<< Предыдущая

стр. 6
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

групповую классификацию граничных условий и взаимодействий.
Существует прямая связь между теорией представлений группы и ее подгруппо-
вой структурой. Эта связь используется в теории индуцированных представлений,
где различные подгруппы могут быть применены для индуцирования представле-
ний группы.
В последнее время возрос интерес к использованию пятимерных псевдоевкли-
довых пространств и соответствующих групп. В работе В.И. Фущича [2] предло-
жено в качестве группы симметрии физических систем использовать обобщенную
группу Пуанкаре P (1, 4). Неприводимому представлению группы P (1, 4) модно по-
ставить в соответствие физическую систему с переменной массой и переменным
спином. Помимо этого обобщенные группы P (1, 4), P (2, 3) и т.д. могут иметь пря-
мое отношение к задаче о расширении S-матрицы за массовую оболочку и для
описания частиц с внутренней структурой.
Нами изучена подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4),
т.е. найдены представители всех сопряженных классов непрерывных подалгебр
алгебры Ли этой группы. Сопряжение рассматривалось относительно группы вну-
тренних автоморфизмов.
Группа P (1, 4) представляет собой совокупность линейных неоднородных пре-
образований пятимерного пространства (x0 , x1 , x2 , x3 , x4 )
4
(1)
xµ = ?µ? x? + aµ , µ = 0, 1, 2, 3, 4,
?=0

Труды международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Звенигород, 28–30 но-
ября 1979 г., Москва, Наука, 1980, Т.1, С. 61–66.
24 В.М. Федорчук, В.И. Фущич

где ?µ? и aµ — числа, которые оставляют инвариантной следующую квадратичную
форму:

x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? x2 . (2)
0 1 2 3 4

Базисные элементы алгебры Ли группы P (1, 4) {Pµ , Mµ? = ?M?µ } (µ, ? = 0, 1, 2,
3, 4) удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Mµ? , P? ] = gµ? P? ? g?? Pµ , (3)
[Pµ , P? ] = 0,

[Mµ? , M?? ] = gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? ? gµ? M?? , (4)

где gµ? (µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4) — метрический тензор с компонентами g00 = ?g11 =
?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, gµ? = 0, если µ = ?.
Для удобства перейдем от Mµ? и Pµ к следующим линейным комбинациям:

L2 = ?M31 , Pa = M4a ? Ma0 ,
C = M40 , L1 = M32 , L3 = M21 ,
1
(P ? P4 ),
Ca = M4a + Ma0 (a = 1, 2, 3), X0 = Xk = Pk (k = 1, 2, 3), (5)
20
1
X4 = (P + P4 ).
20
Для решения задачи мы использовали метод, предложенный Ж. Патерой, П. Ви-
нтерницом и Г. Цассенхаузом [3]. Этот метод сводит задачу описания представи-
телей всех сопряженных классов непрерывных подалгебр алгебры Ли L конечной
размерности d(L) с нетривиальным абелевым идеалом N (сопряжение рассма-
тривается относительно некоторой группы автоморфизмов A) к нахождению всех
подалгебр идеала N и фактор-алгебры F = L/N относительно соответствующих
групп автоморфизмов.
В нашем случае: L — алгебра Ли группы P (1, 4), N — алгебра трансляций в
пятимерном пространстве, A — группа внутренних автоморфизмов рассматривае-
мой алгебры L.
Представители Fi всех сопряженных классов непрерывных подалгебр фактор-
алгебры F = L/N найдены в работах Ж. Патеры и др. [4, 5]. Основной результат
работы можно сформулировать в виде следующего утверждения.
Теорема. Алгебра Ли группы P (1, 4) содержит 278 представителей Pi,a со-
пряженных классов непрерывных расщепляющихся подалгебр, т.е. подалгебр,
которые могут быть записаны в виде
?
Fi ? F, Ni,a ? N (6)
Pi,a = Fi + Ni,a ,
?
и 378 представителей Pj,k сопряженных классов непрерывных нерасщепляю-
щихся подалгебр, т.е. подалгебр, для которых базис может быть выбран в
виде
? (7)
Bk = Bk cki Xi , drj Xj .
i j

В теореме cki и drj — константы (не равны нулю одновременно), которые
не могут быть преобразованы одновременно в нуль элементом из A; Bi (i =
О подгруппах обобщенной группы Пуанкаре 25

