<< Предыдущая

стр. 72
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = f1 (?a xa )x0 + f2 (?a xa ), ?a ?a = 0,
где f1 , f2 — произвольные дважды дифференцируемые функции.
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 309

§ 3. Инварианты расширенной группы Галилея
В данным параграфе построены инварианты ?(x) = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)} ра-
?
сширенной группы Галилея G(1, 3) = {G(1, 3), D(1)}, т.е. группы Галилея, до-
полненной группой масштабных преобразований D(1). Эти инварианты исполь-
зуются в последующих параграфах для построения точных решений уравнений
Гамильтона–Якоби и трехмерных уравнений газовой динамики.
?
Инфинитезимальные преобразования группы G(1, 3) имеют следующий вид:

xµ = xµ + ?? µ (x) + o ?2 ,
? µ (x) = cµ? x? + dµ ,
?
где cµ? , dµ , µ, ? = 0, 3 — постоянные параметр группы G(1, 3), причем c0a = 0,
c00 = 2c11 = 2c22 = 2c33 , cab = ?cba , a = 1, 3.
Процесс интегрирования уравнений Лагранжа для получения явных выраже-
ний для ?(x) = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)} мы опускаем. Приведем только окончатель-
ный результат.
?
В зависимости от соотношений между параметрами cµ? и dµ группы G(1, 3)
будем иметь несколько случаев:
?a xa ? ?a Aa (y0 ) + ?a Ba (y0 )
?a ya + by0
v v
1. ?1 = , ?2 = ,
y0 y0
(3.1)
?a xa ? ?a Aa (y0 ) ? ?a Ba (y0 )
v
?3 = ,
y0

где Aa (y0 ) = c(?a y0 ? ?a ), Ba (y0 ) = ?(?a y0 + ?a ), ? = (??2 cos z0 ? ?1 ?3 sin z0 ;
???1 cos z0 ? ?2 ?3 sin z0 ; (?2 ? ?3 ) sin z0 ), ? = ?z0 , z0 = 2c ln y0 , ?a , ?a , ?a , b, c —
?? ?
2

постоянные, ?a ?a = ?2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = ? 2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0,
a = 1, 3.
?a xa ? ?a A? (y0 ) ?a xa ? ?a A? (y0 ) + a?a A+ (y0 )
va a a
v
2. ?1 = , ?2 = ,
y0 y0
(3.2)
?a xa ? ?a A? (y0 ) + 2a?a A+ (y0 ) ? 2a2 ?a A? (y0 )
a
va a
?3 = ,
y0

где A± (y0 ) = ?a y0 ± ?a , ? = (?2?1 ? 2?2 z0 + ?1 z0 ; ?2?2 + 2?1 z0 + ?2 z0 ; ?3 z0 ),
2 2 2
a
d? d?
? = 2dz0 , ? = dx0 , z0 = a ln y0 , ?a , ?a , ?a , a — постоянные, ?a ?a = ? 2 = 0,
2
2
?a ?a = ? = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, a = 1, 3.
?a za ? b? y0
?a ya + by0 ?a za + b+ y0
v
3. ?1 = , ?2 = , ?3 = , (3.3)
a a
y0 + y0 ?
y0

где ?a , ?a , b, b+ , b? , a+ , a? — постоянные, ?a ?a = ??2 = 0, ?a ?a = ? 2 = 0,
?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, a = 1, 3.
?a ya + b1 y0
v
4. ?1 = , ?2 = ?a xa + b2 y0 + b3 ln y0 ,
y0
(3.4)
?a ya
?3 = + b4 ln y0 ,
y0
310 В.И. Фущич, М.М. Серова

где bi , i = 1, 4, ?a , ?a , ?a — постоянные, ?a ?a = ??2 = 0, ?a ?a = ? 2 = 0,
?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, a = 1, 3.

?1 = ax2 + bcx0 + ?a xa ,
5. ?2 = ?a ya + ?a Aa (x0 ),
0
(3.5)
?3 = ?a ya + ?a Aa (x0 ),

где Aa (x0 ) = ?a x0 + da , a, b, c, ?a , da — постоянные, ?a , ?a , ?a те же, что в
формуле ( 3.1), z0 = bx0 , a = 1, 3.

?2 = (?a ya ? ?a Aa (x0 )) exp bx0 ,
?1 = ax2 + bcx0 + ?a xa ,
6. 0
(3.6)
?3 = (?a ya + ?a Aa (x0 )) exp(?bx0 ),

где Aa (x0 ) = ?a x0 + da , a, b, c, ?a , da , ?a , ?a , ?a — постоянные, ?a ?a = ??2 = 0,
?a ?a = ? 2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, a = 1, 3.

?1 = x0 ? ?a xa , ?2 = x0 ? ?a xa , ?3 = x0 ? ?a xa , (3.7)
7.

