<< Предыдущая

стр. 63
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ? ??
?
exp(iA0 ?0 ) = 1 + (ch ?0 ? 1)A2 + sh (?0 )A0 .
exp(iA0 ?0 ) = exp(i?0 ), 0

Нетрудно убедиться, что общее преобразование функции ?(x), включающее
преобразования Лоренца и (165), имеет вид:
??(x)
?(x) > ? (x ) = A?(x) + B?(x ) + Cµ +
?xµ
(168)
? 2 ?(x) ? 3 ?(x) ? 4 ?(x)
+Dµ? + Eµ?? + Fµ??? ,
?xµ ?x? ?xµ ?x? ?x? ?xµ ?x? ?x? ?x?
где A, B, Cµ , Dµ? , Eµ?? , Fµ??? — числовые матрицы.
Негеометрическая симметрия уравнений Дирака и КДП для частиц, взаи-
модействующих с внешним полем. До сих пор в этой главе исследовалась не-
геометрическая симметрия уравнений Дирака и КДП для невзаимодействующих
частиц. Можно показать, что введение минимального взаимодействия в общем
случае приводит к сужению негеометрической симметрии уравнений движения.
Однако для некоторых классов внешних полей такая симметрия сохраняется. Кро-
ме того, негеометрической симметрией обладают уравнения, описывающие ано-
мальные взаимодействия типа Паули.
Здесь приведем без доказательства некоторые из результатов, полученных в
[25, 27], относящихся к симметрии уравнений движения для взаимодействующих
частиц.
Теорема 13. Уравнение Дирака с взаимодействием типа Паули:
L = ?µ ? µ + (i/4m)(1 ? i?5 )?µ ?? Fµ? + m, (169)
L? = 0,
где ?µ = pµ ? eAµ , Fµ? = ?i[?µ , ?? ], Aµ — вектор-потенциал электромагни-
тного поля, инвариантно относительно алгебры A8 . Явный вид базисных эле-
ментов этой алгебры можно получить из (132) с помощью замены pµ > ?µ .
Итак, уравнение (169) обладает такой же негеометрической симметрией, как
уравнение Дирака для невзаимодействующей частицы (129).
Теорема 14. Уравнение Дирака для частицы в однородном магнитном поле:
? ? (170)
?0 ? = H?, H = ?0 ?a ?a + ?0 m,
где
?1 = p1 ? eA1 (x1 , x2 ), ?2 = p2 ? eA2 (x1 , x2 ),
?0 = p0 , ?3 = p3 ,
инвариантно относительно алгебры A8 . Ее базисные элементы задаются сле-
дующими интегро-дифференциальными операторами:
?12 = i?3 ?0 ?a ?a /|?0 ?a ?a |, ?31 = i?5 (?3 m + p3 )/(p2 + m2 )1/2 ,
3
(171)
?32 = i?12 ?31 , ?0a = i?abc ?bc H/2|H|, ?0 = 1, ?1 = iH/|H|.
270 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Отметим, что аналогичный результат справедлив для уравнения Дирака, опи-
сывающего движение частицы в постоянном электрическом поле.
Рассмотрим теперь обобщенное уравнение КДП, описывающее движение ча-
стицы со спином 1, зарядом e и аномальным моментом q в однородном магнитном
поле H = (0, 0, H):
[?µ ? µ + m(eq/4m)Sµ? F µ? ]? = 0, (172)
где
?1 = p1 ? eHx2 , Sµ? F µ? = 2S12 H.
?0 = p 0 , ?2 = p2 , ?3 = p3 ,
Теорема 15. Уравнение (172) имеет шесть линейно-независимых интегралов
движения, связанных с негеометрической симметрией. При q = 1 уравнение
(172) инвариантно относительно 10-мерной алгебры Ли, включающей подалге-
бру O(4).
Явный вид базисных элементов, перечисленных в теореме АИ, не будем при-
водить здесь из-за их громоздкости (см. [25, 27]).
5. Законы сохранения
Хорошо известно, что из симметрии уравнений Максвелла относительно груп-
пы Пуанкаре следует существование некоторых интегральных комбинаций из ве-
кторов напряженности электрического и магнитного полей, которые сохраняются
во времени. В этом разделе наряду с классическими законами сохранения (энер-
гии, импульса, углового момента электромагнитного поля) обсуждаются новые ве-
личины, возникающие вследствие симметрии уравнений Максвелла относительно
алгебры A8 . Рассматриваются также новые интегралы движения для поля Дирака,
связанные с негеометрической симметрией уравнения Дирака.
Классические интегралы движения электромагнитного поля. Из уравнений
Максвелла (12) для электромагнитного поля в вакууме следует сохранение во
времени следующих величин:

