<< Предыдущая

стр. 69
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(8)
u = ?(?), ? = ?x,
где ? — произвольная функция из C 2 . Обобщая (8), можно построить следующие
решения уравнения (1):
(9)
u = ?(?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ),
где ?k = ?? x? , ?k = (?0 , ?1 , . . . , ?n?1 ) — произвольные постоянные векторы,
k k k k

k = 1, 2, . . . , n ? 1.
Рассмотрим в качестве инвариантной переменной ? = x2 ? xµ xµ . В этом случае
M (?) = 2n+1 ?, N (?) = 2n .
Уравнение (5) имеет вид
(10)
2?? + ? = 0,
общим решением которого является функция
v
(11)
? = c1 ? + c2 .
В неявном виде решения (1) можно записать так:
u2 ? x2 = 0.
Симметрия и некоторые точные решения уравнения Монжа–Ампера 297

Приведем еще несколько семейств решений уравнения (1) в явном и неявном
виде:
u = (?x)2 ? ?2 x2 ; (12)

x2
(13)
u= ,
?x
при этом M (?) = 0, N (?) = 0;
u2 = x? x? ? c(?? x? ? ?n u)2 , (14)
где c, ?? , ?n = const;
?? x? ? ?n u = ?(?? x? ? ?n u), (15)
? ? C 2 , ? — произвольная постоянная.
3. Размножение решений. Линейные и нелинейные уравнения, инвариан-
тные относительно нетривиальных групп преобразований x = f1 (x, u, a), u =
f2 (x, u, a), a — параметры группы, обладают важным свойством: если u = h(x)
является решением уравнения (1), то новое решение уравнения (1) находится из
функционального уравнения
(16)
f2 (x, u, a) = h(f1 (x, u, a)).
Явные формулы типа (16) для уравнений Гамильтона–Якоби, Дирака приведены
в [2, 4].
Воспользовавшись формулой (16) и инвариантностью уравнения (1), например,
относительно конформных преобразований
xµ = ? ?1 (x, u)xµ , µ = 0, 1, . . . , n ? 1,
?1
u =? (x, u)u,
где
?(x, u) = 1 + bµ xµ ? bn u,
получаем
? ?1 (x, u)u = h ? ?1 (x, u)x . (17)
Если bn = 0, то u можно явно определить:
u = ?(x)h ? ?1 (x)x , ?(x) = 1 + bµ xµ .
Из формулы (17) следует, что функции
u = ?(x, u)? ? ?1 (x, u)?1 , ? ?1 (x, u)?2 , . . . , ? ?1 (x, u)?n?1 ,
u = ? ?1 (x, u) (?x)2 ? ?2 x2
будут решениями уравнения (1).
В заключение рассмотрим следующее нелинейное обобщение уравнения (1):
|uµ? | = F (x, u), (18)
298 В.И. Фущич, Н.И. Серов

F — произвольная функция x, u. Оказывается, что среди множества уравнений
вида (18), уравнение МА инвариантно относительно алгебры (2), т.е. справедлива
Теорема 2. Для того чтобы уравнение (18) было инвариантно относительно
алгебры (2), необходимо и достаточно, чтобы F (x, u) ? 0.
Если рассмотреть подалгебру алгебры (2)
?
pµ = ig µ? , Lµ? = xµ p? ,
?x? (19)
µ, ? = 0, 1, . . . , n ? 1,
D = x? p? ,
Kµ = xµ D,
то, кроме уравнения МА, инвариантного относительно алгебры (19), существует
еще одно уравнение, т.е. имеет место
Теорема 3. Для того чтобы уравнение (18) было инвариантно относительно
алгебры (19), необходимо и достаточно, чтобы

F (x, u) = ?u?(n+2) , ? = const.

Если же рассмотреть подалгебру алгебры (2)
?
JAB = xA pB ? xB pA ,
pA = ig AB ,
?xB (20)
D = xA pA , A, B = 0, 1, . . . , n,
то имеет место
Теорема 4. Максимальной алгеброй инвариантности уравнения
(n+4)/3
?1 [2u(1 ? u? u? ) + uµ? uµ u? ] + ?2 [(1 ? u? u? )|uµ? |] = 0 (21)

при ?1 ?2 = 0 является алгебра (20).
Заметим, что при ?2 = 0 (21) является многомерным аналогом уравнения
Борна–Инфельда, а при ?1 = 0 уравнение (21) распадается на два уравнения
эйконала и МА.
Теоремы 2–4 доказываются методом С. Ли [3]. Вопрос о линеаризации уравне-
ний Монжа–Ампера–Борна–Инфельда и некоторых других рассмотрен в [5].

1. Погорелов А.В., Многомерная проблема Минковского, М., 1975.
2. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
1981, 5–28.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 1983, 16, № 2, 271; Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, № 16,
498.
5. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт № 33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982.
6. Lie S., Math. Ann., 1885, 25, № 1, 71–151.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 299–320.

О точных решениях некоторых нелинейных
дифференциальных уравнений,
инвариантных относительно групп Евклида
и Галилея
В.И. ФУЩИЧ, М.М. СЕРОВА
Описаны все нелинейные уравнения вида 2u + F (u, u)u0 = 0, инвариантные относи-
1
? n). Найдены точные решения некоторых
тельно расширенной группы Евклида E(1,
?
нелинейных уравнений, инвариантных оносительно группы E(1, n) или группы Га-
лилея.
All equations of the form 2u + F (u, u)u0 = 0 are listed, which are invariant under
1
? n). Some exact solutions of the nonlinear equations
extended Euclidean group E(1,
?
which are invariant under E(1, n) or Galilei G(1, n) group are found.

