<< Предыдущая

стр. 59
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

матрицы Sµ? bµ x? . Для случая, когда матрицы Sµ? имеют вид (42), формула (69)
сводится к (56д). Если же матрицы Sµ? образуют представление D(0, 1/2) алгебры
O(1, 3):
Sab = ?abc ?c /2, S0a = i?a /2,
где ?a — матрицы Паули, k = 3/2, что соответствует представлению конформной
алгебры, реализующемуся на множестве решений ypaвнения Вейля, то форму-
ла (69) принимает вид
?(x) > ? (x ) = (1?2bµ xµ +b? b? xµ xµ )[bµ xµ ?1+?·(x0 b?b0 x+ix?b)]?(x),(71)
где ?(x) — двухкомпонентный вейлевский спинор. Для множеств решений без-
массового уравнения Дирака, которому соответствуют матрицы Sµ? = i[?µ , ?? ]/4,
где ?µ — матрицы Дирака, получаем из (69) конформные преобразования в следу-
ющем виде:
?(x) > ? (x ) = (1 ? 2bµ xµ + b? b? xµ xµ )(bµ xµ ? 1 + i?µ ?? bµ x? )?(x), (72)
где ?(x) — четырехкомпонентный биспинор Дирака.
Отметим, что формула (69) справедлива и в том случае, если k — не число, а
произвольная матрица, коммутирующая с Sµ? .
3. Негеометрическая симметрия уравнений Максвелла
Рассмотрим здесь скрытую (негеометрическую [24, 30]) симметрию уравнений
Максвелла, которую нельзя обнаружить в классическом подходе Ли–Овсянникова.
С помощью нелиевского метода исследования симметрийных свойств дифференци-
альных уравнений [24, 28, 30, 32] показано, что эти уравнения помимо конформ-
но инвариантности обладают дополнительной симметрией относительно 8-мерной
алгебры Ли, изоморфной алгебре U (2) ? U (2), а также относительно 23-мерной
алгебры A23 , включающей координаты P (1, 3) и U (2) ? U (2).
Инвариантность относительно алгебры A8 . Рассмотрим задачу о нахожде-
нии АИ уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме в клас-
се интегро-дифференциальных операторов. Будем исходить из формулировки этих
уравнений, задаваемой соотношениями (14)–(18). Следуя первому шагу алгоритма,
кратко изложенному во введении, перейдем от уравнений (16), (17) к уравнениям
в импульсном пространстве:
L1 ?(t, p) = 0, L1 = i?/?t + ?2 S · p, (73а)

L2 ?(t, p) = 0, L2 = p1 ? S · pS1 , (73б)

где ?(t, p) — фурье-образ вектор-функции (14):

?(t, p) = (2?)?3/2 d3 x ?(t, x) exp(?ip · x), (74)

p = (p1 , p2 , p3 ), p1 , p2 и p3 — независимые переменные.
252 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Из условия вещественности функции ?(t, x) получаем, что для ?(t, p) должно
выполняться:

?? (t, p) = ?(t, ?p). (75)

Условие инвариантности (39) в терминах операторов (73) принимает вид:
1 1 2 2
(76)
[L1 , QA ] = fA L1 + gA L2 , [L2 , QA ] = fA L1 + gA L2 ,

где L1 , L2 — операторы (73), QA — символы базисных элементов АИ исходной
системы (16), (17), fA , gA , fA , gA — матрицы размерности 6 ? 6, в общем случае
1 1 2 2

зависящие от pµ и xµ , µ = 0, 1, 2, 3.
Рассмотрим задачу описания всех возможных (с точностью до эквивалентно-
сти) операторов QA = QA (p), удовлетворяющих условиям (76). Потребуем, что-
бы эти операторы не выводили (74) из класса функций, удовлетворяющих усло-
вию (75). Это требование можно записать в виде

Q? (p = QA (?p). (77)
A

Теорема 4 [28, 31, 32]. Уравнения Максвелла (16), (17) инвариантны отно-
сительно 8-мерной алгебры Ли A8 , базисные элементы которой принадлежат
классу интегро-дифференциальных операторов. Символы этих базисных эле-
ментов имеют вид:
Q1 = ?3 S · pD/p, Q3 = ??1 S · pD/p, Q4 = ??1 D,
Q2 = i?2 ,
(78)
Q5 = S · p/p, Q6 = ??3 D, Q8 = i?2 S · p/p,
Q7 = I,

