<< Предыдущая стр. 68(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
2
F (y) = y 1 + c , G(z) = z 1 z 2 , y 1 = ?? x? , z 1 = ?? x? ,
(a)
? = 1/(1 ? k),
z 2 = ?? x? , ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = 0,
2?? ?? = ?? ? ? = ?(k ? 1)2 (k ? 3)?1 , n ? 3.
x = (x0 , . . . , xn?1 ),

F (y) = y 2 ? y 1 , G(z) = z 2 ? z 1 , y 1 = z 1 = ?? x? ,
(b)
? = 2/(1 ? k),
y 2 = ?? x? , z 2 = ?? x? ,

where ? and ? are arbitrary differentiable functions, satisfying the condition
1
?(k ? 1)2 /(k + 1),
?2 + ? 2 =
(5.21)
2
?? ? = ?? ? = ?1, n ? 3.
?? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = 0,
? ? ?

F (y) = F y 1 is an arbitrary differentiable function,
(c)
G(z) = z 1 , y 1 = ?? x? , z 1 = ?? x? ,
1
?? ? ? = ? (k ? 1)2 /(k + 1).
?? ?? = ?? ?? = 0,
2
So according to (5.18) we have the following solutions of (1.2)
1/(k?1)
u = (?? x? + c)2 + ?? x? ?? x? (5.22)
,
where ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = 0, 2?? ?? = ?? ? ? = ?(k ? 1)2 /(k ? 3), k = 3.
2/(1?k)
u = [?? x? ?(?? x? ) + ?? x? ?(?? x? )] (5.23)
,
where ?? ?? = ?? ? ? = ?? ? ? = ?? ? ? = 0, ?? ? ? = ?? ? ? = ?1, ?2 + ? 2 = ?
1
2 ?(k
1)2 /(k + 1), k = ?1.
2/(1?k)
u = [F (?? x? ) + ?? x? ] (5.24)
,
where ?? ?? = ?? ?? = 0, ?? ? ? = ? 2 (k ? 1)2 /(k + 1), k = ?1. If in (5.23)–(5.24) ?,
1

?, F are arbitrary functions we have the wide class of exact solutions of (1.2).
Ibragimov [13] established that if k = (n + 2)/(n ? 2), n ? 3 (1.2) is conformally
invariant. It is well known that the conformal transformations have the form (see e.g.
Fushchych and Nikitin [8])
xµ = ? ?1 (xµ + cµ x? x? ), u = ? (n?2)/2 u, (5.25)

where ? = (1 + 2c? x? + c? c? x? x? ), cµ are constants. Using (5.25) one can produce
new solutions of the equation
2u + ?u(n+2)/(n?2) = 0. (5.26)
in such a way. Let u = F (x) be a solution of (5.26) for n ? 3, then
u = ? (2?n)/n F ((x + cx? x? )/?), (5.27)
where c = (c0 , . . . , cn?1 ), will be another solution of (5.26) and

2u + ?u(n+2)/(n?2) = ? ?(n+2)/2 2F + ?F (n+2)/(n?2) . (5.28)
292 W.I. Fushchych, N.I. Serov

When n = 4, equation (5.26) has the form
2u + ?u3 = 0. (5.29)
Its particular solutions are given in (5.15)–(5.17), (5.23)–(5.24). These expressions
give the solutions of Yang–Mills equations after using the ’tHooft–Corrigan–Wilczek
ansatz.
In the conclusion of this section we consider another nonlinear d’Alembert equation
2u + ? sin u = 0, (5.30)
? = 1,
which is known as a sine-Gordon equation. Below we present some exact solutions of
this equation
u = 4 tan?1 {exp [f (?? x? ) + ?? x? ]} , (5.31)
u/2
d?
= f (?? x? ) + ?? x? + c0 , (5.32)
k 1/2
1? 2
k2 sin ?
0

