<< Предыдущая

стр. 61
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где ? = ?1 + ?2 + ?3 .
Подставив (115), (116) в (114), получим
(117)
W = exp(iJ0a ?a ) = N (?)[exp(iB+ )P+ + exp(iB? )P? ],
где введены обозначения
B± ? (tpa ? xa p)?a .
Аналогично вычисляется обратный оператор
W ?1 = N (??)[exp(?iB+ )P+ + exp(?iB? )P? ]. (118)
260 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Формулы (116)–(118) задают искомое представление операторов W , которое не
содержит спиновых матриц под знаком экспоненты. Используя (116)–(118), не-
трудно найти в явном виде закон преобразования функции ?(t, x) в импульсном
пространстве

?(t, p) > ? (t, p) = W ?(t, p) = N (?)[?+ (t, p ) + ?? (t, p )], (119)

где
pa = pa ch ? ? ?a p sh ?/? + ?a ?b pb (ch ? ? 1)/?2 ,
(120)
pa = pa ch ? + ?a p sh ?/? + ?a ?b pb (ch ? ? 1)/?2 , ?± = P± ?.

Преобразованиям (119) соответствуют нелокальные (интегральные) преобразо-
вания функции (23):

?(t, x) > ? (t, x) = N (?)(2?)?3/2 d3 p exp(ip·x)[?+ (t, p )+?? (t, p )],(121)

здесь N (?), ?± (t, p), p и p задаются формулами (116) и (120). Преобразования
(121) совместно с (56а), (56б) образуют представление группы P (1, 3), но оставля-
ют время инвариантным, t = W tW + = t.
Нелиевская симметрия уравнений Максвелла в проводящей среде. Иссле-
дуем негеометрическую симметрию уравнений Максвелла в проводящей среде:
i?E/?t = ?p ? H + i?E, i?H/?t = p ? E,
(122)
p · E = p · H = 0,

где ? — коэффициент проводимости. Покажем, что уравнения (122), как и урав-
нения (12) для электромагнитного поля в вакууме, инвариантны относительно
алгебры A8 .
Используя обозначения (14), (15), запишем систему (122) в виде:
? ?
L1 ?(t, x) = 0, L1 = i?/?t + ?2 S · p + (i/2)(1 + ?3 )?, (123)
? ?
L2 ?(t, x) = 0, L2 = p1 ? S · pS1 . (124)

Найти АИ уравнений (123), (124) означает определить совокупность опера-
торов {QA }, образующих конечномерную алгебру Ли и удовлетворяющих усло-
виям инвариантности (39). Поскольку здесь будем искать АИ в классе интегро-
дифференциальных операторов, перейдем от (123) и (124) к эквивалентной системе
уравнений в импульсном представлении:
L1 ?(t, p) = 0, L1 = i?/?t + ?2 S · p + (i/2)(1 + ?3 )?,
(125)
L2 ?(t, p) = 0, L2 = p1 ? S · pS1 ,

здесь ?(t, p) — фурье-образ ?(t, x), pa — независимые переменные ?? < pa < ?.
Теорема 6. Уравнения (125) инвариантны относительно алгебры A8 . Ее бази-
сные элементы на множестве решений уравнений (125) задаются формулами:
Q1 = ?3 S · pD, Q2 = ihS · p/|h|,
? ? Q3 = ih?3 D/|h|,
(126)
Q3+a = ihQa /|h|, Q7 = h/|h|, Q8 = I,
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 261

