<< Предыдущая

стр. 70
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где ?a ?a = ??? ? ? = ?2 = 0, la la = ?a ?a = 0, ?a la = ?a ?a = la ?a = ?? ? ? = 0,
?? ? ? = 0, (la ya )2 + (?a ya )2 = l2 ?2 .
(?a ya )2
?
(1.6)
6. ?1 = ?? x , ?2 = + ya ya , ?3 = x0 + b6 ln ?a xa ,
??2
где ?a ?a = ??? ? ? = ?2 = 0, ?? ? ? = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?? ? ? = 0.
(?a ya )2
?1 = ?? x? ,
7. ?2 = + b 7 la y a ,
2
(1.7)
(?a ya )3
+ b7 ?a ya la ya ? b2 ?a ya ,
?3 = 7
3
где ?? ? ? = 0, la la = ?a ?a = ?a ?a = l2 = 0, ?a ?a = ?a la = 0.
la xa
?3 = x0 ? b8 arctg (1.8)
8. ?1 = ?a xa , ?2 = xa xa , ,
?a xa
где ?a ?a = ?2 = 0, la la = ?a ?a = l = 0, ?a la = ?a ?a = la ?a = 0.
ya
(1.9)
9. ?a = , a = 1, 3.
y0
302 В.И. Фущич, М.М. Серова

?1 = ?? x? , (1.10)
10. ?2 = ?a xa , ?3 = ?a xa ,

где ?? ?? = ?2 = 0, ?a ?a = ? 2 = 0, ?a ?a = ? 2 = 0, ?a ?a = b9 , ?a ?a = b10 ,
?a ?a = b11 .
B формулах (1.1)–(1.10) y? = x? + a? , z? = x? + 1 a? , a? , bk , ?a , la , ?a , ?? , ?? ,
2
?? — постоянные, которые выражаются через параметры группы cµ? и dµ .
Для того чтобы найти функции f (x) и g(x) в формуле (0.12), нужно проинте-
грировать уравнение
du
(1.11)
= dt.
?
Используя явный вид ?, находим из (1.11) функции f (x) и g(x).
§ 2. Решения уравнения (0.10)
Рассмотрим уравнение (0.10) в четырехмерном пространстве x = (x0 ? t, x1 ,
x2 , x3 ). Решения уравнения (0.10) ищем по формуле (0.12). Из явного вида ? и
формулы (1.11) следует, что f (x) ? 1 для всех десяти случаев, g(x) = ? ln y0
случаев 1–4, а для остальных g(x) ? 0.
Итак, решения уравнения (7) ищем в виде

(1.12)
u = ?(?) + g(x).

Подставляя (1.12) в (0.10), для функции ? получаем дифференциальное уравнение
в частных производных относительно новых инвариантных переменных ?1 , ?2 , ?3 :

? ab (?)?ab + ? a (?)?a + ?(?) + ? exp ?(? 0a (?)?a + 1) = 0, (1.13)

где
? a (?)g0 exp g = 2?a ,
? ab (?)g0 exp g = ?a? ?b ,
?

?(?)g0 exp g = 2g, ? 0a (?)g0 = ?a0 .

Для первых 6 случаев инвариантов ? уравнения для функции ? имеют вид:

? 2 b2
? ? )?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 ? 1? 2 1
2 2 2
1. (?1 ?3 ?33 +
? ?2 ? ?1 2

+4?1 (?2 ? 1)?12 ? 4?2 ?3 ?23 + 6(?2 ? 1)?2 + 2?1 ?1 ? (1.14)
? 2 b2 ? 3
? ? + ?(??1 ?1 + 2?2 ?2 + ?3 ?3 ? 1) exp ? + 1 = 0.
1
2 ? ? ?2 3
?2 1

b2
?1 ?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 + 2 ?33 + 4?1 (?2 ? 1)?12 ? 4b2 ?23 +
2
2.
?1 (1.15)
+2?1 ?1 + 6(?2 ? 1)?2 ? ?(?1 ?1 + 2?2 ?2 + 1) exp ? + 1 = 0.

(?1 + ?2 )?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 + b2 ?3 ?33 + 4?1 (?2 ? 1)?12 +
2 2
3. 3

+2b3 ?1 ?3 ?13 + 4?3 (b3 ?2 ? 1)?23 + 2?1 ?1 + 6(?2 ? 1)?2 + (1.16)
+b3 (b3 + 1)?3 ?3 ? ?(?1 ?1 + 2?2 ?2 + b3 ?3 ?3 + 1) exp ? + 1 = 0.
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 303

(?1 + ?2 )?11 + 4?2 ?22 + b2 ?33 + 4?1 ?2 ?12 + 2b4 ?1 ?13 +
2 2
4. 4

+4b4 ?2 ?23 + 2?1 ?1 + 6?2 ?2 + b4 ?3 ? (1.17)
??(?1 ?1 + 2?2 ?2 + b4 ?3 + 1) exp ? + 1 = 0.

b5
??11 + ?2 ?22 + 1 ?
5. ?33 +
?2 (1.18)
+2?0 ?13 ? 4?2 + ?(?0 ?1 + ?3 ) exp ? = 0.

