<< Предыдущая

стр. 58
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

конечные преобразования координат времени, векторов E, H и 4-вектора тока,
порождаемые генераторами (41).
Представление конформной группы на множестве решений системы (36) реа-
лизуется операторами вида

(53)
U = exp(iQA ?A ), A = 1, 2, . . . , 15,

где QA — генераторы (36), ?A — произвольные вещественные параметры, а по
повторяющемуся индексу A подразумевается суммирование от 1 до 15. Поскольку
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 247

генераторы (38) образуют конечномерную алгебру Ли, то оператор (51) всегда
можно представить в форме

U = U5 U4 U3 U2 U1 ,

где
U1 = exp(iPµ aµ ) = exp(ipµ aµ ), µ = 0, 1, 2, 3,
(54)
U2 = exp(iJa ?a ), Ja = ?abc Jbc /2,
U5 = exp(iKµ bµ ),
U3 = exp(iJ0a ?a ), U4 = exp(iD?0 ),

где aµ , ?a , ?a , bµ — вещественные параметры. Следовательно, для определения
явного вида конечных преобразований из конформной группы достаточно задать
действие операторов (54).
Преобразования векторов E и H и 4-вектора j = (j, j0 ), порождаемые операто-
рами (54), хорошо известны. Преобразования из группы Пуанкаре, генерируемые
U1 , U2 и U3 , были найдены еще Лоренцем, Пуанкаре и Эйнштейном, преобразо-
вания дилатации, совершаемые оператором D, для произвольного поля описаны
Вейлем и, наконец, собственно конформные преобразования, порождаемые опе-
раторам Kµ , были описаны Канингхемом [9]. Однако насколько нам известно,
явный вид конформных преобразований для E и H нигде не приведен, хотя в [53]
и имеется очень сложная формула для преобразования тензора электромагнитного
поля.
Здесь выпишем в явном виде преобразования из конформной группы для E, H
и j, а ниже приведем доказательство этих формул и установим закон преобразо-
вания для конформно-инвариантного поля произвольного спина.
Конформные преобразования для независимых переменных x и t задаются фор-
мулами:

x > x = x ? a,
(55а)
t > t = t ? a0 ;

x > x = x cos ? ? ? ? x sin ?/? + ?? · x(1 ? cos ?)/?2 ,
(55б)
t > t = t;

x > x = x ch ? ? ?t sh ?/? + ?(? · x)(ch ? ? 1)/?2 ,
(55в)
t > t = t ch ? ? x · ? sh ?/?;

xµ > xIV = exp(??0 )xµ ; (55г)
µ


xµ > xV = (xµ + bµ x? x? )/(1 + 2b? x? + b? b? x? x? ), (55д)
µ

1/2 1/2
2 2 2
, ? = ?2 + ?2 + ?2
где ? = ?1 + ?2 + ?3 .
1 2 3
Преобразования (55a)–(55в) сохраняют квадратичную форму x2 ? x2 и обра-
0
зуют группу P (1, 3), называемую группой Пуанкаре. Формулы (55г), (55д) за-
дают масштабные и собственно конформные преобразования, которые образуют
совместно с (55a)–(55в) конформную группу C(1, 3). Операторы (54) реализуют
248 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

представление этой группы на множестве решений уравнений (36) и порождают
?
следующие преобразования функции ?(t, x):
? ? ? ?
?(t, x) > ? (t, x) = U1 ?(t, x) = ?(t , x ); (56а)

? ? ? ?
?(t, x) > ? (t, x) = U2 ?(t, x) = exp(iS · ?)?(t , x ) =
(56б)
?
= 1 + iS · ? sin ?/? + (S · ?)2 (cos ? ? 1)/?2 ?(t , x );

? ? ? ?
?(t, x) > ? (t, x) = U3 ?(t, x) = exp(iS0a ?a )?(t , x ) =
(56в)
?
= 1 + iS0a ?a sh ?/? + (S0a ?a )2 (1 ? ch ?))/?2 ?(t , x );

? ? ? ?
?(t, x) > ?IV (t, x) = U4 ?(t, x) = exp(?k?0 )?(tIV , xIV ); (56г)

? ?
?(t, x) > ?V (t, x) = ??5 + ?2 (1 ? ?5 ) ?
2 2
(56д)
?
? ? + 2iSµ? bµ xV? (b? xV? ? 1) ? 2(Sµ? bµ xV? )2 ?(tV , xV ),