где ?a , Sa , D — матрицы (6), (103), (104):
p = p/p, h = ?2 S · p + (i/2)?3 ?,
?
v
h = h2 = [(S · p)2 ? ?2 /4]1/2 = (127)
= (p2 ? ? 2 /4)1/2 (S · p)2 + (i/2)?[1 ? (S · p)2 ].
? ?
Доказательство. Подобно тому как это делалось выше [см. (85)–(88)], рассмо-
трим вместо (125) систему уравнений:
L1 ?(t, p) = 0,
(128)
L3 ?(t, p) = 0, L3 = 1 ? (S · p)2 ,
?
где L1 — оператор из (125).
Исследование симметрийных свойств системы (128) представляет более про-
стую задачу ввиду коммутативности операторов L1 и L3 . Вместе с тем, как можно
показать в полной аналогии с (85)–(88), АИ уравнений (125) и (128) совпадают.
Используя тождества (81) и принимая во внимание антикоммутативность ма-
триц Паули, нетрудно убедиться, что операторы (126) удовлетворяют условиям ин-
вариантности (86), ( 88) уравнений (128) и коммутационным соотношениям (80),
т.е. образуют АИ A8 системы (128), а значит, и системы (125). Теорема доказана.
Итак, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в проводящей среде
имеют такую же негеометрическую АИ, как и соответствующие уравнения в отсут-
ствие токов и зарядов. Из теоремы 6 следует также инвариантность системы (125)
относительно группы преобразований вида (96), где QA — оператор (126).
В заключение раздела отметим, что помимо наших работ [15–25] негеометри-
ческий подход к исследованию симметрии уравнений Максвелла использовался
также в [55, 56]. Этот подход может оказаться эффективным и при исследова-
нии групповых свойств новой формулировки электродинамики, предложенной в
[57, 58].
4. Симметрия уравнений Дирака и КДП
Этот раздел в основном посвящен исследованию симметрии уравнения Дирака
L?(t, x) ? (?µ pµ ? m)?(t, x) = 0, (129)
где ?(t, x) — четырехкомпонентная волновая функция, ?µ — матрицы размерности
4 ? 4, удовлетворяющие алгебре
(130)
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? .
Следуя [15–18, 19, 27, 31], установим АИ уравнения (129) в классе дифферен-
циальных и интегро-дифференциальных операторов. Отдельно будет рассмотрен
случай m = 0 и показано, что симметрия уравнения Дирака для безмассовых
частиц определяется той же самой 23-мерной алгеброй Ли, что и симметрия урав-
нения Максвелла.
Будет исследована также симметрия уравнения Кеммера–Дэффина–Петье.
АИ уравнения Дирака в классе дифференциальных операторов. Хорошо
известно, что уравнение (129) инвариантно относительно группы Пуанкаре. Гене-
раторы этой группы на множестве решений уравнения (129) имеют вид:
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (131)
P µ = pµ ,
262 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где Sµ? = (i/4)(?µ ?? ? ?? ?µ ). Операторы (131) коммутируют с L из (129) и удовле-
творяют коммутационным соотношениям (45а), т.е. образуют АИ уравнения (129).
В [14, 59] показано, что алгебра Ли, натянутая на базисные элементы (131), явля-
ется максимальной АИ уравнения Дирака в классе дифференциальных операторов
первого порядка.
Однако инвариантность относительно алгебры (131) не исчерпывает всех
свойств симметрии уравнения Дирака. Если расширить класс операторов, кото-
рому принадлежит АИ, то можно доказать следующее утверждение [18, 19].
Теорема 7. Уравнение Дирака (129) инвариантно относительно алгебры A8 ,
заданной над полем вещественных чисел. Базисные элементы этой алгебры на
множестве решений уравнения (129) задаются формулами:

?µ? = (i/2)[?µ , ?? ] + (i/m)(1 ? i?5 )(?µ p? ? ?? pµ ),
(132)
?1 = ?5 ? (i/m)(1 ? i?5 )?µ pµ ,
?0 = 1,

где ?5 = ?0 ?1 ?2 ?3 , 1 — единичная матрица.
Доказательство. В справедливости теоремы проще всего убедиться прямой про-
веркой. Используя соотношения (130), получаем:

[?µ? , L] = (i/m)(?µ p? ? ?? pµ )L, [?0 , L] = 0,
[?1 , L] = ?(2i/m)?5 ?µ pµ L, (133)
[?1 , ?2 ] = [?? , ?µ? ] = 0,
[?µ? , ??? ] = 2i(gµ? ??? + g?? ?µ? ? gµ? ??? ? g?? ?µ? ),

откуда видно, что операторы (132) удовлетворяют условию инвариантности урав-
нения (129) и образуют 8-мерную алгебру Ли, изоморфную алгебре A8 (80). Этот
изоморфизм устанавливается следующими соотношениями:

?ab - ?abc Qc , ?0a - Q3+a , ?0 - Q7 , ?1 - Q8 .

Над полем вещественных чисел все элементы алгебры A8 , задаваемые форму-
лами (132), линейно независимы. Чтобы убедиться в этом, достаточно подвергнуть
операторы (132) преобразованию

?µ? > ?µ? = V ?µ? V ?1 = (i/2)[?µ , ?? ],
(134)
?0 > ?0 = V ?0 V ?1 = 1, ?1 > ?1 = V ?1 V ?1 = ?5 ,
где

V = exp[?(1 ? i?5 )?µ pµ /2m] = 1 ? (1 ? i?5 )?µ pµ /2m. (135)

Теорема доказана.
Отметим, что формулы (132) не задают базис алгебры Ли над полем компле-
ксных чисел, поскольку

(?ab ? i?abc ?0c )? = (?1 ? i?0 )? = 0, (136)

где ? — произвольное решение уравнения (129).
Таким образом, уравнение Дирака обладает такой же негеометрической АИ,
как и система уравнений Максвелла (12). Хотя операторы (132) включают прои-
зводные по независимым переменным не выше первого порядка, они не порождают
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 263

