<< Предыдущая

стр. 7
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Задача об отыскании алгебр инвариантности уравнения (3) состоит в явном
?
построении некоторого множества операторов {QA }, образующих алгебру Ли и
удовлетворяющих условиям инвариантности
?p ? (8)
L(?a , sa )QA u(t, x) = 0, A = 1, 2, . . . , n

или
?? (9)
[L, QA ]? u(t, x) = 0.

Применить нелиевский алгоритм к уравнению (3) для вычисления алгебр инва-
риантности означает следующее [1, 4]: 1) систему (3) с помощью невырожденного
преобразования расщепить (провести декомпозицию) на максимально возможные
независимые системы; 2) найти алгебру инвариантности образованного уравнения;
3) посредством обратного преобразования найти явный вид базисных элементов
алгебры инвариантности для исходного уравнения.
Все утверждения, приведенные ниже, будут доказаны с помощью этого алго-
ритма.
2. Конформная алгебра. Докажем, что уравнение Ламе (3) инвариантно отно-
сительно 15-мерной алгебры Ли.
Теорема 1. Уравнение (3) инвариантно относительно 15-мерной конформной
алгебры Ли C(15), базисные элементы которой задаются интегро-дифферен-
циальными операторами
1/2
2
sa pa
1+??
P0 = p0 , Pa = p a , a = 1, 2, 3,
p
Jab = xa pb ? xb pa , D = xµ pµ + i,
? ? ?

?1/2
2 2
sa p a sa pa
1+?? 1+?? x0 pa ? xa p0 (10)
J0a = ? ? ,
p p
30 В.И. Фущич, В.В. Наконечный
? ?
?1/2
? ? 1/2
2 2
sa pa sa pa
K0 = ? x2 ? 1 + ? ? p0 + 2 1 + ? ?
?0 x0 D,
?
? ?
p p
2
sa pa
Ka = ? 1+?? x2 ? x2
?0 ?a pa + 2?a D,
x
p

где x2 ? x2 + x2 + x2 , а операторы xa определяются выражениями:
?a ?1 ?2 ?3 ?
1 s3a p0 s3b pb sab pb
xa = W ?1 xa W = xa ? ? ?
? + , a = 1, 2,
m2
m p p p(p + p3 ) (11)
x0 = W ?1 x0 W = x0 , x3 = W ?1 x3 W = x3 ,
? ? mu = 0.
Доказательство. Следуя нелиевскому алгоритму, преобразуем уравнение (3) с
помощью такого унитарного интегрального преобразования
(s3a pa )2
s3a pa s3a pa
? ?1+i ?
W = exp i , a = 1, 2,
m p p(p + p3 )
(12)
m 1/2
m = p2 + p2
? = arctg , , sab = ?abc sc .
1 2
p3
Действуя слева оператором W на уравнение (3) и используя тождество Хаусдор-
фа–Кемпбелла
?
{A, B}m
(exp A)B exp(?A) = ,
m! (13)
m=0

{A, B}(m) = [A, {A, B}(m?1) ]? , {A, B}(0) = B,
получаем
p2 v(t, x) = H c v(t, x), (14)
v = W u,
0

H c = W HW ?1 = 1 + ? ? s2 p2 . (15)
3

Поскольку s2 — диагональная матрица, то система (14) расщепляется на три
3
независимых уравнения второго порядка.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что множество операторов
{QA }, удовлетворяющих условию инвариантности
(8 )
[L , QA ]? v = 0,
где
L = p 2 ? H c = p 2 ? 1 + ? ? s2 p 2 , (16)
?0 3?
0

имеет следующую явную структуру
1/2
P 0 = 1 + ? ? s2 p0 , Pa = p a , a = 1, 2, 3,
3

Jab = xa pb ? xb pa , D = xµ pµ + i,
?1/2
J0a = 1 + ? ? s2 1 + ? ? s2 x0 pa ? xa p0 , (17)
3 3
?1/2 1/2
K0 = ? x2 ? 1 + ? ? s2 x2 p0 + 2 1 + ? ? s2 x0 D ,
0 3 a 3

Ka = ? 1 + ? ? s2 x2 ? x2 pa + 2xa D ,
3 0 a
Теоретико-алгебраический анализ уравнений Ламе 31

