<< Предыдущая

стр. 60
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

исходной системы (73): QA = W † QA W , где QA — операторы (78). Теорема 4
доказана.
Приведенное доказательство допускает простое обобщение на случай уравне-
ний для безмассовых полей произвольного спина, например, при использовании
формулировки таких уравнений, предложенной в [47, 48].
Из полученных результатов следует, что уравнения Максвелла (73) инвариан-
тны относительно восьмипараметрических преобразований:

?(t, p) > ? (t, p) = exp(QA ?A )?(t, p), (96)

где ?A — произвольные вещественные параметры. Принимая во внимание соотно-
шения (73), формулу (96) можно переписать в виде

(cos ?A + QA sin ?A )?(t, p), A = 1, 2, 3, 8,
? (t, p) = (97)
(ch ?A + QA sh ?A )?(t, p), A = 4, 5, 6, 7.

Подставляя в (97) явный вид операторов QA (78) и используя для компонент
функции ?(t, p) обозначения
??????
?(t, p) = столбец (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ), (98)
? ?
где Ea и Ha — фурье-образы компонент векторов напряженности электрического
? ?
и магнитного полей, получаем закон преобразования для Ea и Ha в форме:
? ? ?
Ea > Ea cos ?1 + i?abc pb Dcd Ed sin ?1 ,
?
(99а)
? ? ?
Ha > Ha cos ?1 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?1 ;
?

? ? ?
Ea > Ea cos ?2 + Ha sin ?2 ,
(99б)
? ? ?
Ha > Ha cos ?2 ? Ea sin ?2 ;

? ? ?
Ea > Ea cos ?3 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?3 ,
?
(99в)
? ? ?
Ha > Ha cos ?3 ? i?abc pb Dcd Ed sin ?3 ;
?

? ? ?
Ea > Ea ch ?4 ? Dab Hb sh ?4 ,
(99г)
? ? ?
Ha > Ha ch ?4 ? Dab Eb sh ?4 ;

? ? ??
Ea > Ea ch ?5 + i?abc pb Ec sh ?5 ,
(99д)
? ? ??
Ha > Ha ch ?5 + i?abc pb Hc sh ?5 ;
256 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

? ? ?
Ea > Ea ch ?6 ? Dab Hb sh ?6 ,
(99е)
? ? ?
Ha > Ha ch ?6 + Dab Eb sh ?6 ;

? ? ? ?
Ha > Ha exp ?7 ; (99ж)
Ea = Ea exp ?7 ,

? ? ??
Ea > Ea cos ?8 + i?abc pb Hc sin ?8 ,
(99з)
? ? ??
Ha > Ha cos ?8 ? i?abc pb Ec sin ?8 .

Формулы (99б) задают преобразования Хевисайда–Лармора–Райнича [1–3]. Ос-
тальные соотношения (99), дополняющие преобразования (99б) до восьмипараме-
трической группы A8 , локально изоморфной U (2) ? U (2), соответствуют нелокаль-
ным (интегральным) преобразованиям векторов E(t, x) и H(t, x), которые имеют
следующий вид:

E(t, x) = (2?)?3/2 ?
d3 p E exp(ip · x),
(100)
H(t, x) = (2?)?3/2 ?
d3 p H exp(ip · x).

Преобразования (99а)–(99в), (99з) сохраняют билинейную форму

E= d3 x E 2 + H 2 , (101)

которая ассоциируется с энергией электромагнитного поля. Остальные преобра-
зования (99г)–(99ж) не сохраняют (101). Однако существует положительно нео-
пределенная билинейная форма, инвариантная относительно всех преобразований
(99), которая имеет вид

d3 p ?† (t, p)?2 D?2 (t, p) =
(?1 , ?2 ) = 1
(102)
= (2?)?3 d3 p d3 x d3 x ?† (t, x)?2 D?2 (t, x ) exp[ip · (x ? x )].