локальных преобразований волновой функции ?(t, x). Если использовать обозна-
чения Овсянникова [11, 12], то генераторы (132) можно классифицировать как
дифференциальные операторы второго порядка, включающие производные вида
? 2 /?xµ ??? .
Из доказанной теоремы следует, что уравнение Дирака инвариантно относи-
тельно восьмипараметрической группы преобразований:
? > (cos ?ab ? ?a ?b sin ?ab )?+
+(1/m) sin ?ab (1 ? i?5 )(?a ??/?xb ? ?b ??/?xa ),
? > (ch ?0a ? ?0 ?a sh ?0a )?+
(137)
+(1/m) sh ?0a (1 ? i?5 )(?0 ??/?xa ? ?a ??/?x0 ),
? > (ch ?1 + i?5 sh ?1 )? + (1/m) sh ?1 (1 ? i?5 )?µ ??/?xµ ,
? > exp(i?0 )?,
где ?0 , ?1 , ?µ? — произвольные вещественные параметры. Преобразования (137)
унитарны в индефинитной метрике

d3 x ?† ?0 ?. (138)
(?1 , ?2 ) =

Итак, уравнение Дирака помимо инвариантности относительно группы Пуан-
каре обладает дополнительной симметрией относительно преобразований (137),
образующих представление группы U (2) ? U (2). Принципиальное отличие пре-
образований (137) от преобразований Лоренца для биспинора ? состоит в том,
что преобразованная функция зависит не только от ? (и параметров преобразова-
ния), но также от производных ??/?xµ .
Возникает вопрос, нельзя ли объединить группу симметрии уравнения Дира-
ка, задаваемую преобразованиями (137), и группу Пуанкаре? Оказывается, такое
объединение возможно, поскольку операторы (131) и (132) образуют 18-мерную
алгебру Ли.
Теорема 8. Уравнение Дирака (129) инвариантно относительно 18-мерной ал-
гебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами (131), (132). Эти
операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям (45а), (133) и при-
веденным ниже соотношениям (139)
[Pµ , ??? ] = [Pµ , ?? ] = [Jµ? , ?? ] = 0,
(139)
[Jµ? , ??? ] = i(gµ? ??? + g?? ?µ? ? gµ? ??? ? g?? ?µ? ).
Доказательство. Оно сводится к проверке справедливости соотношений (139),
которую несложно осуществить, используя соотношения (130).
Из доказанного выше заключаем, что уравнение Дирака инвариантно относи-
тельно 18-параметрической группы преобразований вида (11). Эта группа изомор-
фна группе P (1, 3) ? U (2) ? U (2) и включает неоднородные преобразования Ло-
ренца для биспинора ?(x), а также преобразования, явный вид которых приведен
в (137).
АИ уравнения Дирака в классе интегро-дифференциальных операторов.
Покажем теперь, что в классе нелокальных (интегро-дифференциальных) преобра-
зований симметрия уравнения Дирака еще выше. А именно, справедливо следую-
щее утверждение [16, 18, 19].
264 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Теорема 9. Уравнение Дирака (129) инвариантно относительно алгебры за-
данной над полем комплексных чисел. Базисные элементы АИ принадлежат
классу интегро-дифференциальных операторов и задаются формулами:
?
?µ? = (i/2)[?µ , ?? ] + (?µ p? ? ?? pµ )(1 ? i?5 H/E)/2m,
(140)
? ?
?0 = 1, ?1 = H/E,
где
v
H2 = p 2 + m2 . (141)
H = ?0 ?a pa + ?0 m, E=
Вместо доказательства приведем явный вид оператора, диагонализующего урав-
нение (129) и одновременно преобразующего операторы (140) к представлению, в
котором они не зависят от pa :
V = exp[iS0a pa arth (p/E)/p] ? exp[?a pa arctg (p/m)/p]. (142)
С помощью оператора (142) получаем
?ab = V ?ab V ?1 = (i/2)?a ?b , ?1 = V ?1 V ?1 = ?0 ,
? ? ? ?
(143)
?0a = V ?0a V ?1 = (i/2)?4 ?a , L = V ?0 LV ?1 = i(?/?t) ? ?0 E,
? ? ?

где L — оператор Дирака (129). В представлении (143) утверждения теоремы
становятся очевидными.
Операторы (143) в отличие от (132) задают базис алгебры Ли над полем ком-
плексных чисел. Поэтому из теоремы 9 вытекает инвариантность уравнения (129)
относительно 16-параметрической группы Ли, включающей преобразования вида:
?? ?? (144)
? = exp(i?µ? ?µ? )?, ? = exp(i?? ?? )?,
? ?
1 2 1 2 1 2 1 2
где ?µ? = ?µ? + i?µ? , ?? = ?? + i?? , ? = 1, 2, ?µ? , ?µ? , ?? , ?? — вещественные
параметры. Подставляя (140) в (144) и принимая во внимание тот факт, что ква-
драт любого из операторов (140) совпадает с единичным оператором, получаем
преобразования (144) в следующей форме:
? ?
? > ? = (cos ?ab ? ?a ?b sin ?ab )?+
?
(1 ? i??5 ) sin ?ab (?a ??? /?xb ? ?a ??? /?xa )/m,
+
?
? ?
? > ? = (ch ?0b ? ?0 ?b sh ?0b )?+ (145)
?
(1 ? i??5 ) sh ?0b (?0 ??? /?xb ? ?b ??? /?x0 )/m,
+
?
? ? ?
?>? ?>?
? sh ?1 ?? ,
= ch ?1 ? + = exp(i?0 )?,
?

<< Предыдущая

стр. 61
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>