where f is an arbitary differentiable function, ?? , ?? , k are constants, ?? ?? = ?? ? ? =
0, ?? ? ? = ?1.
6. The exact solutions of the eikonal equation
The eikonal equation (1.3) is one of the main equations of geometrical optics and
it is the characteristic equation for the linear d’Alembert one. In this section we shall
find some exact solutions of (1.3) by analogy with that done in the previous sections
and show how to generate new solutions using the conformal transformations. Upon
substituting (3.7) into (1.3) we obtain some PDE for the function ?(?) and we have
solved some of them.
Below we present the final result:
u = ?(?? x? ), (6.1)

u = ? ?? y ? ± [(?? y ? )2 ? ay? y ? ]1/2 , (6.2)

u = ?(y? y ? /?? y ? ), (6.3)

where ? is an arbitrary differentiable function, y? = x? + a? , ?? , ?? , a? , a are
constants, ?? ?? = 0, ?? ? ? = a = 0.
One can see from (2.3) that (1.3) is conformally invariant, the conformal transfor-
mations being as follows:
xµ = ? ?1 (xµ + cµ x? x? ), (6.4)
u = u,
where ? is from (5.25). The new solutions unew have the form
(x)
unew = uold ((x + cx? x? )/?). (6.5)
In conclusion we formulate the following statement.
Theorem 5. The equation
µ = 0, n ? 1,
pµ upµ u = F (u), (6.6)
The symmetry and some exact solutions 293

is reduced to the form

µ = 0, n ? 1
pµ V pµ V = 1, (6.7)

by the substitution
du
(6.8)
V= .
(F (u))1/2
Note. Equation (6.7) upon substituting

(6.9)
W (x, V ) = 0

takes the form

p? W p? W = 0, (6.10)
? = 0, n,
where W = W (?), x = (x0 , . . . , xn?1 , xn ? V ). Equation (6.10) is the eikonal equation
x?
(1.3) in (n + 1)-dimensional space. With the help of ansatz (1.4), we have obtained
multiparametrical exact solutions of many-dimensional nonlinear Schr?dinger (Fush-
o
chych and Moskaliuk [7], Born–Infeld (Fushchych and Serov [9]) and Dirac equations
(Fushchych and Shtelen [11]).
Acknowledgment
We would like to express our gratitude to the referees for their comments and
useful suggestions.
Appendix. The reduction of (1.1)–(1.2) to ordinary differential equations
If the function ? from the ansatz (1.4) depends on one variable ? only it means
that (1.1)–(1.2) are ordinary differential ones.
The Liouville equation (1.1) is reduced to the equation

?? ? ? ? + 2?? + 2g + ? exp g exp ? = 0,
via the substitution (3.5) if the conditions

2? = ?2 (?) exp g, 2g = ?3 (?) exp g,
?? ? ? = ?1 (?) exp g,

are satisfied.
The equation (1.2) will be reduced to the ordinary differential equation

?? ? ? f ? + (2?f + 2?? f ? )? + 2f · ? + ?f k ?k = 0

under the conditions
2?f + 2?? f ? = ?2 (?)f k , 2f = ?3 (?)f k .
?? ? ? = ?1 (?)f k?1 ,

The ansatz (1.4) in this case has the form (3.6).
294 W.I. Fushchych, N.I. Serov

1. Actor A., Classical solutions of SU (2) Yang–Mills theories, Rev. Mod. Phys., 1979, 51, № 3,
461–525.
2. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, Vol.1, New York, Academic,
1965.
3. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, Vol.2, New York, Academic,
1972.
4. Birkhoff G., Hydrodynamics: a study in logic fact and similitude, Princeton, University Press, 1950.
5. Bluman G.W., Cole I.D., Similarity Methods for Differential Equations, New York, Springer, 1974.
6. Fushchych W.I., The symmetry of mathematical physics problems, in Algebraic-theoretical studies
in mathematical physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1981, 6–28.
7. Fushchych W.I., Moskaliuk S.S., Lett. Nuovo Cimento, 1981, 31, № 16, 571.
8. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetry of Maxwell equations, Kiev, Naukova Dumka, 1983.
9. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1982, 263, 582–586.
10. Fushchych W.I., Serova M.M., Dokl. Akad. Nauk. USRR, 1983, 268, 1102–1104.
11. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
12. Fushchych W.I., Tychinin W.A., Preprint 82-33, Kiev, Institute of Mathematics, 1982.
13. Ibragimov N.H., Lie groups in some questions of mathematical physics, Novosibirsk, University
Press, 1972.
14. Liouville J., J. Math. Pure Appl., 1853, 18, 77.
15. Morgan A.J.A., Quart. J. Math. Oxford, 1952, 3, № 12, 250–259.
16. Ovsyannikov L.V., The group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 295–298.