E= d3 x E 2 + H 2 /2, (173а)


P= d3 x E ? H, (173б)


L= d3 x x ? (E ? H), (173в)


N= d3 x tE ? H ? x E 2 + H 2 /2 , (173г)

которые определяют энергию, импульсы, угловой момент и центр энергии поля.
Существование классических интегралов движения, перечисленных в (173),
вытекает из симметрии уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре.
Исходя из лагранжевой формулировки этих уравнений и используя теорему Нетер,
можно показать, что сохранение энергии (173а) и импульса (173б) непосредствен-
но следует из инвариантности лагранжиана относительно сдвигов по временной и
пространственным координатам, сохранение момента — следствие инвариантности
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 271

лагранжиана относительно пространственных поворотов и, наконец, сохранение
центра энергии вытекает из инвариантности относительно преобразований Лорен-
ца.
Возникает естественный вопрос: какие сохраняющиеся величины связаны с
симметрией уравнений Максвелла относительно негеометрических преобразова-
ний? Для ответа на этот вопрос невозможно воспользоваться теоремой Нетер,
поскольку негеометрические преобразования (99), (100) имеют нелокальный хара-
ктер. Следовательно, приходится применять другой метод нахождения сохраняю-
щихся величин, который заключается в вычислении средних значений базисных
элементов АИ в соответствующем скалярном произведении. Покажем, как в таком
подходе можно получить классические интегралы движения (173).
Будем исходить из формулировки уравнений Максвелла в импульсном про-
странстве (73). Генераторы группы Пуанкаре на множестве решений уравнений (73)
задаются формулами

?
P0 = ??2 S · p ? H, P a = pa ,
(174)
? ??,
Ja = ?i p ? J0a = tpa ? iH
+ Sa ,
?p ?pa
a

где pa — независимые переменные, ?? < pa < ?, ?2 и Sa — матрицы (15). Опе-
раторы (174) эрмитовы относительно инденфинитного скалярного произведения

d3 p ?† (t, p)(H/2p2 )?2 (t, p),
? (175)
(?1 , ?2 ) = 1


где ?? (t, p) — произвольные квадратично интегрируемые решения уравнений (73).
Из инвариантности уравнений (73) относительно алгебры (174) следует сохра-
нение во времени средних значений операторов Pµ , Jµ? в метрике (175):

?
QA = 0,
?t
где

d3 p ?† (t, p)(H/2p2 )QA ?(t, p),
?
QA = (?, QA ?) ? (176)

здесь QA — любой из генераторов (174). Подставляя в (176) выражения (174) для
генераторов группы P (1, 3) и используя для вектор-функции ?(t, p) обозначения
(98), после несложных вычислений получим:

P0 = E, Pa = Pa , Ja = La , J0a = Na , (177)

где E, Pa , La и Na — интегралы движения (173).
Приведем доказательство первой из формул (177). Подставляя в (176) выраже-
? ?
ние (174) для генератора QA = P0 = H и принимая во внимание, что H 2 ? = p2 ?,
находим

d3 p ?† (t, p)?(t, p)/2.
P0 = (?, H?) ? (178)
272 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Подставляя в (178) выражение (98) для вектора-функции ?(t, p) и учитывая
(75), получаем

d3 p [E(t, ?p) · E(t, p) + H(t, ?p) · H(t, p)]/2. (179)
P0 =

Выражая E(t, p) и H(t, p) с помощью преобразования Фурье через E(t, x) и
H(t, x) и выполняя интегрирование по p с помощью соотношения

