<< Предыдущая

стр. 57
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

по-видимому, Ф.И. Федоровым ([49], а также см. [50, 51]).
Обратимся теперь к уравнениям Максвелла с токами и зарядами (13) и пока-
жем, что их можно записать в виде системы двух уравнении типа (30). Обозначим
?
символом ?(t, x) десятикомпонентную функцию следующего вида:
? ?
E
?H?
?=? ?
?
? j ? = столбец (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 , j1 , j2 , j3 , j0 ). (35)
j0
Тогда уравнения (13) можно записать в виде следующей системы:
?? ?
L1 = (1 ? ?5 )(?µ pµ + 1),
2
L1 ? = 0,
(36)
?? ?
L2 = ?µ pµ ?5 ,
L2 ? = 0,
где ?µ и ?5 — матрицы (32). Подставив (32), (35) в (36), приходим к уравнени-
ям (13).
Формулировка уравнений Максвелла в виде (35), (36) во многих отношениях
более удобна, чем общепринятая запись этих уравнений в векторной форме (13). В
частности, уравнения (36) явно инвариантны относительно группы Пуанкаре (см.
разд. 2).
Отметим еще, что систему уравнений (13) можно записать также в виде едино-
го уравнения типа (30), где ?µ — матрицы размерности 16 ? 16, удовлетворяющие
алгебре (29). Такие матрицы можно выбрать в форме [52]:
1 2
(37)
?µ = (?µ + ?µ )/2,
где {?µ } и {?µ } — два взаимно коммутирующих набора матриц Дирака
1 2

?? ?? 1 2
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? , [?µ , ?? ] = 0, ? = 1, 2.
Если теперь матрицу ? в (30) выбрать в виде
? = ?5 + (1 + ?µ ?µ )(?5 ? ?5 )/4?,
2 12 1 2
(38)
то уравнения (30), (37), (38) эквивалентны системе уравнений Максвелла с токами
и зарядами (13).
Существуют и другие формулировки уравнений Максвелла (например, с ис-
пользованием 4-потенциала Aµ ), на которых не будем здесь останавливаться.
2. Релятивистская и конформная инвариантность
уравнений Максвелла
Опишем здесь алгебру инвариантности уравнений Максвелла в классе диффе-
ренциальных операторов первого порядка и найдем в явном виде конечные пре-
образования. Получим также явный вид конформных преобразований для безмас-
сового поля с произвольным спином.
Определение алгебры инвариантности. Приступим к исследованию свойств
симметрии уравнений Максвелла. Будем исходить из формулировки этих уравне-
ний, задаваемой соотношениями (36). Рассмотрим также несколько более общую
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 243

?
систему, задаваемую уравнениями (31), (36), где ?(t, x) — произвольная компле-
ксная функция; ?µ — произвольные (не обязательно совпадающие с (32)) десяти-
рядные матрицы, удовлетворяющие алгебре КДП.
Обозначим {QA } (A = 1, 2, . . . , N , N < ?) некоторую совокупность линейных
операторов, определенных на множестве, всюду плотном в пространстве десяти-
компонентных квадратично интегрируемых функций ?(t, x) и образующих коне-
чномерную алгебру Ли.
Определение 1. Уравнения (36) инвариантны относительно алгебры {QA },
если операторы QA удовлетворяют условиям:
? 1? 1?
[L1 , QA ] = fA L1 + gA L2 ,
(39)
? ? ?
[L2 , QA ] = f 2 L1 + g 2 L2 ,
A A

1 1 2 2
где fA , gA , fA , gA — некоторые операторы, определенные на множестве реше-
ний уравнений (36), а символ [A, B] означает коммутатор: [A, B] = AB ? BA.
Действительно, если выполняется (39), то преобразование ? > QA ? переводит
решение уравнения (23) в другое его решение.
Таким образом, задача описания алгебры инвариантности уравнений Максвел-
ла сводится к нахождению возможно более широкого класса операторов QA , удов-
летворяющих условиям (39). Отметим, что в определении 1 не содержится никаких
требований относительно общего вида операторов QA — это могут быть, например,
дифференциальные операторы, включающие производные выше первого порядка
и даже интегро-дифференциальные операторы. В этом состоит принципиальное
отличие нашей постановки задачи от классического подхода Ли–Овсянникова, в
котором инфинитезимальные операторы группы инвариантности дифференциаль-
ного уравнения, образующие, очевидно, АИ данного уравнения, всегда принадле-
жат классу дифференциальных операторов первого порядка.
Алгебра инвариантности уравнений Максвелла в классе дифференциаль-
ных операторов первого порядка. Рассмотрим задачу о нахождении АИ уравне-
ний (36) в классе дифференциальных операторов первого порядка, которая состоит
в определении всех возможных операторов вида

QA = BA (t, x) + CA (t, x)?/?xb + DA (t, x)?/?t,
b
(40)