1, . . . , d(F )) и Xk (k = 1, . . . , d(N )) — базисы, выбранные в F и N соответствен-
но. Ni,a — представители сопряженных классов непрерывных подалгебр идеала
N (сопряжение рассматривается относительно нормализатора NorA Fi ).
Отметим, что нормализатор NorA Fi является подгруппой группы A, которая
оставляет подалгебру Fi инвариантной.
Доказательство этой теоремы ввиду его громоздкости неприводим. Полный
список всех подалгебр алгебры Ли группы P (1, 4) приведен в [6]. Здесь мы укажем
только на несколько подалгебр, которые могут иметь физические приложения.
Полученные результаты, в частности, дают возможность сделать вывод, что
группа P (1, 4) содержит в качестве подгруппы расширенную группу Галилея. Ее
алгебра Ли задается базисными элементами:
?L1 = M23 , ?L2 = ?M13 , ?L3 = M12 , Ga = ?(Ma4 + Ma0 ),
(8)
1
Pa (a = 1, 2, 3), H = ? (P4 ? P0 ), M = P0 + P4 ,
2
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям:
[Li , Lj ] = +?ijk Lk , [Li , Pj ] = +?ijk Pk , [Li , Gj ] = +?ijk Gk ,
[Gi , H] = Pi , [Gi , Pj ] = +?ij M, [Gi , Gj ] = 0,
(9)
[Li , H] = [Pi , Pj ] = [Pi , H] = 0,
[Li , M ] = [Gi , M ] = [Pi , M ] = [H, M ] = 0, (i, j = 1, 2, 3).
Кроме того, группа P (1, 4) содержит другие важные группы: P (1, 3), O(1, 3),
E(3), O(3) и т.д. Подгрупповая структура этих групп изучена раньше.
Таким образом, обобщенная группа Пуанкаре P (1, 4) естественным образом
объединяет группы движений нерелятивистской (G(3)) и релятивистской (P (1, 3)
квантовых механик. Из этого факта, в частности, следует, что произвольное урав-
нение, инвариантное относительно группы P (1, 4), инвариантно также относитель-
но группы Галилея G(3). При этом, конечно, такое уравнение описывает части-
цы с нефиксированной массой и дискретным спином, поскольку оператор массы
2
G?P
M = P0 + P4 имеет непрерывный спектр, а оператор спина S 2 = L +
M
имеет дискретный спектр. Это означает, что неприводимые представления груп-
пы P (1, 4) разлагаются в прямой интеграл (по массовой переменной) и в прямую
сумму (по спину) неприводимых представлений группы G(3).
В заключение выпишем несколько подалгебр высокой размерности (dim L ?
10) алгебры Ли группы P (1, 4). Имеется только одна 12-мерная подалгебра. Она
задается базисными элементами
(10)
G, L1 , L2 , L3 , P1 , P2 , P3 , X0 , X1 , X2 , X3 , X4 .
Они удовлетворяют соотношениям:
[G, Pi ] = ?Pi ,
[G, Li ] = 0, [Li , Lj ] = ?ijk Lk , [Pi , Pj ] = 0,
[Li , Pj ] = ?ijk Pk , [Pi , X0 ] = Xi , [G, X0 ] = X0 , [Li , X0 ] = 0,
[Pi , X4 ] = 0, (11)
[Pi , Xj ] = 2?ij X4 , [G, Xi ] = 0, [Li , Xj ] = ?ijk Xk ,
[G, X4 ] = ?X4 , [Li , X4 ] = 0, [X0 , Xj ] = 0, [X0 , X4 ] = 0,
[Xi , Xj ] = 0, [Xi , X4 ] = 0, (i, j = 1, 2, 3).
26 В.М. Федорчук, В.И. Фущич

Алгебра Ли группы P (1, 4) содержит 4 одиннадцатимерные подалгебры A11,l (l =
1, . . . , 4). Выпишем их базисные элементы и коммутационные соотношения между
ними. Подалгебра A11,1 задается базисными элементами
(12)
G, L1 , L2 , L3 , P1 , P2 , P3 , X1 , X2 , X3 , X4
и базисные элементы удовлетворяют соотношениям (11).
Подалгебра A11,2 задается базисными элементами
(13)
L1 , L2 , L3 , P1 + C1 , P2 + C2 , P3 + C3 , X0 , X1 , X2 , X3 , X4
и коммутационными соотношениями:
[Li , Lj ] = ?ijk Lk , [Li , Pj + Cj ] = ?ijk (Pk + Ck ), [Li , X0 ] = 0,
[Li , Xj ] = ?ijk Xk , [Li , X4 ] = 0, [Pi + Ci , X0 ] = Xi ,
[Pi + Ci , Xj ] = 2?ij (X4 ? X0 ), [Pi + Ci , X4 ] = ?Xi , [X0 , Xi ] = 0, (14)
[Xi , Xj ] = 0, [Xi , X4 ] = 0, [Pi + Ci , Pj + Cj ] = 4?ijk Lk ,
[X0 , X4 ] = 0, (i, j = 1, 2, 3).
Подалгебра A11,3 задается базисными элементами
L1 , L2 , L3 , Pi ? Ci (i = 1, 2, 3), X0 , X1 , X2 , X3 , X4 , (15)

[Li , Pj ? Cj ] = ?ijk (Pk ? Ck ),
[Li , Lj ] = ?ijk Lk , [Li , X0 ] = 0,
[Pi ? Ci , Pj ? Cj ] = ?4?ijk Lk ,
[Li , Xj ] = ?ijk Xk , [Li , X4 ] = 0,
(16)
[Pi ? Ci , X0 ] = Xi , [Pi ? Ci , Xj ] = 2?ij (X0 + X4 ), [X0 , Xi ] = 0,
[Pi ? Ci , X4 ] = Xi , [X0 , X4 ] = 0, [Xi , X4 ] = 0, (i, j = 1, 2, 3).

