<< Предыдущая

стр. 65
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

a
AM, 1979.
38. Боголюбов Н.Н., Лекции по теории симметрии элементарных частиц, М., Изд-во МГУ, 1966.
39. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода к квантовой
теории поля, М., Наука, 1969.
40. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, М., Наука, 1973.
41. Малкин И.А., Манько В.И., Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых
систем, М., Наука, 1979.
42. Шубин М.А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М., Наука, 1978.
43. Mignani R., Rekami E., Baldo M., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, № 12, 568.
44. Боргардт А.А., Докл. АН СССР, 1951, 78, 1113.
45. Lomont J.S., Phys. Rev., 1958, 111, 1710.
278 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

46. Moses Н.E., Nuovo Cimento Suppl., 1958, 7, 1.
47. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1978, 4, 319.
48. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1978, 9, вып. 3, 501.
49. Федоров Ф.И., Докл. АН СССР, 1952, 82, 37.
50. Corson F.M., Introduction to tensors, spinors and relativistic wave equations, N.Y., Hafner, 1953.
51. Bludman S.A., Phys. Rev., 1957, 107, 1163.
52. Боргардт А.А., ЖЭТФ, 1956, 30, 334.
53. Mayor D.Н., J. Math. Phys., 1975, 16, 884.
54. Чеботарев Н.Г., Теория групп Ли, М., Гостехиздат, 1949.
55. Котельников Г.А., В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, Т.1, М., Наука, 1980.
56. Da Silveira, Nuovo Cimento A, 1980, 56, 385.
57. Kadyshevsky V.G., Nucl. Phys. B, 1978, 141, 477.
58. Кадышевский В.Г., ЭЧАЯ, 1980, 11, 5.
59. Данилов Ю.А., Препринт ИЭА-1136, 1968.
60. Jayaraman P., Lett. Nuovo cimento, 1976, 17, 141.
61. Good R.Н., Phys. Rev., 1957, 105, 1914.
62. Fradkin D.M., Good R.Н., Rev. Mod. Phys., 1961, 33, 343.
63. Бейтман Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, Пер. с англ., М.,
Физматгиз, 1958.
64. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наукова думка, 1983.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 279–282.

Интегро-дифференциальные уравнения,
инвариантные относительно групп Галилея,
Пуанкаре, Шредингера
и конформной группы
В.И. ФУЩИЧ, Н.А. СЕЛЕХМАН
An explicit form of integro-differential equations invariant with respect to the G(1, n),
P (1, n), Sch(1, n) and C(1, n) groups is obtained.

Симметрийные свойства интегро-дифференциальных уравнений почти совер-
шенно не изучены [1]. В работе [2] поставлена задача об описании интегро-диф-
ференциальных уравнений вида

(1)
(L?)(x) + ? K(x, y, ?(y)) dy = 0
Rn+1

инвариантных относительно групп Галилея G(1, 4), Пуанкаре P (1, n), Шредингера
Sch(1, n) и конформной группы C(1, n), где L — дифференциальный оператор, K
— функция класса C 1 по всем переменным.
В настоящем сообщении найдены явные выражения для K(x, y, ?(y)), при ко-
торых уравнение (1) инвариантно относительно перечисленных групп.
Примем следующие обозначения и соглашения: алгебры перечисленных групп
обозначаются теми же символами, что и группы; по повторяющимся индексам
подразумевается суммирование от 0 до n, x = (x0 , x1 , . . . , xn ), y = (y0 , y1 , . . . , yn ),
z = (x ? y), dy = dy0 ? dy1 ? . . . ? dyn , r2 = zµ z µ , pµ = igµ? ?/?x? , pµ = igµ? ?/?y? ,
?
n
pi pi и т.д., + — символ полупрямой суммы алгебр Ли; ?? — функция,
?
p2 =
i=1
комплексно сопряженная к ?.
Рассмотрим уравнение (1) с дифференциальным оператором Даламбера