Таким образом, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме
помимо хорошо известной симметрии относительно конформной группы допол-
нительно инвариантны относительно восьмипараметрической группы интеграль-
ных преобразований (99). Преобразования (99) с точностью до замены ?b > i?b ,
b = 4, 5, 6, 7 совпадают с полученными в работах [28, 31, 32]. Отметим, что сим-
метрию уравнений (73) относительно преобразований (99) легко можно проверить
непосредственно.
Инвариантность относительно 23-мерной алгебры Ли. Мы показали выше,
что существует два набора операторов — {Pµ , Jµ? , D, Kµ } (41), (49а) и {QA } (78),
образующих АИ уравнений Максвелл. Однако, как нетрудно убедиться, операторы
(41), (49а) и (78) не образуют совместно замкнутой алгебры. Докажем здесь теоре-
му, устанавливающую симметрию уравнений Максвелла относительно 23-мерной
алгебры Ли, включающей подалгебры C(1, 3) и A8 . Такое объединение алгебр
C(1, 3) и A8 удается осуществить, если базисные элементы конформной алгебры
задать в классе интегральных операторов.
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 257

Теорема 5. Уравнения (73) инвариантны относительно 23-мерной алгебры Ли,
базисные элементы которой задаются формулами (78) и (103):

Jµ? = i(xµ p? ? x? pµ ),
Pµ = ipµ ,
(103)
D = i(xµ pµ ? i), Kµ = i(2xµ D ? x? x ? pµ ),

где xa = W † i ?pa W , x0 = t, W — оператор (89).
?

Доказательство. Утверждения теоремы становятся почти очевидными в представ-
лении, где операторы L1 (73а) и L3 (85) имеют диагональную форму (91), (92). В
таком представлении операторы (78) принимают вид (95), а для операторов (103)
получаются следующие выражения:

Jµ? = i(xµ p? ? x? pµ ),
Pµ = ipµ ,
(104)
Kµ = i(2xµ D ? x? x? pµ ),
D = i(xµ pµ + i),

где xµ = i ?pµ , Ba = W Ba W † , Ba произвольный оператор из (103). Прямой про-
?

веркой убеждаемся, что операторы L1 и L3 (91), (92) и генераторы (78), (104)
удовлетворяют условиям инвариантности (86), (88):

[L1 , Pµ ] = [L1 , Jab ] = [L1 , QA ] = 0,
[L1 , J0a ] = ?ipa p?2 L3 + ipa p?1 Q7 L1 , [L1 , D ] = iL1 ,
[L1 , K0 ] = ?2 [x0 + (x · p ? i)Q7 p?1 ]L1 ? (x · p ? i)p?1 L3 ,
[L1 , Ka ] = ?2 (xa + Q7 x0 pa p?1 )L1 ? x0 pa p?2 L3 ,
(105)
[L3 , Pµ ] = [L3 , Jab ] = [L3 , QA ] = 0,
[L3 , J0a ] = ?2pa p0 p?2 L3 , [L3 , D ] = ?2L3 ,
[L3 , K0 ] = ?2 2x0 ? (x · p + p · x)p0 p?2 L3 ,
[L3 , Ka ] = ?2 2xa + i2pa D p?1 ? (x · p + p · x)pa p?2 L3 .

Операторы (104) принадлежат алгебре C(1, 3), так как они удовлетворяют ком-
мутационным соотношениям (45). Кроме того, эти операторы коммутируют с ма-
трицами QA (95), которые, в свою очередь, образуют представление алгебры
A8 (80). Отсюда заключаем, то операторы (95), (104) образуют базис алгебры
C(1, 3) ? A8 . Теорема доказана.
Каждому оператору (78), (103), заданному в пространстве функций ?(t, x)
(74), можно сопоставить интегральное преобразование в пространстве H функций
?(t, x) (14):

?(t, x) > ? (t, x) = (2?)?3 d3 p d3 x exp(iG? ?? )?(t, x) exp[ip · (x ? x )],(106)

где G? — один из операторов (78), (103), ?? параметр преобразования, ? =
1, 2, . . . , 23. Преобразования (106) оставляют инвариантными уравнения Максвел-
ла (16), (17) и образуют представление группы C(1, 3) ? A8 .
Таким образом, получили 23-параметрическую группу симметрии уравнений
Максвелла для электромагнитного поля в вакууме, включающую подгруппы C(1, 3)
и A8 . Поскольку преобразования (106) нелокальны, соответствующую группу ин-
вариантности в принципе нельзя найти в подходе Ли–Овсянникова [11–14], в
258 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

котором инфинитезимальные операторы принадлежат классу дифференциальных
операторов первого порядка и порождают точечные преобразования.
Симметрия относительно преобразований, не изменяющих времени. Со
времени создания специальной теории относительности считалось, что преобразо-
вания Лоренца (55а)–(56в) — единственные преобразования симметрии уравнений
Максвелла, которые можно сопоставить переходу к новой инерциальной системе
отсчета. Поэтому сама постановка вопроса о существовании таких преобразований
решений уравнений Максвелла, которые образуют представление группы Пуанка-
ре, но не изменяют времени, может показаться довольно неожиданной. Однако на
самом деле такой вопрос вполне правомерен, и на него имеется положительный
ответ [16, 28, 30]. А именно, существуют преобразования вида:

t > t = t, x > x = f (x, t, ?1 , . . . , ?10 ), (107а)

