<< Предыдущая

стр. 71
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(?a ya )1/b3 c1 y0
u = ? ln ??
c2 exp .
(?a ya )1/b3
c1
?? ??
Если в уравнении (1.17) = 0, то получим ОДУ
=
??1 ??2

b2 ?33 + b4 ?3 ? ? exp ?(b4 ?3 + 1) + 1 = 0, (1.29)
4

которое заменой

?3 = ln t, t = exp ?3

приводится к уравнению (1.27). Из (1.28) получим решение уравнения (1.29)
exp a?3 c1
? = ? ln ?? (1.30)
c2 exp , a = 1/b4 .
c1 a?3
Тогда, в силу (1.12), из (1.30) имеем решение уравнения (0.10):
exp a?a xa c1 x0
u = ? ln ??
c2 exp .
c1 ?a xa
Для уравнений (1.18) и (1.19) удалось найти частные решения. В результате
имеем следующее решение уравнения (0.10):
µ ??0
u = ? ln + c2 exp(?c1 ?? x? ) , µ= ,
c1 ?
?
+ c2 (?a xa )?c1 b6 exp(?c1 x0 ) .
u = ? ln
c1
Нетрудно убедиться, что решениями уравнения (0.10) будут функции
y0
u = ? ln f (?a ya ) c2 exp ?? (1.31)
,
f (?a ya )

?
+ c2 (g(?a xa ) exp x0 )?c1 ,
u = ? ln (1.32)
c1

где f и g — произвольные дифференцируемые функции, ?a и ?a — параметры,
удовлетворяющие условию ?a ?a = ?a ?a = 0. Формулы (1.31) и (1.32) описывают
целые массы решений уравнены (0.10).
Отметим, что полученные решения будут решениями уравнения (0.10) в n-
мерном пространстве.
306 В.И. Фущич, М.М. Серова

§ 2. Решения уравнения (0.11)
Рассмотрим нелинейное уравнение (0.11) в пространстве переменных (x0 , x1 ,
x2 , x3 ). Аналогично, как и в предыдущем параграфе, используем формулу (1.12),
явный вид инвариантов ?(x) (1.1)–(1.10) и значения функции g(x) = b ln y0 для
случаев 1)–4) и g(x) = b?0 x0 для случаев 5), 6) При этом для функции ?(?)
получим следующие ДУЧП:
? 2 b2
(?1 ? ?2 )?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 ? ?3 1 ? ?33 ?
1
2 2
1) 2 ? ? ?2
?2 1

?4?1 (1 ? ?2 )?12 ? 4?2 ?3 ?23 + 2?1 ?1 ? 6(?2 ? 1)?2 ?
v
? 2 b2 ? 3 ?b1 ?3 (2.1)
? 2 1 2 ?3 + ?b ??1 + 2 ?2 ?2 + ?3 +
? ?2 ? ?1 ? 2 ?3 ? 2
?1

v ?b1 ?3
+? ???1 ?2 ? 4?2 ?2 ?2 + ?2 = b;
1 2 3
? 2
?2 ? ?1
2

?
?1 ?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 ?2 ?33 + 4?1 (?2 ? 1)?12 ? 4b2 ?23 + 2?1 ?1 +
2
2)
?1
(2.2)
v
?
+6(?2 ? 1)?2 ? ?b 2?2 ?2 + ?3 + ? ?4?2 ?2 ?2 = 0;
2
?1

(?1 + ?2 )?11 + 4?2 (?2 ? 1)?22 + b2 ?3 ?33 + 4?1 (?2 ? 1)?12 +
2
3) 3

+4?3 (b3 ?2 ? 1)?23 + 2?1 ?1 + 6(?2 ? 1)?2 + b3 (b3 + 1)?3 ?3 + (2.3)
v v
+?b (??1 + 2 ?2 ?2 ) ? ? ??1 ?2 + 4?2 ?2 ?2 = b;
1 2

(?1 + ?2 )?11 + 4?2 ?22 + b2 ?33 + 4?1 ?2 ?12 + 2b4 ?1 ?13 +
2 2
4) 4
(2.4)
+4b4 ?2 ?23 + 2?1 ?1 + 6?2 ?2 + b4 ?3 + ?b??1 ? ??1 ?1 = b;

?2
?1 ?11 ? 4?2 ?22 + 1 ? ?33 + 2?0 ?13 ? 4?2 + ?b ???0 ??1 ?
5)
?2
(2.5)
v b5 ? ?5 ?
?2i??0 ?2 ?2 + + ? ??0 ??2 + ?2
2? = b;
? 2 ?2 ? ?1 2 ? ? ?2 3
1
?2 1


