<< Предыдущая

стр. 62
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


? ?
где ?? = (1/2)(1 ? ?H/E)?, ? = ±1, ?µ? , ?? — комплексные параметры. Преобра-
зования (145) образуют группу локально изоморфную группе GL(2, C) ? GL(2, C).
Операторы (140) в отличие от (132) не образуют замкнутой алгебры совместно
с генераторами группы Пуанкаре (131). Однако генераторы (131) на множестве
решений уравнения (129) можно представить также в форме:
Pa = pa = ?i?/?xa ,
P0 = H,
(146)
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = tpa ? [xa , H]+ /2.
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 265

Операторы (140) и (146) удовлетворяют коммутационным соотношениям (45а),
(133), (139) и, следовательно, задают базис алгебры P (1, 3) ? U (2) ? U (2).
Симметрия восьмикомпонентного уравнения Дирака. Рассмотрим восьми-
компонентное уравнение Дирака

?? ?
L?(t, x) = 0, L = ?µ pµ ? m, (147)

где ?µ (µ = 0, 1, 2, 3) — матрицы размерности 8 ? 8, удовлетворяющие совместно с
?4 , ?5 , ?6 алгебре Клиффорда.
?
Выбирая ?µ и ? в виде:

?µ 0 ?
?c = ?2 ?? ,
? (148)
?µ = , ?= ,
?c
0 ?µ

здесь ?µ — четырехрядные матрицы Дирака, ? — четырехкомпонентная волно-
вая функция, получаем из (147) систему уравнений, совпадающую с уравнением
Дирака (129) и уравнением, сопряженным (129). В общем же случае, когда ?µ
— произвольные матрицы размерности 8 ? 8, удовлетворяющие алгебре Клиффор-
да, уравнение (147) допускает самую различную интерпретацию, в том числе как
уравнение движения частиц со спином 1 [45, 47, 48] и 3/2 [60].
В результате увеличения числа компонент волновой функции уравнение (147)
обладает более высокой симметрией, чем уравнение Дирака (129). Помимо почти
очевидной инвариантности относительно группы Пуанкаре, генераторы которой
задаются формулами (131), где Sµ? = (i/4)[?µ , ?? ], уравнение (147) имеет скрытую
негеометрическую симметрию, описываемую следующей теоремой.
Теорема 10. Восьмикомпонентное уравнение Дирака (147) инвариантно отно-
сительно 16-мерной алгебры Ли, заданной над полем комплексных чисел. Бази-
сные элементы этой алгебры принадлежат классу дифференциальных опера-
торов и задаются формулами:

?nl = i[?n , ?l ]/2 + (1 + i?6 )(?n pl ? ?l pn )/m,
(149)
?0 = 1, l, n = 0, 1, . . . , 5.

Доказательство повторяет почти дословно доказательство теоремы 7. Подчер-
кнем, что по определению

??
?
p3+a ?(t, x) ? ?i ?(t, x) ? 0,
?x3+a

поэтому часть генераторов (149), у которых l и n > 3, на множестве функций
?(t, x) сводится к числовым матрицам.
Генераторы ?mn и ?0 удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[?mn , ?m n ] = 2i(gmn ?nm + gnm ?mn ? gmm ?nn ? gnn ?mm ),
(150)
[?0 , ?mn ] = 0.

Алгебра (150) изоморфна алгебре O(1, 5) ? T1 ? GL(4), где T1 — одномерная
подалгебра, реализуемая единичной матрицей.
266 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Операторы (149) образуют замкнутую алгебру совместно с генераторами гру-
ппы Пуанкаре, поскольку выполняется:
[Pµ , ?mn ] = 0, [Jµ? , ?m n ] = 0,
[Jµ? , ?m ? ] = i(gµ? ?m ? ? g?? ?m µ ), (151)
[Jµ? , ??? ] = i(gµ? ??? + g?? ?µ? ? gµ? ??? ? g?? ?µ? ),
где m, n = 0, 1, . . . , 6; 3 < m , n ? 6; µ, ?, ?, ? ? 3. Отсюда следует, в частности,
что уравнение (147) инвариантно относительно 26-мерной группы преобразований,
включающей неоднородную группу Лоренца и преобразования вида:
? ?
? > ? = (cos ?kl ? ?k ?l sin ?kl )?+
+i(1 + i?6 )(?k ??/?xl ? ?l ??/?xk ) sin ?kl /m, k, l = 0,
? ?
? > ? = (ch ?0k ? ?0 ?k sh ?0k )?+ (152)
+i(1 + i?6 )(?0 ??/?xk ? ?k ??/?x0 ) sh ?0k /m,
? ?
? > ? = exp(i?0 )?,
где ?kl , ?0 , ?0k — произвольные параметры. При k, l > 3 формулы (152) задают
матричные преобразования функции ?(t, x).
В полной аналогии с изложенным в предыдущем пункте можно показать, что
уравнение (147) инвариантно относительно 42-мерной алгебры Ли, изоморфной
P (1, 3) ? GL(4, C) ? GL(4, C). Базисные элементы этой алгебры принадлежат
классу интегро-дифференциальных операторов и задаются формулами (131), где
Sµ? = i[?µ , ?? ]/4, и приведенными ниже формулами