где Sa = ?abc Sbc /2, ? = 1 ? 2b? xV + b? b? xV xV? , Sµ? и k — мaтpицы (42). Подстав-
? ?
?
ляя в (56) выражения (35) для функции ?(t, x) и (32) для матриц ?µ , получаем
конформные преобразования для векторов напряженности электрического и ма-
гнитного полей и 4-вектора электрического тока в виде:

E > E = E, H > H = H, jµ > jµ = jµ ; (57а)

E > E = E cos ? ? ? ? E sin ?/? + ?(? · E)(1 ? cos ?)/?2 ,
H > H = H cos ? ? ? ? H sin ?/? + ?(? · H)(1 ? cos ?)/?2 ,
(57б)
j > j = j cos ? ? ? ? j sin ?/? + ?(? · j)(1 ? cos ?)/?2 ,
j0 > j0 = j0 ;

E > E = E ch ? ? ? ? H sh ?/? + ?(? · E)(1 ? ch ?)/?2 ,
H > H = H ch ? + ? ? E sh ?/? + ?(? · H)(1 ? ch ?)/?2 ,
(57в)
j > j = j ? ?j0 sh ?/? ? ?(? · j)(1 ? ch ?)/?2 ,
j0 > j0 = j0 ch ? ? ? · j sh ?/?;

E > E IV = exp(?2?0 )E, H > H IV = exp(?2?0 )H,
(57г)
jµ > jµ = exp(?3?0 )jµ ;
IV



E > E V = ? (bµ xVµ ? 1)2 E + (bµ xV ? 1)(b0 xV ? H ? xV b ? H+
µ 0
+bxV · E ? xV b · E) + b ? xV (xV b · H ? b0 xV · H + b · xV ? E)+
0
+(bx0 ? b0 x )(b · x ? H ? x0 b · E + b0 xV · E) ,
V V V V

H > H V = ? (bµ xV ? 1)2 H + (bµ xV ? 1)(xV b ? E ? b0 xV ? E+
µ µ 0
(57д)
+bxV · H ? xV b · H) + b ? xV (b · xV ? H + b0 xV · E ? xV b · E)+
0
+(bx0 ? b0 x )(b0 x · H ? x0 b · H ? b · x ? E) ,
V V V V V

j? > j? = ?2 ?j? ? 2[b? (1 ? 2xV b? ) + xV b? b? ]xV j µ +
V
? µ
?
+2(xV ? b? xV xV? )bµ j µ .
?
?
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 249

В формулах (57) ради краткости опущены аргументы функций E, H и jµ .
Соотношения (55), (57) задают явный вид преобразований из конформной груп-
пы для векторов напряженности электрического и магнитного полей и 4-вектора
тока. Эти формулы значительно упрощаются, если ограничиться однопараметри-
ческими преобразованиями, когда отличен от нуля только один из входящих в (57)
параметров. Так, полагая в (57д) b = 0, b0 = b, получаем:

E V (t, x) = ? (bt ? 1)2 E ? b2 xx · E + 2b(bt ? 1)x ? H ,
?? ?
H V (t, x) = ? (bt ? 1)2 H ? b2 xx · H ? 2b(bt ? 1)x ? E ,
?? ?
(58)
j V (t, x) = ?2 ?j + 2xx · jb2 ? 2b(1 ? bt)xj0 ,
?? ??
j0 (t, x) = ?2 [?j0 ? 2b(1 ? bt)x · j] ,
V??
??
где

? = 1 ? 2bt + b2 x? x? , xµ = (xµ ? bx? x? ?µ0 )/?.
? ? ?

Интегрирование представлений конформной алгебры, соответствующих
произвольному спину. Приведем доказательство справедливости формул (57),
задающих конечные преобразования из конформной группы. Одновременно решим
более общую задачу получения в явном виде группы преобразований, порождае-
мых генераторами (46), где Sµ? — произвольные матрицы, удовлетворяющие алге-
бре O(1, 3):

[Sµ? , S?? ] = i(gµ? S?? + g?? Sµ? ? gµ? S?? ? g?? Sµ? ). (59)

Генераторы (41) имеют вид:
µ
(60)
QA = ?A (x)?/?xµ + CA (x), A = 1, 2, . . . , 15,
µ
где ?A (x) — функции от x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), CA (x) — матрицы, матричные эле-
менты которых также могут зависеть от x. Операторы (59) порождают конечные
преобразования из конформной группы вида