где x2 = x2 + x2 + x2 . Операторы (17) — дифференциальные операторы первого
a 1 2 3
порядка и удовлетворяют коммутационным соотношениям 15-мерной конформной
алгебры C(15) (см., например, [5])
[Jµ? , P? ]? = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
[Pµ , P? ]? = 0,
[Jµ? , J?? ]? = i(g?? Jµ? + gµ? J?? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ),
[Jµ? , K? ]? = i(g?? Kµ ? gµ? K? ), (18)
[Kµ , K? ]? = 0,
[Kµ , P? ]? = 2i(gµ? D ? Jµ? ), [Jµ? , D ]? = 0,
[D , Kµ ]? = ?iKµ ,
[D , Pµ ]? = iPµ , µ, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3,
где gµ? = diag(1, ?1, ?1, ?1) — метрический тензор псевдоевклидова пространства
E(1, 3).
Явный вид операторов конформной алгебры для исходного уравнения (3) полу-
чается с помощью обратного преобразования
QA = W ?1 QA W, (19)
A = 1, 2, . . . , 15.
По формулам (19) находим базисные элементы алгебры инвариантности уравнения
Ламе, которые, в отличие от (2), — интегро-дифференциальные операторы.
Замечание 1. Инвариантность уравнения (3) относительно конформной алгебры
C(15) вовсе не означает, что это уравнение инвариантно относительно собственно
конформных, локальных преобразований
xµ ? ?µ x? x?
(20)
xµ = , µ = 0, 1, 2, 3,
1 ? 2?? x? + ?? ?? x? x?
?µ — параметры преобразования. Теорема 1 утверждает лишь то, что на множестве
решений уравнения (3) реализуется представление конформной алгебры, заданное
формулами (10). Операторы порождают нелокальные преобразования для коорди-
нат и вектор-функции u(t, x).
Замечание 2. Преобразованное уравнение (14) — система дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка, поэтому оно может быть ис-
следовано методом Ли–Овсянникова. На этом пути возможен синтез классическо-
го метода Ли с нелиевским методом [4]. Действительно, изучив групповые свой-
ства уравнения Ламе в канонической форме с помощью метода Ли–Овсянникова,
используя оператор преобразования (12), по найденной алгебре Ли группы инва-
риантности уравнения (14) найдем нелиевскую алгебру инвариантности исходного
уравнения (3).
3. Алгебра Галилея. Докажем, что уравнение Ламе инвариантно относительно
10-мерной алгебры Галилея.
Теорема 2. Уравнение Ламе инвариантно относительно алгебры Галилея
G(10), базисные элементы которой задаются интегро-дифференциальными
операторами
p2
? = 0, Jab = xa pb ? xb pa ,
P0 = , Pa = p a , a = 1, 2, 3, ? ?
2?
(21)
1/2
2
?1 ?pa
sa pa
1+?? ? ? xa ,
Ga = , J0a = x0
? ?
2p p p
+

где ? — произвольное число, а xa , x0 определяются формулами (11).
??
32 В.И. Фущич, В.В. Наконечный

Доказательство. Так же как и при доказательстве теоремы 1 используем урав-
нение Ламе в диагональной форме (14). Для того, чтобы доказать теорему, до-
статочно явно указать набор операторов {QA }, образующих алгебру Ли группы
Галилея и удовлетворяющих условию
(8 )
[L , QA ]? v = 0, A = 1, 2, . . . , 10.
Нетрудно убедиться, что операторы
p2
, ? = 0, Jab = xa pb ? xb pa ,
P0 = Pa = p a , a = 1, 2, 3,
2?
(22)
?1 ?pa
1/2
= 1 + ? ? s2 ? ?xa ,
Ga = , J0a x0
3
2p p
+

где J0a определяются формулами (17), образуют алгебру Галилея
[Jab , Jcd ]? = i(?ac Jbd + ?bd Jac ? ?bc Jad ? ?ad Jbc ), [Jab , P0 ]? = 0,
[Jab , Pc ]? = i(?ac Pb ? ?bc Pa ), (23)
[Pa , Pb ]? = 0, [Ga , P0 ]? = 0,
[Jab , Gc ]? = i(?ac Gb ? ?bc Ga ), [Pa , Gb ]? = i??ab , [Ga , Gb ]? = 0
и удовлетворяют условию (8 ). Явный вид базисных элементов алгебры Гали-
лея (21), удовлетворяющих условию инвариантности (8), получен с помощью опе-
ратора преобразования (12).
Замечание 3. Так же, как и в теореме 1, инвариантность уравнения (3) отно-
сительно алгебры Галилея G(10) не означает, что оно инвариантно относительно
локальных преобразований Галилея
(24)
xa = Rab xb + va t + ba , Rab Rbc = ?ac , t = t + b0 ,
Rab , va , ba , b0 — параметры, задающие преобразование Галилея.
4. Негеометрическая алгебра инвариантности. Найденная нами в предыду-
щих пунктах алгебра инвариантности уравнения Ламе порождает нелокальные
преобразования независимых (t, x) = (t, x1 , x2 , x3 ) и зависимых переменных u =
(u1 , u2 , u3 ). В некотором смысле такую симметрию уравнения (1) можно назвать
геометрической [1], поскольку она возникла из-за наличия симметрии относитель-
но пространственных координат (x1 , x2 , x3 ) в уравнении (1).
Оказывается, что уравнение Ламе обладает алгеброй инвариантности, обуслов-
ленной симметрией только зависимых переменных (u1 , u2 , u3 ). Эту последнюю ал-
гебру инвариантности естественно назвать негеометрической алгеброй инвариан-
тности.
Теорема 3. Уравнение Ламе (3) инвариантно относительно четырехмерной
алгебры Ли группы GL(2), базисные элементы которой имеют вид
1? sa pa
? ?
?1 = ??12 , (?22 ? ?11 ), (25)
?0 = I, ?2 = ?3 = ,
2 p
где
sa pa
?ab = W ?1 ?ab W = sa sb + sb sa ? ?ab , s3 = W ?1 s3 W =
? ?? ?? ? ,
p
(26)
pa pa p3
?1
sa W = sa ? s3 + 2 ? 1 (sb pb ),
sa = W
? a = 1, 2.
p m p
Теоретико-алгебраический анализ уравнений Ламе 33

Доказательство. Оператор Lc уравнения Ламе в диагональном представлении
имеет вид
?2 ?? ?
p0 ? ?p2 0 0 u1
a
Lc u = ? ? ? u2 ? = 0.
p2 ? ?p2 (27)
0 0
a
0
p0 ? (1 + ?)pa
2 2
0 0 u3
Из (27) следует, что множество всех невырожденных 3 ? 3 матриц вида
? ?
a11 a12 0
A = ? a21 a22 0 ? (28)

<< Предыдущая

стр. 7
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>