удовлетворяющих условиям (39) и образующих конечномерную алгебру Ли.
В формуле (40) CA (t, x) и DA (t, x) — бесконечно дифференцируемые функции,
b

а BA (t, x) — матрицы размерности 10 ? 10, матричные элементы которых также
бесконечно дифференцируемы.
Теорема 1. Алгебра инвариантности уравнений (36) в классе дифференциаль-
ных операторов первого порядка — 15-мерная алгебра Ли, базисные элементы
которой задаются формулами:

Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
Pµ = pµ = igµ? ?/?x? ,
(41)
Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ + 2Sµ? x? ,
D = xµ pµ + ik,

где

Sµ? = i(?µ ?? ? ?? ?µ ), k = ?µ ? µ = 3 ? ?5 .
2
(42)
244 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Доказательство. Используя соотношения
(1 ? ?5 )?µ = ?µ ?5 ,
2 2 2
(43)
?5 = ?5 ,
которые вытекают из алгебры (31), непосредственной проверкой убеждаемся, что
операторы (36) и (41) удовлетворяют условиям
? ? ? ? (44)
[Pµ , L? ] = [Jµ? , L? ] = [D, L? ] = [Kµ , L? ] = 0, ? = 1, 2,
которые совпадают с (39) при gA = fA ? 0.
? ?

Используя (31), нетрудно убедиться, что операторы (41) образуют 15-мерную
алгебру Ли, так как удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[Jµ? , P? ] = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
[Pµ , P? ] = 0,
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ? gµ? J?? ),
[Jµ? , K? ] = i(g?? Kµ ? gµ? K? ), (45)
[Kµ , P? ] = ?2i(gµ? D + Jµ? ), [Kµ , K? ] = 0,
[D, Pµ ] = ?iPµ , [D, Kµ ] = iKµ , [Jµ? , D] = 0.
Таким образом, операторы (41) действительно образуют АИ уравнений Ма-
ксвелла. Теорема доказана.
Соотношения (45) определяют алгебру Ли конформной группы C(1, 3). Эта
алгебра содержит подалгебру Пуанкаре, образуемую операторами Pµ и Jµ? и за-
даваемую соотношениями (45а).
Следствие 1. Каждое из уравнений (36) в отдельности инвариантно относительно
алгебры C(1, 3).
Это утверждение следует непосредственно из того факта, что согласно (44)
? ?
оператор L1 из первого и оператор L2 из второго уравнения (36) коммутируют со
всеми базисными элементами алгебры C(1, 3), задаваемыми формулами (41).
Следствие 2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме инва-
риантны относительно алгебры C(1, 3).
Действительно, уравнения Максвелла без токов и зарядов, задаваемые форму-
лами (12), можно представить в виде системы (36), на множество решений которой
наложено дополнительное условие
?? 2?
L3 ? ? (1 ? ?5 )? = 0 (46)
?
(при этом матрицы ?µ должны иметь вид (32)). Но матрица L3 коммутирует с
генераторами (41) и, следовательно, уравнение (46), как и (36), инвариантно отно-
сительно алгебры C(1, 3).
Из симметрии уравнений (36) относительно алгебры (41) следует, что эти урав-
нения инвариантны также относительно множества преобразований вида
? > exp(iQA ?A )?, (47)
A = 1, 2, . . . , 15,
где QA — произвольный оператор из множества (41), ?A — вещественные параме-
тры. Ниже получим в явном виде все преобразования типа (47), которые образуют
представление конформной группы. Как показал еще Бейтмен [8], конформная
группа является максимальной локальной группой преобразований переменных x
и t, оставляющих инвариантными уравнения Максвелла с токами и зарядами.
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 245