где ?a , ?a , ?a — постоянные, a = 1, 3.
?a ya ?a ya ?a ya
?1 = v , ?2 = v , ?3 = v ,
8. (3.8)
y0 y0 y0

где ?a , ?a , ?a — постоянные, a = 1, 3.
a2
В приведенных формулах y? = x? + a? , za = xa + 2, a? — произвольные
постоянные, a = 1, 3, ? = 0, 3.
§ 4. Точные решения трехмерных уравнений газовой динамики
Уравнения, описывающие изэнтропические движения газа, имеют вид
1
u0 + (u?)u + ?p = 0,
? (4.1)
?0 + div (?u) = 0, p = f (?),

где u = u(x) ? {u1 (x), u2 (x), u3 (x)} — скорость pacпpoстpaнeния, ?(x) — пло-
тность, p(x) — давление газа, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ).
В работе [5] установлено, что если

p = ??5/3 , ? = const, (4.2)

то уравнения (4.1) инвариантны относительно 16-мерной алгебры Ли, базис кото-
рой задается операторами

Jab = xa ?b ? xb ?a + ua ?ub ? ub ?ua , (4.3)
?µ , µ = 0, 3,

(4.4)
Ga = x0 ?a + ?ua ,

D0 = 2x0 ?0 + xa ?a ? 3??? ? ua ?ua , (4.5)

D1 = x0 ?0 ? 3?0 ?? ? ua ?ua , (4.6)

A = x0 (x0 ?0 + xa ?a ? 3??? ? ua ?ua ) + xa ?ua , (4.7)
a = b, a = 1, 3;
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 311

в случае
2?
(4.8)
p= ?
?
уравнения (4.1) инвариантны относительно 15-мерной алгебры Ли, образуемой опе-
раторами (4.3), (4.4) и (4.9), (4.10):
2
D0 = 2x0 ?0 + xa ?a ? ??? ? ua ?ua , (4.9)
??1
2
D1 = x0 ?0 ? ??? ? ua ?ua ; (4.10)
??1
в случае

(4.11)
p = f (?),

где f — произвольная дифференцируемая функция, уравнения (4.1) инвариантны
относительно 13-мерной алгебры Ли, базисные операторы которой имеют вид (4.3),
(4.4). Эта алгебра изоморфна алгебре Галилея G(1, 3).
Рассмотрим систему уравнений (4.1) в случае политропного газа, т.е. когда
давление p задается формулой (4.8):

u0 + (u?)u + ????2 ?? = 0,
(4.12)
?0 (u?)? + ? div u = 0.
Решение системы (4.12) ищем в виде
u(x) = A(x)?(?) + B(x),
?(x) = f (x)?0 (?),

где u(x), ?(?) — вектор-столбцы, A(x), B(x) — известные матрицы размерности
(3?3) и (3?4) соответственно, f (x) — известная функция или, в векторной форме

u(x) = M (x0 )?1 (?) + N (x0 )?2 (?) + L(x0 )?3 (?) + B(x0 ),
(4.13)
? ? u0 = yo ?0 (?).
k


Отметим, что функции M , N , L, B и постоянная k принимают различные значения
в зависимости от вида инвариантов (§ 3). Приведем их вид для каждого из случаев
значений инвариантов ?(x):

? ? ? 1
M (x0 ) = v , N (x0 ) = v , L(x0 ) = v , B(x0 ) = v, k =
1) ,
1??
y0 y0 y0
где ?a v a = ?b, ?a v a = c?a ?a ? ??a ?a , ?a v a = c?a ?a + ??a ?a ;

? ? ? 1
M (x0 ) = v , N (x0 ) = v , L(x0 ) = v , B(x0 ) = v, k =
2) ,
1??
y0 y0 y0

где ?a v a = ?a ?a , ?a v a = ?a ?a ? a?a ?a , ?a v a = ?a ?a ? 2a?a ?a + 2a2 ?a ?a ;
312 В.И. Фущич, М.М. Серова

? ? ? 1
M (x0 ) = v , N (x0 ) = a+ , L(x0 ) = a? , B(x0 ) = v, k =
3) ,
1??
y0 y0 y0
где ?a v a = ?b, ?a v a = ?b+ , ?a v a = ?b? ;
? ?
M (x0 ) = v , N (x0 ) = , L(x0 ) = ?,
4)
y0 y0
b2 b4 1
B(x0 ) = ?? 2 ? ? 2 ln y0 , k = ;
1??
? ?
2a
M (x0 ) = ?, N (x0 ) = ?, L(x0 ) = ?, B(x0 ) = ?
5) x0 ? + v, k = 0,
?2
где ?a v a = 0, ?a v a = ?a ?a , ?a v a = ??a ?a ;
6) M (x0 ) = ?, N (x0 ) = exp(?bx0 )?, L(x0 ) = exp(bx0 )?,
2ax0
B(x0 ) = ? + v, k = 0,
?2
где ?a v a = 0, ?a v a = ?a ?a , ?a v a = ??a ?a ;
7) M (x0 ) = e1 , N (x0 ) = e2 , L(x0 ) = e3 , B(x0 ) = 0, k = 0,
где ea , a = 1, 3 — единичные орты;
e1 e2 e3 1
M (x0 ) = v , N (x0 ) = v , L(x0 ) = v , B(x0 ) = 0, k =
8) .
1??
y0 y0 y0
Подставляя (4.13) в (4.12) и используя явный вид ?(x) = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}
(см. (3.1)–(3.8)), значения функций M (x0 ), N (x0 ), L(x0 ), B(x0 ) и постоянной
k, для неизвестных функций ?(?) ? (?0 (?), ?(?)) получаем следующие системы
уравнений:
?
1. (2?2 ?1 ? ?1 )?1 + ?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?1 ?
1 2
c
?
? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?1 ? ?1 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 1
c
?
(2?2 ?1 ? ?1 )?2 + ?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?2 ?
1 2
c
? ?
? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?2 ? ?2 ? ?3 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 2
c c
(4.14)
?
(2?2 ?1 ? ?1 )?3 + ?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?3 ?
1 2
c
? ?
? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?3 ? ?3 + ?2 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 3
c c
?
(2?2 ?1 ? ?1 )?0 + ?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?0 ?
1 2

<< Предыдущая

стр. 72
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>