p2 ? p 2 ?(x) = ? (2)
K(x, y, ?(y))dy.
0
Rn+1

Теорема 1. Уравнение (2) инвариантно относительно следующих алгебр:
1) алгебры P (1, n), если K = (r2 , ?).
? ?
2) алгебры P (1, n) = P (1, n)+ D, если
K = F1 (?|r? ) rs ?? , ?? = ? ? s ? n ? 3,
µ µ
D = D1 = xµ p + yµ p + i? ?(x)??(x) + ?(y)??(y)
?
или
K = F2 (exp(?)|r? ) r?(n+3) , D = D2 = xµ pµ + yµ pµ + i? ??(x) + ??(y) ,
?
Доклады АН УССР, 1983, № 5, C. 21–24.
280 В.И. Фущич, Н.А. Селехман

?, s — произвольные действительные числа, F1 , F2 — произвольные дифферен-
цируемые функции.
3) алгебры C(1, n), если K = r?(n+3) ?(y).
Доказательство. Изучение групповых свойств уравнения (1) методом [3] сводится
к исследованию следующих дифференциальных форм:

? = db0 dx1 . . . dxn + db1 dx0 dx2 . . . dxn +
+ · · · + (?1)n+1 dbn dx0 dx1 . . . dxn?1 + ?Kdy ? dx,
?1 (y) = d?(y) ? ?µ dyµ ,
?1 (x) = d?(x) ? bµ dxµ , b
?2 (x) = d?1 (x), ?2 (y) = d?1 (y).
Здесь db0 dx1 . . . dxn ? db0 ? dx1 ? . . . ? dxn , ? — знак внешнего произведения.
Условие инвариантности форм {?, ?1 (x), ?1 (y), ?2 (x), ?2 (y)} состоит в следу-
ющем:
?
LXA ?1 (x) = hA ?1 (x), LXA ?1 (y) = hA ?1 (y),
1 1
?
LXA ?2 (x) = hA ?2 (x) + ?1 (x) ? ? A , LXA ?2 (y) = hA ?2 (y) + ?1 (y) ? ? A , (3)
?
2 2
LXA ? = hA ? + ?1 (x) ? ?1 + ?1 (y) ? ?1 + ?2 (x) ? ?2 + ?2 (y) ? ?2 .
A
?A A
?A
? ?
Здесь LXA — производная Ли вдоль поля XA ; hA , hA , hA , hA , hA , ? A , ? A , ?1 ,
A
?
1 1 2 2
?A A ?A
?1 , ?2 , ?2 — неизвестные пока дифференциальные формы соответствующих сте-
пеней,
µ µ µ
?µ b (4)
XA = ?A ?xµ + ?A ?yµ + ?A ??(x) + ?A ??(y) + ?A ?bµ + ?A ??µ .
?

Индекс A указывает алгебру, к которой принадлежит оператор XA .
Из условия (3) следует, что функция K должна удовлетворять уравнению
µ µ µ
?A Kxµ + ?A Kyµ + ?A K?(y) + ?yµ (?A )K = hA K,
?
?
причем hP (1,n) = 0, hD1 = ? ? 1, hD2 = ?2, hC(1,n) = ?(n + 3)?µ xµ , C(1, n) —
?
алгебра собственно конформных операторов Kµ , ?µ ? R1 , Kxµ = ?xµ K, K? = ?? K
и т.д.
Условия на функцию K, при которых уравнение (2) инвариантно относительно
? ?
P (1, n), P1 (1, n), P2 (1, n), C(1, n) таковы:

cab = ?cba ,
P (1, n) cµ? z? Kzµ = 0, c0a = ca0 , a, b = 1, n,
? (d1 zµ + cµ? z? )Kzµ + d1 ??K? = d1 (? ? n ? 3)K,
P1 (1, n)
? (d2 zµ + cµ? z? )Kzµ + d2 ?K? = ?d2 (n + 3)K,
P2 (1, n)
(?, x + y)r?r + 2?(?, y)?? · ?+
C(1, n)
+[s(?, x + y) + 2??(?, y) + 2(n + 1)(?, y) + (n + 3)(?, x)]? = 0,
K = ? ?|r? rs ?? , ? = ?(n ? 1).