Инвариантность уравнений для электромагнитного поля в вакууме отно-
сительно алгебры C(1, 3) ? H. Выше было показано, что уравнения (36), (46)
инвариантны относительно 15-мерной алгебры C(1, 3). Оказывается, АИ этих урав-
нений в классе дифференциальных операторов первого порядка можно расширить
до 16-мерной алгебры Ли, как это устанавливается в следующей теореме.
Теорема 2. Система уравнений (36), (46) инвариантна относительно 16-мер-
ной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами (41) и (48):
(48)
F = ?5 .
? ?
Доказательство. Используя соотношения (43), получаем для L1 и L2 из (36) и
? ? ? ? ? ? ? ?
L3 из (46) [L1 , ?5 ] = ?L2 , [L2 , ?5 ] = L1 ? L3 ? ?5 L2 , [L3 , ?5 ] = 0, откуда не-
посредственно следует, что оператор (41) удовлетворяет условию инвариантности
уравнений (36), (46). Оператор F (48) коммутирует со всеми операторами (41).
Это означает, что операторы (41), (48) образуют алгебру C(1, 3) ? H, где H вклю-
чает единственный элемент (48). В силу следствия 2 из теоремы 1 эта алгебра
является АИ уравнений (36), (46). Теорема доказана.
Как увидим ниже, оператор (48) порождает преобразования Хевисайда–Лар-
мора–Райнича (2). В [13] показано, что алгебра C(1, 3) ? H является максималь-
ной АИ уравнений Максвелла для электромагнитного ноля в вакууме. В разд. 3
найдем новые АИ уравнений Максвелла, базисные элементы которых являются
нелокальными (интегро-дифференциальными) операторами.
Замечание. Все формулировки уравнений Максвелла для электромагнитного по-
ля в вакууме рассмотрены в разд. 1 и инвариантны относительно алгебры C(1, 3).
Базисные элементы этой АИ во всех случаях принадлежат классу дифференци-
альных операторов первого порядка и задаются формулами (41), где
для (49а)
Sab = ?abc Sc , S0a = i?2 Sa (16), (17);
? ? для (49б)
Sab = ?abc Sc , S0a = iSa (20);
? для (49в)
Sµ? = Sµ? (23), (24),
? ?
и, наконец, Sµ? имеют форму (28) для (27). Здесь Sa , Sa и Sµ? — матрицы (15),
(28). При этом уравнения (16), (17) и (27) инвариантны относительно более ши-
рокой алгебры C(1, 3) ? H, где H включая единственный элемент F , равный ?2
для уравнений (16), (17) и ?0 ?1 ?2 ?3 для уравнений (27), в то время как для урав-
нений (20) и (23), (24) максимальной АИ в классе линейных дифференциальных
операторов первого порядка является C(1, 3).
Преобразования дискретной симметрии. Рассмотренные выше алгебры Ли
— максимально широкие АИ уравнений Максвелла в классе дифференциальных
операторов первого порядка, но не исчерпывают, как увидим ниже, всех свойств
симметрии этих уравнений. Хорошо известным примером симметрии, которую не
включают рассмотренные выше АИ, является инвариантность уравнений Максвел-
ла относительно следующих дискретных преобразований
x > x, t > t,
E(t, x) > ?E(t, ?x), H(t, x) > H(t, ?x), (50а)
j(t, x) > ?j(t, ?x), j0 (t, x) > j0 (t, ?x);
246 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

x > x, t > ?t,
E(t, x) > E(?t, x), H(t, x) > ?H(?t, x), (50б)
j(t, x) > ?j(?t, x), j0 (t, x) > j0 (?t, x);

x > x, t > t,
E(t, x) > E ? (t, x), H(t, x) > H ? (t, x), (50в)
j(t, x) > j ? (t, x), ?
j0 (t, x) > j0 (t, x).

Преобразования (50) называют пространственной инверсией P , обращением вре-
мени T и зарядовым сопряжением C.
Используя обозначения (32), (35), преобразования (50) можно переписать в
виде:
? ? 2?
?(t, x) > P ?(t, x) = (1 ? 2?0 )?(t, ?x),
? ? ?
?(t, x) > T ?(t, x) = (1 + 2? 2 )(1 + 2? 2 )(1 + 2? 2 )?(?t, x), (51)
1 2 3
?(t, x) > C ?(t, x) = ?? (t, x).
? ?

Принимая во внимание соотношения (31), нетрудно убедиться, что преобразования
(51) оставляют уравнения (46) инвариантными, поскольку выполняется
? ? ? ? ? ?
[P, L1 ] = [P, L2 ]+ = [T, L1 ]+ = [T, L2 ] = [C, L1 ] = [C, L2 ] = 0,
? ?
где L1 и L2 — операторы (36), символ [A, B]+ означает антикоммутатор, [A, B]+ =
AB + BA. Операторы (51) удовлетворяют следующим перестановочным соотноше-
ниям совместно с генераторами группы C(1, 3) (41):

[P, P0 ] = [P, Pa ]+ = [P, Jab ] = [P, J0a ]+ = 0,
[T, P0 ]+ = [T, Pa ] = [T, Jab ] = [T, J0a ]+ = 0,
(52)
[C, Pµ ]+ = [C, Jµ? ]+ = 0, [P, D] = [P, K0 ] = [P, Ka ]+ = 0,
[T, D] = [T, K0 ]+ = [T, Ka ] = 0, [C, D]+ = [C, Kµ ]+ = 0,
T 2 = P 2 = C 2 = 1.
[P, T ] = [P, C] = [T, C] = 0,

Коммутационные и антикоммутационные соотношения (52) могут служить аб-
страктным определением операторов P , T и C. Мы видим, что уравнения Ма-
ксвелла инвариантны относительно множества операторов {Pµ , Jµ? , D, Kµ , P, T, C},
образующих алгебру (52), которая не является алгеброй Ли.
Явный вид преобразований из конформной группы для E, H, j и j0 . Най-
дем теперь в явном виде представление конформной группы, которое реализуется
на множестве решений уравнений Максвелла с токами и зарядами, т.е. вычислим

<< Предыдущая

стр. 57
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>