где

p2 p2 + p 2 p2 ? p 2 p2 1 ? S a + p 1 p2 p3 S a S b pc ?
2
D= ab ac bc
a=b=c

(79)
? ?1 ,
?pp1 p2 p3 1 ? (S · p)2 /p2

v
2 1/2
2 2
? = p4 p2 ? p2 + p4 p2 ? p2 + p4 p2 ? p2 2,
1 2 3 2 3 1 3 1 2


?a и Sa — матрицы (15). Операторы (78) удовлетворяют алгебре

[Qa , Qb ] = ?[Q3+a , Q3+b ] = ??abc Qc ,
(80)
[Q3+a , Qb ] = ?abc Q3+c , a, b, c = 1, 2, 3,
[Q7 , QA ] = [Q8 , QA ] = 0, A = 1, 2, . . . , 8,

которая изоморфна алгебре Ли группы U (2) ? U (2).
Доказательство. В справедливости теоремы проще всего убедиться непосред-
ственной проверкой. Для этого достаточно воспользоваться тождествами:

DS · p = ?S · pD, D(S · p)2 = Dp2 ,
D?a = ?a D,
(81)
[D, L2 ] = (D + pp1 p2 p3 ? ?1 )L2 ,
D2 S · p = S · p, L2 S · p = 0,
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 253

из которых вытекают соотношения (76), (80). Сами же тождества (81) несложно
проверить, записав матрицы D и S · p в явном виде [см. (15), (79)]:

D0 = (S · p)2 /p2 ? 1 pp1 p2 p3 ? ?1 ,
D = D0 + D1 ,
?
? S·p
D1 ? ? (82)
0 0
S·p=
D1 = , ,
? ?
S·p
? D1 ?
0 0

где ? — квадратные трехрядные нулевые матрицы:
0
? ?
f ? 2p2 p2 p1 p2 p2 p1 p2 p3
23 3 2
D1 = ? p1 p2 p2 p2 p2 p3 ? ? ?1 ,
f ? 2p2 p2
? 3 13 1
f ? 2p2 p2
p1 p2 p3 p2 p2 p3
2 1 12
? ? (83)
?p3
0 p2
S · p = i ? p3 ?p1 ? .
?
22 22 22
0
f = p1 p 2 + p 1 p 3 + p 2 p 3 ,
?p2 p1 0

Поскольку согласно (82), (83) S · pD0 = D0 S · p ? 0, проверка соотношений (81)
?
?
сводится к перемножению матриц D1 и S · p, D, S · p и L2 . Из (78), (82) видно
также, что операторы QA удовлетворяют (77). Теорема доказана.
Таким образом, найдена новая АИ уравнений Максвелла, базисными элемен-
тами которой являются операторы (78). Эти операторы определены на множестве
векторов ?(t, p), являющихся фурье-образами решений уравнений Максвелла (16),
?
(17). Каждой матрице QA (78) можно сопоставить интегральный оператор QA , за-
данный в пространстве функций ?(t, x) (14):

QA ?(t, x) = (2?)?3/2
? d3 p QA ?(t, p) exp(ip · x) =
(84)
?3
d p d x QA ?(t, x ) exp[ip · (x ? x )].
3 3
= (2?)