d3 p exp(ip · x) = (2?)3 ?(x),

приходим к формуле

d3 x E 2 (t, x) + H 2 (t, x) /2. (180)
P0 =

Аналогично можно доказать все остальные соотношения (173), (177).
Интегралы движения, вытекающие из негеометрической симметрии урав-
нений Максвелла. Классические интегралы движения для электромагнитного по-
ля можно представить как средние значения (в квантовомеханическом смысле)
базисных элементов алгебры P (1, 3). Таким же образом можно вычислить новые
интегралы движения, связанные с негеометрической симметрией уравнения Ма-
ксвелла, рассматриваемой в разд. 3.
Найдем сохраняющиеся величины, соответствующие базисным элементам ал-
гебры A8 . Операторы (78) коммутируют с L1 из уравнения (73а), и сохраняются
во времени следующие интегралы:

d3 p ?† (t, p)M QA ?(t, p)/2p, (181)
QA =

где M — произвольный оператор, определенный на множестве решений уравнений
(73), QA — операторы (78).
?
Ограничимся выбором M = H/p. В этом случае (181) определяет средние зна-
чения операторов (78) в той же самой метрике, в которой заданы средние значения
генераторов группы Пуанкаре (см. (173), (176), (177)).
Вычислим последовательно средние значения всех операторов (78). Для того
чтобы получить вещественные величины, умножим QA (78) на i и обозначим
? ?
iQA = QA . Выбирая A = 3, QA = iQ3 = ??2 , получаем

d3 p ?† (t, p)(H/2p2 )?2 ?(t, p) =
? ?
Q3 = ?
(182)

=? d p ? (t, p)S · p?(t, p)/2p .
3 2



Подставив в (182) явный вид матриц Sa (15) и выражение (98) для функции ?(t, p),
придем к следующей формуле:

d3 p p · [E ? (t, p) ? E(t, p) + H ? (t, p) ? H(t, p)]/2p2 .
? (183)
Q3 = i
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 273

Если потребовать, чтобы E и H удовлетворяли условию вещественности, то
согласно (183), (75):

? d3 p p · [E(t, ?p) ? E(t, p) + H(t, ?p) ? H(t, p)]. (184)
Q3 = i

Таким образом, из инвариантности уравнений Максвелла относительно преобра-
зований Хевисайда–Лармора–Райнича следует сохранение во времени интеграла
(184). Найдем теперь среднее значение оператора Q2 (73):

d3 p?† (t, p)?3 D?(t, p)/2p.
? (185)
Q2 =

Используя явный вид матрицы D (82), (83) и принимая во внимание (73), (98),
имеем
? ?
? ?
p2 p3 (p3 H3 ? p2 H2 ) ? ?
? ? E1
? p1 p3 (p1 H1 ? p3 H3 ) ?
? ?
? E2 ?
? ? ? ?
? p p (p H ? p H ) ? ? E3 ?
? ?
? ?
? + (f /?) ? ?
12 2 2 11
? (t, p) = D? = D1 ? = (i/?) ? ? H1 ? , (186)
? ?p2 p3 (p3 E? 3 ? p 2 E2 ) ?
? ? ?
? ? ? H2 ?
? ?
? ?
? ?p1 p3 (p1 E1 ? p3 E3 ) ? H3
? ?
?p1 p2 (p2 E2 ? p1 E1 )
? ?
где ? и f — функции (79), (83), Ha = ?Ha /?t, Ea = ?Ea /?t. Подставляя в (185)
выражение (98) для ?† (t, p), а также явный вид матрицы ?3 и функции ? (t, p)
(186), получаем

f [H ? · H(t, p) ? E ? (t, p) · E(t, p)] +
? d3 p
Q2 =
(187)
?? ??
? ?
p2 Ha (t, p) · Ha (t, p) ? Ea (t, p) · Ea (t, p)
+ 2?p.
a
a

<< Предыдущая

стр. 63
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>