??11 ? 4?22 ?22 + 2?0 ?13 + ?33 ? 4b6 ?23 ? 4?2 +
6)
v (2.6)
+?b (???0 ??1 ? 2?i?0 ?2 ?2 ) + ?(??0 ??2 ) = b.
1

?? ??
Рассмотрим уравнение (2.1). Предположим, что = 0, для функции ?
=
??2 ??3
получим ОДУ
(?1 ? ?2 )?11 + [2?1 + ?b?]?1 ? ???1 = b,
2 2
(2.7)
которое заменой
(2.8)
?1 = z(?1 )
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 307

приводим к уравнению Риккати
(?1 ? ?2 )z + [2?1 ? ?b?]z ? ???1 z 2 = b.
2
(2.9)
Так как функция
b ?b? ?
± ?2 b2 + 4,
z0 = , d=
?1 + d 2 2
является частным решением уравнения (2.9), то подстановкой z = y ?1 (?1 ) + z0 оно
приводится к линейному уравнению относительно функции y(?1 ).
В случае b = 0 уравнение (2.9) является уравнением Бернулли
(?1 ? ?2 )z + 2?1 z ? ??1 z 2 = 0,
2


общее решение которого, как известно, имеет вид
?1
?? c1
(2.10)
z= +2 .
?1 ? ? 2
2
Тогда, в силу (2.8), из (2.10) получим решение уравнения (2.7) для b = 0
d?1
?=
? ?2 + ??
2
?1 2c1

или
1 ?1 ??
??2 + = c2 ,
arctg (2.11)
?= + c2 ,
cc1 c 2c1
где c1 , c2 — постоянные интегрирования.
Из (2.11) и (1.12) имеем решения уравнения (0.11)
1 ?a ya
arctg
u= + c2 ,
cc1 cy0
?a ya ? cy0
1
u= ln c2 .
2cc1 ?a ya + cy0
?? ?? ??
Если в уравнении (2.1) = 0, а = 0, то для функции ? получим
=
??2 ??1 ??3
ОДУ
v v
4?2 (?2 ? 1)?22 + [6(?2 ? 1) + 2b? ?2 ] ?2 ? 4??2 ?2 ?2 = b, (2.12)
которое подстановкой
(2.13)
?2 = z(?2 )
приводится к уравнению Риккати
v v
4?2 (?2 ? 1)z + [6(?2 ? 1) + 2b? ?2 ] z ? 4??2 ?2 z 2 = b. (2.14)
Решением уравнения (2.14), в случае b = 0, будет функция
?1
c1 ?2
3/2
(2.15)
z= ??2 ln .
?2 ? 1
308 В.И. Фущич, М.М. Серова

Из (2.15) и (2.13) имеем решение уравнения (2.12) для b = 0:
2 dt 1
t= v , c1 = const. (2.16)
?= ,
ln c1 (1 ? t2 )
? ?2
1

Из (2.16) и (1.12) получим решение уравнения (0.11)
2 dt y0
t= v
u= , .
1?t2
? ya ya
ln c1
?? ??
Полагая в (2.2) = 0, для функции ? имеем ОДУ
=
??2 ??3
2
?1 ?11 + 2?1 ?1 = b,
общее решение которого
c1
? = b ln ?1 ? c1 , c2 = const,
+ c2 ,
?1
т.e., согласно (1.2),
c1 y0
u = b ln ?a ya ? + c2 .
?a ya
Для уравнений (2.3)–(2.6) удалось найти частные решения:
c1 y0
u = b ln(?a ya )1/b3 + + c2 ,
(?a ya )1/b3
где ?a ?a = 0;
?a xa
u = c1 y0 exp ? ,
b4
где ?a ?a = 0;
1
ln [c1 exp(b5 ? ??0 x0 ) + c2 exp(b5 ? ?a xa )] ,
u=
c
v
??0 ?a ?a
?? ? ? = ? = 0;
где c = ,
?2

exp t ?a ya
u = 2c1 dt + b?0 x0 , t = ?ib?0 + ya ya ,
??2
t
где ?a ?a = ??2 = 0;
u = c1 x0 + c2 ln ?a za ,
где ?a ?a = 0;
v
1 ?1
u = c1 exp dt + b?0 x0 , t = [?b?0 xa xa ] .
t
В приведенных выше решениях c1 , c2 — произвольные постоянные.
Легко проверить, что решением уравнения (0.11) будет функция

<< Предыдущая

стр. 71
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>