Интегральные операторы (84) удовлетворяют условию инвариантности уравне-
ний (16), (17) и образуют алгебру Ли, изоморфную U (2) ? U (2). В отличие от
базисных элементов конформной алгебры эти операторы порождают нелокальные
преобразования функции ?(t, x) (14), а значит, и векторов напряженности электри-
ческого п магнитного полей. Поэтому найденную здесь АИ уравнений Максвелла
в принципе нельзя получить в классическом подходе Ли–Овсянникова.
Подчеркнем, что симметрия относительно алгебры A8 не является специфиче-
ским свойством уравнений Максвелла в форме (16), (17), но ее можно установить
для любой формулировки этих уравнений. Справедливость такого утверждения
демонстрируется ниже, где найдены преобразования симметрии, порождаемые ал-
геброй A8 , непосредственно в терминах напряженностей электрического и магни-
тного полей.
Конечные преобразования векторов E и H, порождаемые негеометриче-
ской АИ. Приведем другое доказательство теоремы 4, из которого следует, что
найденная выше АИ уравнений Максвелла является в некотором смысле макси-
мально широкой. Основная идея его состоит в преобразовании уравнения (73)
к такой эквивалентной диагональной форме, для которой утверждения теоремы
станут очевидными.
254 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Операторы L1 и L2 из (73) не коммутируют друг с другом и поэтому не могут
быть диагонализованы одновременно. Чтобы обойти подобную трудность, рассмо-
трим вместо L2 оператор L3 :
L3 = L4 L2 ? p2 ? (S · p)2 , L4 = p1 + iS2 p3 ? iS3 p2 , (85)
коммутирующий с L1 . Из (73б), (85) вытекает: L2 ? p?2 L2 L3 . Откуда следует,
что если L3 удовлетворяет условиям
3 3
(86)
[L3 , QA ] = fA L1 + gA L3 ,
то для L2 имеют место соотношения (76), где
2 3
gA = [QA , L2 /p2 ]L4 + L2 gA L4 /p2 .
2 3
(87)
fA = L3 fA /p,
Если матрица L2 удовлетворяет (76), то для L3 (85) выполняется (86), а первое
из соотношений (76) можно переписать в виде
1
?1 (88)
[L1 , QA ] = fA L1 + gA L3 ,
?1 1
где gA = gA L2 /p. Следовательно, условия инвариантности (76) эквивалентны усло-
виям (86), (88), накладываемым на L1 (73а) и L3 (85).
Для диагонализации L1 и L3 воспользуемся оператором
(89)
W = U4 U3 U2 U1 ,
где
U1 = exp (?P+ DS · p?/2) = P? ? P+ DS · p,
? ?
U2 = exp {?i?abc Sa (pb ? pc ) arctg [?/(p1 + p2 + p3 )]/2p} ,
p
v (90)
U3 = exp i(S2 ? S1 )?/4 2 ,
v
U4 = 1 ? i(S1 S2 + S2 S1 + 1 ? S3 ) / 2,
2

1/2
p = p/p, p = (p1 ? p2 )2 + (p2 ? p3 )2 + (p3 ? p1 )2 , P± = (1 ? ?2 )/2.
? ?
В результате несложных выкладок получаем:
W L1 W † = L1 = i?/?t + ?0 p, W L3 W † = (1 ? ?2 )p2 , (91)
0

где ?0 — диагональная матрица,
?0 = ?i(S1 S2 + S2 S1 )S3 = diag (1, ?1, 0, 1, ?1, 0). (92)
После преобразования (91) условия инвариантности (86), (88) принимают вид:
1
?1 3 3
(93)
[L1 , QA ] = fA L1 + gA L3 , [L3 , QA ] = fA L1 + gA L3 .
Используя (91), (92), нетрудно найти общий вид матрицы QA (p), удовлетворя-
ющий условиям (93):
? ?
a00c0 0
?0 b 0 0 d ?
0
? ?
?0 0 0 0 0 ?
0
QA (p) = ? ? + F (p)L3 ,
? (94)
?e 0 0 f 0 ?
0
? ?
?0 g 0 0 h ?
0
00000 0
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 255

?
где F (p) — произвольная матрица размерности 6 ? 6, элементы которой зависят от
p; a, b, . . . , h — произвольные функции от p. При этом ввиду (73б), (85), (91), не
?
умаляя общности, можно положить F (p) = 0.
Таким образом, существует всего восемь линейно независимых матриц, удов-
летворяющих условиям (93). Выберем эти матрицы в виде:

Q7 = ?1, Q8 = ?i?0 , (95)
Qa = i?a , Q3+a = i?0 Qa ,

где матрицы ?a и ?0 задаются формулами (15), (92); 1 — единична матрица. С
помощью оператора (89) получаем явный вид этих матриц на множестве решений

<< Предыдущая

стр. 59
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>