Базисные элементы подалгебры A11,4 и коммутационные соотношения между ними
даются формулами (8) и (9).
Алгебра Ли группы P (1, 4) содержит 4 десятимерные подалгебры A10,l (l =
1, . . . .4). Подалгебра A10,1 задается базисными элементами
(17)
L1 , L2 , L3 , P1 , P2 , P3 , X1 , X2 , X3 , X4 ,
удовлетворяющими соотношениям (11).
Базисные элементы
(18)
G, L3 , P1 , P2 , P3 , X0 , X1 , X2 , X3 , X4
подалгебры A10,2 удовлетворяют соотношениям (11).
Базисные элементы
L1 , L2 , L3 , P1 + C1 , P2 + C2 , P3 + C3 , X1 , X2 , X3 , X4 ? X0 (19)
подалгебры A10,3 удовлетворяют соотношениям (14). Подалгебра A10,4 задается
базисными элементами
L1 , L2 , L3 , P1 ? C1 , P2 ? C2 , P3 ? C3 , X1 , X2 , X3 , X4 + X0 (20)
Они удовлетворяют соотношениям (16).
О подгруппах обобщенной группы Пуанкаре 27

1. Винтерниц П., Фриш И., ЯФ, 1965, 1, 889.
2. Фущич В.И., ТМФ, 1970, 4, 360.
3. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 1975, 16, 1597.
4. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 1976, 17, 717.
5. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 1977, 18, 2259.
6. Федорчук В.М., Непрерывные подгруппы неоднородной группы де Ситтера P (1, 4), Препринт
78.18, Ин-т математики АН УССР, Киев, 1978.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 28–34.

Теоретико-алгебраический анализ
уравнений Ламе
В.И. ФУЩИЧ, В.В. НАКОНЕЧНЫЙ

1. Постановка задачи. Система уравнений Ламе
?2 µ
?p
L(?)u(t, x) ? ? grad div ? ?? u(t, x) = 0, (1)
?= ,
?t2 ?+µ
u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) — вектор смещения, ? — параметр, x ? R3 , — основной
математический объект классической теории упругости. В [1] поставлена задача
об отыскании алгебр инвариантности системы (1) с помощью нелиевского метода.
В настоящей работе эта задача решена, т.е. найдены 4-, 10- и 15-мерные алгебры
инвариантности уравнения Ламе. Базисные элементы этих алгебр инвариантнос-
ти — интегро-дифференциальные операторы. Это означает, что с помощью клас-
сического метода Ли [2] такие алгебры инвариантности не могут быть найдены.
В рамках лиевского метода, где базисные элементы алгебр Ли — операторы
первого порядка, максимальной алгеброй инвариантности уравнения (1) является
8-мерная алгебра [3]
? ?
X0 = , Xa = , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
? ? ? ?
? xb ? ua (2)
Jab = xa + ub ,
?xb ?xa ?ua ?ub
? ?
D = xa +t , a = 1, 2, 3.
xa ?t
Для решения поставленной задачи представим уравнение (1) в матричном виде

p2 u(t, x) = H(?a , sa )u(t, x), (3)
?0 p

H(?a , sa ) = (1 + ?)?2 ? (sa pa )2 , (4)
p p ?

где
? ?
pa = ?i x0 ? t,
p0 = i
? , ? , a = 1, 2, 3,
?x0 ?xa (5)
? ??.
2
p2 p2 p2
sa pa = s1 p1 + s2 p2 + s3 p3 ,
? ? ? ? p=
? ?1 + ?2 + ?3
Здесь и дальше буквами со шляпкой обозначены операторы. Там, где это не может
вызвать недоразумений, будем опускать шляпку. Матрицы sa , удовлетворяющие
коммутационным соотношениям алгебры Ли группы SU (2)

(6)
[sa , sb ]? = i?abc sc , a, b, c = 1, 2, 3,
Украинский математический журнал, 1980, 32, № 2, С. 267–272.
Теоретико-алгебраический анализ уравнений Ламе 29

имеют явную структуру
? ? ? ?
?1
00 0 00
?0 0 1 ?, ?0 0 0 ?,
s1 = ?i s2 = ?i
0 ?1 0 10 0
? ? (7)
01 0
s3 = ?i ? ?1 0 0 ?,
00 0

и реализуют трехмерное представление D(1) алгебры Ли (6). Вектор-столбец
u(t, x) имеет три компоненты: (u1 , u2 , u3 ).
Уравнение Ламе в форме (3), в отличие от (1), допускает различные обобщения.
Действительно, если в уравнении (3) матрицы sa реализуют любое представление
коммутационных соотношений (6), то получаем целое семейство уравнений типа
Ламе. И только в том случае, когда матрицы sa реализуют трехмерное представ-
ление (7), уравнение (3) совпадает с уравнением Ламе (1).

<< Предыдущая

стр. 6
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>