?kl = i[?k , ?l ]/2 + (?k pl ? ?l pk )(1 + i?6 H/E)/m,
(153)
?5+k 5+l = ?kl ?1 , ?0 = 1, ?0 = H/E,
где H = ?0 ?a pa + ?0 m, k, l = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Симметрия уравнения Дирака для безмассовой частицы. Рассмотрим те-
перь уравнение Дирака в том особом случае, когда параметр m, характеризующий
массу частицы, равен нулю.
Хорошо известно, что уравнение Дирака при m = 0 инвариантно относительно
16-мерной конформной алгебры. Здесь покажем, что симметрия этого уравнения
выше. Если расширить класс операторов, которому принадлежат базисные элемен-
ты АИ, включив в него интегро-дифференциальные операторы, то можно доказать
следующее утверждение.
Теорема 11 [31]. Уравнение Дирака (129) при m = 0 инвариантно относитель-
но 23-мерной алгебры Ли, изоморфной алгебре C(1, 3) ? A8 . Базисные элементы
этой АИ принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов и зада-
ются следующими формулами:
Pa = pa = ?i?/?xa , Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
P0 = p0 = i?/?t,
?
J0a = x0 pa ? xa p0 + iH(1 ? i?5 )?a ?b pb /2p2 + (1/2)?0a ,
D = xµ pµ + i, (154)
Kµ = ?x? x? + Jab Sab p?2 + p?2 pµ + 2[xµ + (1 ? ?µ0 )(1 ? ?0 )Sµb pb p?1 ]D,
? ? ?
?0a = ?4 (pa + ?0 Sab pb )/p, ?0 = 1, ?1 = iH/p, ?ab = i?1 ?abc ?0c ,
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 267

где
v 1/2
p = H 2 = p2 + p2 + p2
H = ?0 ?a pa , .
1 2 3

Приведем схему доказательства. С помощью преобразования

QA > QA = W QA W ?1 , L > L = W LW ?1 ,
? ? ? > ? = W ?,

где QA — произвольный генератор из множества, заданного формулами (154):

W = W ?1 = [1 + ?0 + (1 ? ?0 )?abc Sab pc ],
?
(155)
?
L = ?0 L = i?/?t ? H, pc = pc /p,
?

приводим уравнение (129) (при m = 0) и операторы (154) к следующей форме:

L = i?/?t ? i?5 p,
L ? = 0, Pµ = P µ ,
(156)
J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a ,
Jab = Jab ,

Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ ,
D = D,
(157)
? ? ?
?µ? = 2Sµ? = i[?µ , ?? ]/2, ?0 = 1, ?1 = ?5 .

Операторы (157) удовлетворяют коммутационным соотношениям (45а), (133),
(151) и условиям инвариантности уравнения (156):

[L , Pµ ] = [L , Jµ? ] = [L , ?µ? ] = [L , ?? ] = 0,
[L , K0 ] = 2i[x0 + (xa pa ? i)i?5 p?1 ]L ,
(158)
[L , Ka ] = 2i(xa + ix0 ?5 pa /p)L ,
[L , D ] = iL , [L , J0a ] = ?5 pa L .
?

Отсюда заключаем, что операторы (154) образуют АИ уравнения (129) с m = 0,
изоморфную C(1, 3) ? A8 .
Таким образом, уравнение Дирака для безмассовой частицы инвариантно отно-
сительно 23-мерной алгебры Ли, включающей подалгебры C(1, 3) и A8 . Такой же
симметрией, как было показано выше, обладают уравнения Максвелла (12). Мо-
жно показать (например, используя метод, предложенный в [47, 48]), что указан-
ной симметрией обладают все релятивистские уравнения для безмассовых полей,
инвариантные относительно преобразований P , T и C.
Симметрия уравнения Кеммера–Дэффина–Петье. Рассмотрим теперь урав-
нение Кеммера–Дэффина–Петье

(?µ pµ ? m)?(t, x) = 0, (159)

где ? — десятикомпонентная волновая функция, ?µ — матрицы размерности 10 ?
10, удовлетворяющие алгебре:

(160)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = i(gµ? ?? + g?? ?µ ).