Введение
?
Под расширенной группой Евклида E(1, n) будем понимать группу Евклида
E(1, n) в R1 (x) ? Rn (x), дополненную однопараметрической группой масштабных
преобразований D(1).
В первой части настоящей работы описаны все уравнения вида
2u + F (u, u)u0 = 0, (0.1)
1

?
инвариантные относительно группы E(1, n). Для некоторых уравнений вида (0.1)
построены многопараметрические семейства частных решений. В (0.1) приняты
следующие обозначения:
x = (x0 ? t, x1 , . . . , un ), u = (u1 , . . . , un ),
u = u(x),
1

?2
?u
2= ? ?,
uµ = , µ = 0, 1, . . . , n,
?x2
?xµ 0

F — произвольная непрерывная и n раз дифференцируемая функция u и u.
1
Во второй части работы (§§ 3–8) построены точные решения некоторых си-
стем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП),
инвариантных относительно группы Галилея. Рассмотренные нами системы часто
встречается в гидродинамических исследованиях.
Методом Ли доказывается следующая теорема.
?
Теорема 1. Уравнение (0.1) инвариантно относительны группы E(1, n) только
в таких трех случаях:
F = uk f ua ua /u2k+2 , (0.2)
1)
Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1983, С. 24–54.
300 В.И. Фущич, М.М. Серова

(0.3)
2) F = exp uf (ua ua / exp 4u) ,
v
(0.4)
3) F= ua ua f (u),

где k — произвольная постоянная, f — произвольная дифференцируемая фун-
кция. Базисные элементы алгебры E(1, n), заданные на множестве решений
уравнения (0.1), имеют стандартный вид
?
Jab = xa pb ? xb pa , a, b = 1, . . . , n, (0.5)
pµ = igµ? , µ, ? = 0, 1, . . . , n,
?xµ
а оператор D, соответствующий масштабным преобразованиям, задается
формулами

D = x? p? + i/k для случая 1); (0.6)

?
D = x? p? ? i для случая 2); (0.7)
?u
D = x? p? для случая 3). (0.8)

Доказательство этой теоремы сводится к применению алгоритма Ли [3] к урав-
нениям (0.1). Мы его опускаем, поскольку оно слишком громоздко. Из множества
уравнений (0.1) с нелинейностями (0.2)–(0.4) рассмотрим только три уравнения,
по одному из каждого класса:

2u + ?uu0 = 0, (0.9)

2u + ?u0 exp u = 0, (0.10)
v
2u + ? ua ua u0 = 0. (0.11)

Уравнение (0.9) часто встречается в теории поля, газовой динамике. Инвариан-
тные классы точных решений (0.9) приведены в [1, 2], поэтому далее построим
частные решения уравнений (0.10), (0.11).
Решения уравнений (0.10), (0.11) будем искать с помощью анзатца [1]

(0.12)
u = f (x)?(?) + g(x),

где ? — некоторая неизвестная функция от новых инвариантных переменных
? = ?(x) = {?1 (x), ?2 (x), . . . , ?n (x)}, f (x) и g(x) — известные функции, ?(x)
?
— инварианты группы E(1, n).
?
Для явного построения решений необходимо найти инварианты группы E(1, n),
функции f (x) и g(x), а затем решить соответствующее уравнение для функции
?(?).
§ 1. Инварианты расширенной группы Евклида
?
В этом параграфе приведем инварианты группы E(1, 3). Коэффициенты ? µ ин-
финитезимального оператора
? ?
X = ?µ + ?(u)
?xµ ?u
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 301

?
для группы E(1, 3) имеет вид
? µ = cµ? x? + dµ ,
где cµ? , dµ , µ = 0, 3 — произвольные постоянные, причем c00 = c11 = c22 = c33 ,
c0a = 0, cab = ?cba , a = b, a, b = 1, 3.
Не вдаваясь в подробности решения соответствующих уравнений Лагранжа [1],
?
выпишем явный вид инвариантов ? = (?1 , ?2 , ?3 ) группы E(1, 3):
?a ya ya ya ?a ya
?3 = y0 exp b1 arctg (1.1)
1. ?1 = , ?2 = 2, ,
y0 y0 ?a ya
где параметры ?a , ?a , ?a удовлетворяют соотношениям ?a ?a = ?2 = 0, ?a ?a =
b2
?a ?a = 0, ?a ?a = ?a ?a = 0, (?a ya )2 + (?a ya )2 = ?1 (?2 ?2 ? ?1 ).
2
2


?a ya ya ya ?a ya
? b2 ln ?a ya , (1.2)
2. ?1 = , ?2 = 2, ?3 =
y0 y0 ?a ya
где ?a ?a = ?a ?a = 0, ?a ?a = 0.
?a ya ya ya ?a ya
(1.3)
3. ?1 = , ?2 = 2, ?3 = ,
b
y0 y0 y03
где ?a ?a = ??2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = 0.
?a ya ?a xa
?3 = ?a xa ? b4 ln y0 , (1.4)
4. ?1 = , ?2 = ,
y0 y0
где ?a ?a = ??2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, ?a ?a = a = 0.
(?a ya )2 la y a
?3 = x0 ? b3 arctg
?
(1.5)
5. ?1 = ?? x , ?2 = + ya ya , ,
??2 ?a ya

<< Предыдущая

стр. 69
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>