Здесь (?, x) = aµ xµ и т.д. Легко убедиться, что решением этих уравнений являю-
тся функции, указанные в теореме. Теорема доказана.
Следствие 1. Все конформно инвариантные уравнения вида (2) являются линей-
ными уравнениями.
Интегро-дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп 281

Приведем далее несколько теорем, доказываемых точно так же, как и теорема 1.
Теорема 2. Максимальной алгеброй инвариантности (в смысле С. Ли) уравне-
ния
n+3
r?(n+3) ?(y) dy = 0
p2 ? p 2 ?(x) + ?1 ? n?1 + ?2 (5)
0
Rn+1

является алгебра C(1, n). Уравнение (5) единственное C(1, n)-инвариантное
уравнение в классе уравнений вида
?? ??
p2 ? p 2 ?(x) + ?1 F ?, + ?2 R ?, K(x, y, ?(y)) dy = 0.
0
?xµ ?xµ
Rn+1

Рассмотрим уравнение вида (1) с дифференциальным оператором Шредингера
p2
K (x, y, ?(y), ?? (y)) dy.
p0 ? (6)
?(x) = ?
2
Rn+1

Теорема 3. Уравнение (6) инвариантно относительно следующих алгебр:
iz 2
?(z0 , ??? )?;
1) алгебры G(1, n), если K = exp
2z0
? n) = G(1, n)+ D, если
?
2) алгебры G(1,
iz 2 ?(n+4)/2
?1 (??? |z0 )?,
?
K = exp z0
2z0
D = D1 = 2x0 p0 ? xi pi + 2y0 p0 ? yi pi + i? ?(x)??(x) + ?(y)??(y) ,
? ?
? ? R1 ; ?1 , ?2 — произвольные дифференцируемые функции;
3) алгебры Sch(1, n), если
iz 2 ?(n+4)/2
K = exp z0 ?(y).
2z0
Теорема 4. Максимальной алгеброй симметрии (в смысле С. Ли) уравнения
p2 iz 2 ?(n+4)/2
? 2/n
p0 ? ?(y) dy (7)
?(x) + ?1 (?? ) ?(x) = ?2 exp z0
2 2z0
Rn+1

является алгебра Sch(1, n). Любое уравнение вида
p2
?(x) + ?1 F (?, ?? , ?xµ )+
p0 ?
2

+?2 R(?, ?? , ?xµ ) K (x, y, ?(y), ?? (y)) dy,
Rn+1

допускающее группу Sch(1, n), приводится к (7) неособой локальной заменой
переменных.
Следствие 2. Уравнения вида (6), допускающие группу, являются линейными
уравнениями.
282 В.И. Фущич, Н.А. Селехман

Замечание. Укажем преобразования, с помощью которых можно непосредственно
проверить приведенные выше утверждения. Следующие преобразования образуют
группу C(1, 3)
?
? ??x
? ?(?x)
x = x cos ? ? (cos ? ? 1) +
xµ = xµ + bµ , sin ?,
?2 ?
?
? x =x ,
? (x ) = ?(x);
? (x ) = ?(x);
0
0

?
?
? x = x + ?(?x) (ch ? ? 1) + ? x0 sh ?,
? xµ = es xµ ,
?2 ?
? ? (x ) = e?s ?(x);
?
? x = x ch ? + (x?) sh ?;
0
0
?

xµ = (xµ ? ?µ (x? x? ))/?,
? = 1 ? 2?? x? + ?? ?? xµ xµ .
? (x ) = ??(x),

Следующие преобразования образуют группу Sch(1, n)
?
?
? x = x cos ? ? ?(?x) (cos ? ? 1) + ? ? x sin ?,
xµ = xµ + bµ ,
?2 ?
?
? x =x ,
? (x ) = ?(x);
? (x ) = ?(x);
0
0

<< Предыдущая

стр. 65
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>