<< Предыдущая

стр. 64
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Если теперь наложить на E(t, p), H(t, p) условия вещественности (75), то
интеграл (187) принимает вид:

? f [E(t, p) · E(t, ?p) ? H(t, p) · H(t, ?p)] +
d3 p
Q2 =
(188)
? ? ? ?
p2 Ea (t, p) · Ea (t, ?p) ? Ha (t, p) · Ha (t, ?p)
+ 2?p.
a
a

Совершенно аналогично получаем, что:

? ? ?
d3 p f E(t, ?p) · H(t, p) + p2 Ea (t, ?p) · Ha (t, p)
Q1 = ?p,
a
a
(189)
? d3 p [E(t, ?p) · E(t, p) + H(t, ?p) · H(t, p)]/2p,
Q8 =

? ? ? ?
Q4 = Q5 = Q6 = Q7 = 0.
274 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Соотношения (189) справедливы только для тех векторов E(t, p) и H(t, p),
которые удовлетворяют условию (75). При комплексных E и H интегралы QB
(B = 4, 5, 6, 7) не равны нулю, но задают некоторые сохраняющиеся величины,
явный вид которых здесь не приводится.
Формулы (184), (188), (189) определяют интегральные комбинации фурье-обра-
зов компонент векторов напряженности электрического и магнитного полей, сохра-
няющиеся во времени в силу уравнений Максвелла. С помощью преобразования
Фурье эти сохраняющиеся величины можно выразить через E(t, p) и H(t, p). Так,
?
для Q1 получаем

Q1 = (2?)?3 d3 x d3 x d3 p (?p)?1 ?
?

(190)
? ?
? f E(t, x) · H(t, x ) + p2 Ea (t, x)Ha (t, x ) exp[ip · (x ? x )] .
a
a

В отличие от классических интегралов движения (173) сохраняющаяся величина
(190) зависит не только от напряженности электромагнитного поля, но, грубо
говоря, также от бесконечного числа производных ?E/?xa , ?H/?xa , ? 2 E/?xa ?xb ,
? 2 H/?xa ?xb , . . .
Исходя из АИ уравнений Максвелла, задаваемой соотношениями (78), можно
построить также такие интегралы движения, которые зависят от конечного чи-
сла производных. Воспользуемся неоднозначностью в определении оператора M ,
входящего в (181), и выберем
?
?
? H?, A = 1, 2,
? (191)
M= Hp, A = 3,
??
H, A = 8,
?
где H и ? заданы (174) и (79). Поступая далее по аналогии с (181)–(190), получаем
следующие сохраняющиеся величины:

d3 p ?† (t, p)H? Q1 ?(t, p)/2p =
? ??
Q1 =

? ? (192а)
? 2 Ea ? 2 H a ? Ea ? H a
?
3
= dx ,
?x2 ?x2 ?xa ?xa
c
b
a, b, c
b, c = a

? 2 Ea ? 2 Ea
d3 p ?† (t, p)H? Q2 ?(t, p)/2p =
? ?? ?
d3 x
Q2 =
?x2 ?x2 c
b
a, b, c
b, c = a
(192б)
? ? ? ?
? 2 Ha ? 2 Ha ? Ha ? Ha ? Ea ? Ea
? ?
+ , ,
?x2 ?x2 ?xa ?xa ?xa ?xa
c
b


d3 p ?† (t, p)HpQ3 ?(t, p)/2p =
? ?
Q3 =
(192в)
? ?
d x [E(t, x) · H(t, x) ? E(t, x) · H(t, x)]/2,
3
=
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 275


d3 p ?† (t, p)HQ8 ?(t, p)/2p =
? ? d3 x E 2 + H 2 /2. (192г)
Q8 =

Итак, помимо классических интегралов движения (192) в силу уравнений Ма-
ксвелла сохраняются во времени еще три независимые интегральные величины,
задаваемые (192а)–(192в) (что же касается (192г), то этот интеграл совпадает с
(173 а)). Вопрос о физической интепретации величин (192а)–(192в) пока остается
открытым.
Отметим еще, что законы сохранения величин (192а)–(192в) можно сформули-
ровать с помощью уравнения непрерывности:
µ
(193)
pµ ja = 0,

где

ja = ?† Ba ?, ja = ?† ?2 Sb Ba ?,
0 b


Ba (a = 1, 2, 3) — дифференциальные операторы, коммутирующие с L1 = i?/?t ?
?
H = i?/?t + ?2 S · p (12а),
? ?
B1 = ?D?1 , B2 = ?D?3 , B3 = S · p, (194)

здесь
? p2 p2 + p 2 p2 ? p 2 p2 1 ? S a + p 1 p2 p3 S a S b pc .
2
D= ab ac bc
a=b=c

Ввиду коммутативности операторов (194) с L1 (12a) уравнения (193) следуют не-
посредственно из (12).
Законы сохранения для поля Дирака. Найдем теперь сохраняющиеся вели-
чины, связанные с негеометрической симметрией уравнения Дирака.
Любому эрмитову оператору Q, определенному на множестве решений уравне-
ний Дирака (129), можно поставить в соответствие 4-вектор тока
?
?
(195)
jµ = ??µ Q?,

где ? = ?† ?0 . Нетрудно убедиться, что если оператор Q удовлетворяет условию
?
инвариантности уравнения Дирака (129), то для тока (195) справедливо уравне-
ние непрерывности (193), откуда в силу теоремы Остроградского–Гаусса вытекает
сохранение во времени интеграла

d3 x ?† Q?.
?
I? = d3 x ??0 Q? = (196)