Хорошо известно, что уравнение (159) инвариантно относительно группы Пу-
анкаре. Генераторы этой группы на множестве решений сравнения (159) имеют
вид, задаваемый формулами (131), где Sµ? = i(?µ ?? ? ?? ?µ ). Оказывается, что
268 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

уравнение (159) обладает также скрытой (негеометрической) симметрией, причем
более широкой, чем уравнение Дирака.
Теорема 12. Уравнение КДП (159) инвариантно относительно 8-мерной алге-
бры Ли, заданной над полем вещественных чисел. Базисные элементы этой
алгебры принадлежат классу дифференциальных операторов и задаются фор-
мулами:
? Aa = 2/3 ? Cbc ,
Aa = Cad Cdb , Aa = ?adc C0b Cdc /2, a = b, 2
a
b b
?a
Aa = ?adc C0a Cdc /6 ? C0a Cbc , (161)
(a, b, c) — цыкл (1, 2, 3),
?
A0 = 1, A0 = ?abc C0a Cbc /4, a, b, c, d = 1, 2, 3,
где
Cµ? = Sµ? + (aµ p? ? a? pµ )/m, Sµ? = i[?µ , ?? ], aµ = S4µ + iS5µ ,
(162)
S4µ = i?µ , S5µ = i[?5 , ?µ ], ?5 = ?µ??? ?µ ?? ?? ?? /4!.
Доказательство. Используя тот факт, что матрицы ?µ , ?5 удовлетворяют алгебре
КДП (160), а матрицы Skl (k, l = 0, 1, . . . , 5) — алгебре O(1, 5), получаем
fµ? = i(L + 2m)(?µ p? ? ?? pµ )/m2 .
1 1
(163)
[Cµ? , L1 ] = fµ? L,
? ?
Из (163) заключаем, что операторы Cµ? (а следовательно, и Ab , Ab , A0 , A0
a a
(161)) удовлетворяют условию инвариантности уравнения (159).
Операторы (161) подчиняются коммутационным соотношениям:
? ? ?? ?
[A0 , Aa ] = [A0 , Aa ] = [A0 , Aa ] = [A0 , Aa ] = [A0 , A0 ] = 0,
b b b b
(164)
?a ?c ?c ?
[Ab , Ad ] = ?[Ab , Ad ] = if kl Al , [Ab , Ad ] = if kl Al ,
a c a
abcd k abcd k
kl
где a, b, c, d, k, l = 1, 2, 3; fabcd — структурные константы группы SU (3) в базисе
Окубо.
Соотношения (164) можно проверить непосредственно. Проще всего такая про-
верка осуществляется с помощью предварительного преобразования ?n > V ?n V ?1 ,
где V = exp[iaµ pµ /m], при этом Cµ? > Cµ? = V Cµ? V ?1 = i[?µ , ?? ]. Теорема до-
казана.
Итак, помимо симметрии относительно алгебры P (1, 3) уравнение КДП (159)
инвариантно также относительно 18-мерной алгебры Ли, базисные элементы ко-
торой заданы формулами (161). Отсюда следует, что уравнение КДП инвариантно
относительно преобразований вида:
? > ? = exp(iAb ?a )?, ? > ? = exp(iA0 ?0 )?,
b
a
(165)
?a ?b ??
? > ? = exp(iAb ?a )?, ? > ?IV = exp(iA0 ?0 )?,
b ?b ?
где ?a , ?a , ?0 , ?0 — вещественные параметры. Согласно (164) преобразования (165)
образуют 18-параметрическую группу Ли, локально изоморфную U (3) ? U (3).
Операторы (164) образуют совместно с генераторами группы Пуанкаре зам-
кнутую 28-мерную алгебру Ли. Это следует из соотношений
[Jµ? , C?? ] = i(gµ? C?? + g?? Cµ? ? gµ? C?? ? g?? Cµ? ). (166)
[Pµ , C?? ] = 0,
Таким образом, уравнение КДП инвариантно относительно 28-мерной группы
Ли, включающей неоднородные преобразования Лоренца и преобразования (165).
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 269

Преобразования (165) можно легко найти в явном виде, поскольку соответству-
?a ?b ??
ющие экспоненты сводятся к полиномам от (Ab ?a )n , (Ab ?a )n , (A0 ?0 )n , (A0 ?0 )n ,
b
a
n = 0, 1, 2:
exp(iAb ?a ) = 1 + (cos ?a ? 1)(Ab )2 + i sin(?a )Ab ,
b b b
a a a
?a ?b ?b ?b ?
?a
exp(iAb ?a ) = 1 + (ch ?a ? 1)(Ab )2 + sh (?a )Ab , (167)
a

<< Предыдущая

стр. 62
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>