , ?3 ).
Формулировка уравнений Максвелла в виде (20а), (21) была впервые предло-
жена Майорана (см. [43])* . Эта формулировка очень удобна для корпускулярной
интерпретации уравнений (12) (см. ниже разд. 5).
Уравнения Максвелла в форме Дирака. Рассмотрим теперь другую форму-
лировку уравнений (12), впервые полученную А.А. Боргардтом [44], а затем Ло-
монтом [45] и Мозесом [46]. Обозначим символами ?1 , ?2 и ?3 четырехрядные
матрицы следующего вида:
? ? ? ?
0 ?1 0 0 0 0 ?1 0
?1 0 0 0? ? 0 0 0 ?1 ?
?1 = i ? ?, ?2 = i ? ?,
?0 0 0 1? ?1 0 0 0?
0 0 ?1 0 01 0 0
? ? (22)
0 0 0 ?1
?0 0 1 0 ?
?3 = i ? ?
? 0 ?1 0 0 ? ,
1000
* Такая формулировка (но в покомпонентной, а не в матричной записи) использовалась значительно
ранее Бейтменом и Циммерманом [63].
240 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

а символом ?(t, x) — четырехкомпонентную функцию, первая компонента которой
тождественно равна нулю:
? ?
0
? E ? iH1 ?
?(t, x) = ? 1 ? (23)
? E2 ? iH2 ? .
E3 ? iH3

Используя обозначения (22), (23), уравнения (12) можно записать в виде:
?
? ? · p ? = 0. (24)
i
?t
Действительно, расписывая (12) и (22)–(24) покомпонентно и принимая во внима-
ние вещественность E и H, приходим к одинаковым системам уравнений.
Матрицы ?a (22) удовлетворяют алгебре Клиффорда–Дирака

(25)
?a ?b + ?b ?a = 2?ab .

Следует подчеркнуть, однако, что уравнение (24) даже в случае, когда ?(t, x) —
произвольная функция, неэквивалентно уравнению Дирака с m = 0, поэтому на-
звание уравнения Максвелла в форме Дирака очень условно.
Основное достоинство записи уравнений Максвелла в форме (22)–(24) состоит
в том, что эта формулировка легко обобщается на случай релятивистского без-
массового поля произвольного спина. Однако уравнения (22)–(24) неинвариантны
относительно пространственной инверсии и, кроме того, с чисто эстетической то-
чки зрения не очень привлекательно выглядит условие равенства нулю первой
компоненты функции ?(t, x) (23).
Следуя [47, 48], приведем еще одну формулировку уравнений (12) в которой,
как и в (15)–(17), используем вещественную вектор-функцию, имеющую на этот
раз восемь компонент:

? = столбец (H1 , H2 , H3 , ?1 , E1 , E2 , E3 , ?2 ). (26)

Уравнения (12) можно представить в виде следующей системы для функции (26):
? ?
L1 = ?µ pµ ,
L1 ? = 0,
(27)
? ?
L2 = ?µ pµ S?? S ?? ,
L2 ? = 0,
где ?µ и S?? — матрицы размерности 8 ? 8
?
? ? ? ?
0 1 ?a 0 Sab 0
?a = ?i
?0 = , , Sab = ,
? ? ? ?ab
?
1 0 0 ?a 0 S
? ?
0 (28)
? 0?
?
?S0a
? ?
0 Sc
= ?abc ? ?,
? ?
Sab = ?i?abc S0a
S0a = i , ? 0?
?
?0a ?
S 0
00 00
?
? и ? — нулевые и единичные матрицы размерности 4 ? 4, ?a и Sc — матрицы
01
(22), (15).
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 241

Подставляя (26), (28) в (27) и расписывая получившуюся систему покомпонен-
тно, приходим к уравнениям (12) для E и H и следующим условиям для ?1 и
?2 :
? ?
(29)
p a ?1 = ?1 = pa ?2 = ?2 = 0,
?t ?t
откуда заключаем, что ?1 и ?2 — константы, которые, не умаляя общности, можно
считать равными нулю.
Уравнения Максвелла в форме (26)–(28) также допускают самое непосред-
ственное обобщение на случай полей с произвольным спином [47, 48] и, в отличие
от (22), (23), инвариантны относительно пространственной инверсии (см. разд. 2).
Уравнения в форме Кеммера–Дэффина–Петье. Во всех рассмотренных вы-
ше формулировках уравнения Максвелла записывали как результат действия двух
(или четырех) линейных операторев на некоторую вектор-функцию. Однако систе-
му (12) можно представить также в виде единого уравнения:
(?µ pµ + ??)? = 0, (30)
где ?µ — десятирядные матрицы КДП, удовлетворяющие алгебре
(31)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = gµ? ?? + g?? ?µ ,
? = ?5 , ?5 = ?µ??? ?µ ?? ?? ?? /4!, gµ? — метрический тензор: gµ? = diag (1, ?1, ?1,
2

?1).
Покажем, что уравнения (12) действительно можно представить в форме (30),
(31). Выбирая ?µ и ? в виде
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?1 0 0 0 0 ?a
00
?? ? ? 0? ?? ? ?Sa 0 ?
?
00 0 ? , ?a = ? 0 0
?0 = i ? ?,
?1 ? ? 0? ?? 0?
? ?
00 0 Sa 0
??+ 0
00 0 0 0 0
a
? ?
? ?1 ? 0
0 0
?1 ? ? 0?
00
?5 = i ? ? ? ? ? (32)
? 0 0 0 0 ?,
0 0 00
? ?
E
?H?
?=? ?
? A ? = столбец (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 , A1 , A2 , A3 , A0 ),
A0
?
где Sa — матрицы (15),
?? ?? ? ?
i 0 0
?1 = ? 0 ? , ?2 = ? i ? , ?3 = ? 0 ? , (33)
0 0 i
? и 1 — нулевые и единичные матрицы размерности 3 ? 3, ? — нулевые матрицы
0 0
соответствующей размерности, приходим к системе уравнений
i?Ab /?t + i?A0 /?xb = ?i?Eb , ?H = rot A,
(34)
i?E/?t = ?p ? H, p · E = 0,
242 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

из которой непосредственно следуют уравнения (12) для E и H.
Запись уравнений Максвелла в форме (30), (31) была впервые предложена,

<< Предыдущая

стр. 56
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>