Симметрия и некоторые точные решения
многомерного уравнения Монжа–Ампера
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ

При решении многомерной проблемы Минковского А.В. Погорелов пришел к
естественному обобщению классического уравнения Монжа–Ампера (МА) для
двух переменных на случай n переменных (см. [1])

|uµ? | = 0, (1)
2
где |uµ? | — определитель из вторых производных uµ? = ?xµ ?x? , µ, ? = 0, 1, . . .,
?u

n ? 1, u = u(x), x = (x0 , x1 , . . . , xn?1 ).
Ниже будет показано, что уравнение МА обладает уникальными симметрий-
ными свойствами, которые не присущи линейным дифференциальным уравнениям.
Это свойство дает возможность, используя теоретико-алгебраические идеи [2], по-
строить классы точных решений уравнения (1) и получить формулу “размножения”
решений.
1. Симметрия уравнения МА. Методом С. Ли [3] можно доказать следующее
утверждение.
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно группы {JGL(n + 1, R),
C(n + 1)}, базисные элементы алгебры Ли которой имеют вид
?
pA = ig AB , LAB = xA pB , A, B = 0, 1, . . . , n,
?xB
(2)
?
xn ? u,
AB
KA = xa D, D = ig xA ,
?xB
где g AB — метрический тензор в (n+1)-мерном пространстве, JGL(n+1, R) —
группа линейных неоднородных преобразований пространства Rn+1 , C(n+1) —
конформная группа в Rn+1 .
Замечание 1. Уравнение (1) при n = 1 совпадает с уравнением Ньютона

(3)
u00 = 0,

групповые свойства которого полностью изучил еще С. Ли [6]. Алгебра (2) при
n = 1 совпадает с 8-мерной алгеброй, построенной С. Ли для уравнения (3).
Групповые свойства уравнения Монжа–Ампера для двух переменных изучены Ов-
сянниковым [3].
2. Точные решения уравнения (1). Решения уравнения МА, следуя [2] , ищем
в виде

(4)
u = f (x)?(?) + g(x),
Доклады академии наук СССР, 1983, 273, № 3, С. 543–546.
296 В.И. Фущич, Н.И. Серов

где ?(?) — неизвестная функция, зависящая от n ? 1 инвариантных перемен-
ных ? = ?(x) = {?1 (x), ?2 (x), . . . , ?n?1 (x)}, а f (x), g(x) — некоторые заданные
функции.
В том частном случае, когда f (x) = 1, g(x) = 0, ?(x) = ?1 (x), уравнение (1)
редуцируется к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)
для функции ? с переменными коэффициентами
(5)
M (?)? + N (?)? = 0,
где N (?) = |?µ? |, а M (?) строится из N (?) и представляет собой сумму следую-
щих детерминантов:
?0 ?0 ?01 ... ?0 n?1
?0 ?1 ?11 ... ?1 n?1
M (?) = +
... ... ... ... ...
?0 ?n?1 ?n?1 1 ... ?n?1 n?1
(6)
?00 ?0 ?1 ... ?0 n?1 ?00 ?01 ... ?0 ?n?1
?10 ?1 ?1 ... ?1 n?1 ?10 ?11 ... ?1 ?n?1
+ + .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
?n?1 0 ?n?1 ?1 . . . ?n?1 n?1 ?n?1 0 ?n?1 1 ... ?n?1 ?n?1
Рассмотрим в качестве инвариантной переменной и линейную комбинацию пе-
ременных xµ , т.е.
? = ?x ? aµ xµ , (7)
? = (?0 , ?1 , . . . , ?n?1 ) — постоянный вектор. В этом случае, как это следует из (5),
получаем решение
 << Предыдущая стр. 68(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>