?E ?H ? 2 E
E > E = g E, H, , , , . . . , ?1 , ?2 , . . . , ?10 ,
?xa ?xa ?xa ?xb
(107б)
?E ?H ? 2 E
H > H = h E, H, , , , . . . , ?1 , ?2 , . . . , ?10 ,
?xa ?xa ?xa ?xb

где ?a — вещественные параметры, реализующие представление группы P (1, 3) и
оставляющие инвариантность уравнения Максвелла.
В [15–17, 29] показано, что уравнение Шредингера–Клейна–Гордона–Фока и
другие релятивистские уравнения помимо инвариантности относительно преобра-
зований независимых переменных из группы Лоренца инвариантны также относи-
тельно преобразований вида (107a). Иными словами, все релятивистские уравне-
ния обладают двойственной симметрией [29].
Здесь рассмотрим формулировку уравнений Максвелла, задаваемую соотноше-
ниями (23) и (24). Симметрия уравнений (23) и (24) также имеет двойственный
характер, поскольку генераторы группы Пуанкаре (41), (496), (28) на множестве
решений этих уравнений можно представить также в виде:

P0 = H = ?? · p, Pa = pa = ?i?/?xa ,
(108)
? ?
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = tpa ? xa H + S0a ,
?
где ?a и Sµ? — матрицы (22), (28). Операторы (108), как и (41), (49в), (28),
удовлетворяют условиям инвариантности уравнений (22)–(24) и коммутационным
соотношениям (45а), т.е. образуют АИ уравнений Максвелла. Однако в отличие
от генераторов (41), (49в) операторы (108) коммутируют с t, т.е. порождают пре-
образования из группы Пуанкаре, не изменяющие времени.
Найдем в явном виде группу преобразований, порождаемую операторами
(108). Формально их можно записать в виде

? > ? = W ?, (109)
W = exp(i?A QA ),

где QA — генераторы (108), ?A — вещественные параметры, ? — вектор-функция
(23).
Ограничимся случаем, когда QA совпадают с генераторами J0a (вычисление
явного вида преобразований, порождаемых остальными генераторами Pµ и Jab ,
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 259

не представляет трудностей (ср. (56а), (56б)). Генераторы J0a , , задаваемые фор-
мулами (108), нельзя представить в виде суммы коммутирующих величин, одна
из которых — числовая матрица, а вторая выражается через дифференциальные
операторы первого порядка. Хотя оператор
(110)
W = exp(iJ0a ?a ), a = 1, 2, 3,
всегда может быть представлен в виде конечного ряда по степеням спиновых ма-
триц, вычисление этого ряда в явном виде представляет довольно сложную задачу.
Преобразуем оператор (110) к форме, не содержащей матриц под знаком экспо-
ненты. Воспользуемся тождеством
(111)
iJ0a ?a = A+ P+ + A? P? ,
где
P± = (1 ± H/p)/2, A± = i(tpa ? xa p + S0a )?a . (112)
Операторы (112) удовлетворяют соотношениям:
P± P ± = P± , P± P? = P? P± = 0, P± A? P? = 0,
(113)
A± P± A± P± = A2 P± ,
P? A± P± = 0, ±

используя которые, нетрудно получить следующее выражение для оператора (110):
exp(iJ0a ?a ) ? exp(A+ P+ + A? P? ) = exp(A+ P+ ) exp(A? P? ) =
12 12
A P+ + · · · A P? + · · · (114)
= 1 + A+ P+ + 1 + A? P? + =
2! ?
2! +
= [exp(A+ )P+ + P? ][exp(A? )P? + P+ ] = exp(A+ )P+ + exp(A? )P? .
Но вычисление экспонент от операторов A+ и A? (112) не составляет тру-
да, поскольку A± состоят из двух коммутирующих слагаемых, одно из которых
выражается через спиновые матрицы. Действительно:
exp(A± ) ? exp[i(tpa ? xa p + S0a )?a ] = exp[i(tpa ? xa p)] exp(iS0a ?a ), (115)
где последнюю экспоненту можно записать в виде конечной суммы по степеням
матриц S0a ?a :
exp(iS0a ?a ) ? N (?) = 1 + iS0a ?a sh ?/? + (S0a ?a )2 (1 ? ch ?)/?2 , (116)
1/2
2 2 2

<< Предыдущая

стр. 60
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>