??11 + ?2 ?22 + 2?0 ?13 + ?33 ?
6.
(1.19)
?4b6 ?23 ? 4?2 + ?(?0 ?1 + ?3 ) exp ? = 0.

Если найти хотя бы частное решение любого из уравнений (1.14)–(1.19), то по
формуле (1.12) найдем решение уравнения (0.10).
Рассмотрим уравнение (1.14). Если предположить, что ??/??2 = ??/??3 = 0,
то из (1.14) для функции ? получим ОДУ второго порядка

(?1 ? ?2 )?11 + 2?1 ?1 ? ?(?1 ?1 + 1) exp ? + 1 = 0.
2
(1.20)

Интегрируя уравнение (1.20), имеем

(?1 ? ?2 )?1 ? ??1 exp ? = ??1 + c1 ,
2


где c1 — постоянная интегрирования. Последнее уравнение подстановкой

(1.21)
? = ln v

приводится к уравнению Бернулли

(?1 ? ?2 )v + (?1 ? c1 )v ? ??1 v 2 = 0,
2


общее решение которого
?1
???1 d?1
??c1 ?+c1
v = (?1 ? ?) (1.22)
(?1 + ?) .
2? 2?
3??c1 3?+c1
(?1 ? ?) (?1 + ?)
2? 2?



B зависимости от значений постоянной c1 из (1.22) в силу (1.21), имеем следу-
ющие решения уравнения (1.12):
? ?1 + ? ?
? = ? ln (w ± ?) ln c2 c1 = ±?,
+ ,
?1 ? ?
4? 2
(1.23)
? = ? ln c2 ?1 ? ? 2 + ? ,
2 c1 = 0.

Тогда из (1.23) и (1.12) получим решения уравнения (0.10):
? ?a ya + ?y0 ?
u = ? ln (?a ya ± ?y0 ) ln c2 + ,
?a ya ? ?y0
4? 2

u = ? ln c2 (?a ya )2 ? ?2 y0 + ? .
2
304 В.И. Фущич, М.М. Серова

?? ??
Если в уравнении (1.15) положить = 0, то получим обыкновенное
=
??2 ??3
дифференциальное уравнение (ОДУ)

?1 ?11 + 2?1 ?1 ? ?(?1 ?1 + 1) exp ? + 1 = 0,
2


общее решение которого имеет вид
?1 c1
? = ? ln ?? (1.24)
c2 exp ,
c1 ?1
где c1 , c2 — постоянные интегрирования. Тогда из (1.24) и (1.12) имеем решение
уравнения (0.10)
?a ya c1 y0
u = ? ln ??
c2 exp .
c1 y0 ?a ya
?? ??
Рассмотрим уравнение (1.16), положив = 0. Тогда для функции ?
=
??2 ??3
получим ОДУ

(?1 + ?2 )?11 + 2?1 ?1 ? ? exp ?(?1 ?1 + 1) + 1 = 0,

которое интегрированием приводится к уравнению Бернулли

(?1 + ?)v + (?1 ? c1 )v ? ??1 v 2 = 0,
2
(1.25)
? = ln v.

Решая (1.25), получаем
c1 ?1
?1 + ?2 c2 exp ? ?
2 arctg
v=
? ?
?1
?2
?c1 ?1 1
?2 ? ,
c2 + ?2
c1 + ?2 c1 2
?1 + ? 2
1

а
c1 ?1
? = ? ln ?1 + ?2 c2 exp ? ?
2 arctg
? ?
(1.26)
?2
?c1 ?1 1
?2 ? .
c2 + ?2
c1 + ?2 c1 2
?1 + ? 2
1

Из (1.26) и (1.12) имеем решение уравнения (0.10):
c1 ?a ya
? = ? ln c2 (?a y a )2 + ?2 y0 exp ? ?
2 arctg
? ?y0
?2
?c1 ?a ya y0
? ? .
c2 (c2 + ?2 ) y0 (c2 + ?2 ) c1 2
(?a ya )2 + ?2 y0
1 1

?? ??
Если в уравнении (1.16) положить = 0, то для функции ? получим
=
??1 ??2
следующее ОДУ:

b3 ?3 ?33 + b3 (b3 + 1)?3 ?3 ? ? exp ?(b3 ?3 ?3 + 1) = 0. (1.27)
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 305

Подстановкой ?3 = tb3 уравнение (1.27) приводится к уравнению (1.20), в котором
?1 нужно заменить на t. Из (1.20) имеем
1/b
?3 3 c1
? = ? ln ?? (1.28)
c2 exp .
1/b3
c1 ?3
Из (1.28) и (1.12) получаем решение уравнения (0.10):

<< Предыдущая

стр. 70
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>