Выбирая в качестве {Q} генераторы группы Пуанкаре, получаем отсюда законы
сохранения энергии, импульса, углового момента и центра энергии электронно-
позитронного поля.
Возникает законный вопрос, какие новые сохраняющиеся величины можно
поставить в соответствие базисным элементам негеометрической АИ уравнения
Дирака, задаваемым (132). Поскольку на множестве решений уравнений Дирака
выполняется (136), достаточно рассмотреть только четыре из восьми операторов
(132), например, ?ab и ?0 (a, b = 1, 2, 3).
276 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Поскольку операторы ?ab (132) неэрмитовы, рассмотрим сохраняющиеся вели-
чины, соответствующие инвариантным операторам:
? ? (197)
?ab = M ?ab , ?0 = M ?0 ,
где
M = (H + 2S · p)/m, H = ?0 ?a pa + ?0 m, Sa = i?abc ?b ?c /2.
Оператор M однозначно (с точностью до множителя, пропорционального едини-
чной матрице) определяется требованиями, чтобы операторы (197) были эрмитовы
и удовлетворяли условию инвариантности уравнения Дирака.
Подставляя (197) в (196), получаем
?
Ca = (1/4)?abc ?bc = ?0 Sa + (1 ? i?5 )pa /2m,
(198)
?
C0 = ?0 /2 = (S · p + H/2)/m,
а соответствующий ток (196):
? ?
a
jµ = ??µ Ca ? = ??µ ?0 Sa ??
? ?
?i[??µ (1 ? i?5 )??/?xa ? (? ?/?xa )?µ (1 ? i?5 )?]/4m,
(199)
? ?
jµ = ??µ C0 ? = ?i[??µ Sa ??/?xa ?
0

? ? ?
?(? ?/?xa )?µ Sa ? + (? ?/?t)?µ ?/2 ? ??µ (??/?t)/2]/2m.
В силу уравнения Дирака (129) и ввиду коммутативности Cµ (198) с оператором
i?/?t ? H токи jµ (199) удовлетворяют уравнению непрерывности (193), откуда
?

следует, в частности, сохранение во времени интегральных величин:

?
Ia = d3 x j0 =
a
d3 x ?Sa ??
(200)
d3 x ?† (1 ? i?5 )??/?xa ? (??† /?xa )(1 ? i?5 )? /4m.
?i

В отличие от вектора спина дираковского поля, который получается при использо-
вании лагранжева формализма и теоремы Нетер, интегральные комбинации (200)
включают производные от биспинора и сохраняются во времени.
Отметим, что операторы (198) можно представить в форме
?
Cµ = Sµ + pµ /2,
?
где операторы Sµ совпадают с ковариантными операторами спина Фрадкина–
Гуда [62].
1. Heaviside О., Phil. Trans. Roy. Soc. A, 1893, 183, 423.
2. Larmor I., Collected papers, London, 1928.
3. Rainich G.I., Trans. Amer. Math. Soc., 1925, 27, 106.
4. Лоренц Г.А., В кн.: Принцип относительности. Сб. работ классиков релятивизма, М., Атоми-
здат, 1973, с. 167.
5. Пуанкаре А., Там же, с. 90.
6. Пуанкаре А., Там же, с. 118.
7. Эйнштейн А., Там же, с. 97.
О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака 277

8. Bateman Н., Proc. London Math. Soc., 1909, 8, 223.
9. Cuningham E., Proc. London Math. Soc., 1909, 8, 77.
10. Lie S., Arch. Math., 1881, 6, 328.
11. Овсянников Л.В., Групповые свойства дифференциальных уравнений, Новосибирск, Изд-во СО
АН СССР, 1962.
12. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1968.
13. Ибрагимов Н.X., Докл. АН СССР, 1968, 178, 566.
14. Ибрагимов Н.X., Докл. АН СССР, 1969, 185, 1220.
15. Фущич В.И., ТМФ, 1971, 7, 3.
16. Fushchych W.I., Lett. Nuovo cimento, 1974, 11, 508.
17. Фущич В.И., Докл. АН СССР, 1976, 230, 570.
18. Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И., ТМФ, 1976, 29, 82.
19. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1977, 19, 347.
20. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., Укр. мат. журн., 1976, 28, 844.
21. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., Докл. АН СССР, 1977, 232, 800.
22. Фущич В.И., Онуфрийчук С.П., Докл. АН СССР, 1977, 235, 1056.
23. Фущич В.И., Никитин А.Г., Докл. АН СССР, 1978, 238, 46.
24. Фущич В.Н., В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике, Киев, Институт
математики АН УССР, 1978, 5.
25. Никитин А.Г., Там же, 81.
26. Никитин А.Г., Там же, 96.
27. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1978, 21, 541.
28. Фущич В.И., Никитин А.Г., См. [24], с. 45.
29. Фущич В.И., В кн.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний (Посвященная
60-летию акад. АН УССР Ю.А. Митропольского), Киев, Наукова думка, 1977, 75.
30. Фущич В.И., Докл. АН СССР, 1979, 246, 846.
31. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. Gen., 1979, 12, 747.
32. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo cimento, 1979, 24, 220.
33. Фущич В.И., Укр. мат. журн., 1981, 33, 821.
34. Фущич В.И., Владимиров В.А., Докл. АН СССР, 1981, 257, 1105.
35. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Czech. J. Phys. B, 1982, 32, 476.
36. Fock V.A., Fortschr. Phys., 1935, 98, 145.
37. Anderson R.L., Ibragimov N.H., Lie-B?klund transformations in an applications, Philadelphia, SI-

<< Предыдущая

стр. 64
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>