?(x) > ? (x ),

где ?(x) — вектор-функции, образующие линейное пространство представления
группы C(1, 3). Явный вид этих преобразований можно получить с помощью ин-
тегрирования уравнений Ли [54]:
µ
xµ |?A =0 = xµ , (61)
?xµ /??A = ?A (x )xµ ,

? |?A =0 = ?, (62)
?? /??A = CA (x )? ,

где ?A — параметры преобразования.
Каждая из формул (61), (62) определяет систему обыкновенных дифференци-
альных уравнений с заданным начальным условием, т.е. задачу Коши, имеющую
единственное решение. Укажем это решение для случая, когда операторы QA
(60) совпадают с генераторами собственно конформных преобразований Kµ (41),
поскольку преобразования, порождаемые остальными генераторами конформной
группы, т.е. Pµ , Jµ? и D (41), хорошо известны.
250 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Теорема 3. Конечные преобразования, порождаемые генераторами Kµ (41),
где Sµ? — матрицы, реализующие произвольное представление алгебры O(1, 3)
(59), k — произвольное число, задаются формулами:
?(x) > ? (x ) = ?k exp {2iSµ0 ? x? arctg [aµ0 /(bµ0 xµ0 ? 1)]/aµ0 } ?(x), (63)
?
xµ > xµ = (xµ ? ?µµ0 bµ0 x? x? )/(1 ? 2xµ0 bµ0 + bµ0 bµ0 x? x? ), (64)
где
? = 1 ? 2bµ0 xµ0 + gµ0 µ0 b2 0 x? x? , x? x? ? xµ0 xµ0 , (65)
? aµ0 = bµ0
µ

индекс µ0 принимает одно фиксированное значение, bµ0 — параметр преобра-
зования.
Доказательство. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что преобра-
зования (63), (64) удовлетворяют уравнениям Ли (61), (62). Действительно, срав-
нивая генераторы Kµ (41) с (60), получаем:
Cµ (x) = ?2kxµ + 2iSµ? x? , ?µ (x) = 2xµ x? ? ?µ? x? x? .
?
(66)
Используя (66), уравнения Ли (61), (62) для случая собственно конформных пре-
образований перепишем в виде:
dxµ /dbµ0 = 2xµ x µ0 ? x? x ? ?µµ0 , xµ |bµ0 =0 = xµ , (67)

?? /?bµ0 = 2(iSµ0 ? x ? ? kxµ0 ), (68а)
? |bµ0 =0 = ?. (68б)
Легко видеть, что преобразование (64) удовлетворяет уравнениям (67). Убедимся,
что решение уравнений (68) задается формулой (63), Дифференцируя (63) по bµ0
и принимая во внимание легко проверяемые тождества
d
{2iSµ0 ? bµ0 x? arctg [aµ0 /(bµ0 xµ0 ? 1)]/aµ0 } = 2iSµ0 ? x? ,
dbµ0
dk
? = ?2k ?k xµ0 ,
? ?
dbµ0
получаем уравнение (68а). Положив в (63) bµ0 = 0, приходим к начальному усло-
вию (68б).
Таким образом, преобразования (63), (64) действительно удовлетворяют урав-
нениям и начальным условиям (67), (68) и в силу единственности решения задачи
Коши задают единственное решение уравнений Ли для конформных преобразова-
ний, порождаемых генераторами Kµ (41). Теорема доказана.
Используя тот факт, что генераторы Kµ образуют абелеву подалгебру, нетрудно
найти из (63), (64) общий вид собственно конформных преобразований
?(x) > ? (x ) = ?k {2iSµ? bµ x? arctg [a/(bµ xµ ? 1)]/a} ?(x), (69)
?
где
1/2
a = bµ bµ x? x? ? (b? b? )2 ? = 1 ? 2bµ xµ + b? b? xµ xµ , (70)
,
xµ задаются формулой (55д).
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 251

Формулы (55д), (70) дают явный вид конформных преобразований для прои-
звольного представления группы C(1, 3), порождаемого генераторами вида (41).
Если задаться каким-либо конкретным конечномерным представлением алгебры
(59), то экспоненту из (69) нетрудно представить в виде полинома по степеням

<< Предыдущая

стр. 58
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>