<< Предыдущая

стр. 73
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

c
? 2
? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?0 ? ?0 + 2(?2 ?1 + ? 2 ?2 + ? 2 ?3 )?0 = 0.
??1
3 1 2 3
c

(2?2 ?3 ? ?1 )?1 + (a?1 ? ?2 + 2? 2 ?2 )?1 +
2. 1 2
+(2a?2 ? ?3 + 2? ? + 2? ? )?3 ? ?1 + a?2 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
21 23 1
1
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 313

(2?2 ?3 ? ?1 )?2 + (a?1 ? ?2 + 2? 2 ?2 )?2 +
1 2
+(2a?2 ? ?3 + 2? ? + 2? ? )?3 ? ?2 + 2a?3 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
21 23 2
2
(2?2 ?3 ? ?1 )?3 + (a?1 ? ?2 + 2? 2 ?2 )?3 +
1 2
(4.15)
+(2a?2 ? ?3 + 2? ? + 2? ? )?3 ? ?3 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
21 23 3
3
(2?2 ?3 ? ?1 )?0 + (a?1 ? ?2 + 2? 2 ?2 )?0 + (2a?2 ? ?3 + 2?2 ?1 +
1 2
2
+2? 2 ?3 )?0 + 2(?2 ?1 + ?2 ?3 + ? 2 ?2 + ?3 ?3 )?0 ?
3
?0 = 0.
??1
3 3 1 2 3



(2?2 ?1 + ?1 )?1 ? 2(? 2 ?3 ? a+ ?2 )?1 ?
3. 1 2
?2(? ? ? a? ?3 )?3 + ? ? 2?(? )
22 1 1 0 ??2 0
?1 = 0,
(2?2 ?1 + ?1 )?2 ? 2(? 2 ?3 ? a+ ?2 )?2 ?
1 2
?2(? ? ? a? ?3 )?3 + 2a+ ? ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
22 2 2
2
(4.16)
(2? ? + ?1 )?1 ? 2(? ? ? a+ ?2 )?2 ?
21 3 23 3

?2(? 2 ?2 ? a? ?3 )?3 + 2a? ?3 ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 3
(2? ? + ?1 )?1 ? 2(? ? ? a+ ?2 )?2 ? 2(? ? ? a? ?3 )?0 ?
21 0 23 0 22
3
2
?2(??2 ?1 + ? 2 ?2 + ? 2 ?3 )?0 + ?0 = 0.
??1
1 3 2



(2?2 ?1 + ?1 )?1 ? 2(? 2 ?2 + b3 )?1 ?
4. 1 2
?2(? ? ? ?3 + b4 )?3 + ? ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
23 1 1
1
(2? ? + ?1 )?1 ? 2(? ? + b3 )?2 ?
21 2 22 2

?2(? 2 ?3 ? ?3 + b4 )?2 + 2?2 ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 3
(2? ? + ?1 )?1 ? 2(? ? + b3 )?2 ?
21 3 22 3
(4.17)
2b4
?2(? 2 ?3 ? ?3 + b4 )?3 + 2 ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 2
?
(2?2 ?1 + ?1 )?0 ? 2(? 2 ?2 + b3 )?0 ? 2(? 2 ?3 ? ?3 + b4 )?0 +
1 2 3
2
?0 ? 2(??2 ?1 + ? 2 ?2 + ?3 )?0 = 0.
3
+
??1 1 2



(?2 ?1 + bc)?1 + (? 2 ?2 + ?3 )?1 +
5. 1 2
2a
+(? 2 ?3 ? ?2 )?1 ? 2 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 1
?
(?2 ?1 + bc)?2 + (? 2 ?2 + ?3 )?2 +
1 2
+(? ? ? ?2 )?3 ? b? + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
23 2 3
(4.18)
2
21 3 22 3
(? ? + bc)?1 + (? ? + ?3 )?2 +
+(? 2 ?3 ? ?2 )?3 + b?2 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 3
21 0 22 0
(? ? + bc)?1 + (? ? + ?3 )?2 +
+(? 2 ?3 ? ?2 )?0 + (?2 ?1 + ? 2 ?2 + ? 2 ?3 )?0 = 0.
3 1 2 3


(??2 ?1 + bc)?1 + (? 2 ?2 + b?2 )?1 +
6. 1 2
a
+(? 2 ?3 ? b?3 )?1 ? 2 2 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 1
?
314 В.И. Фущич, М.М. Серова

(??2 ?1 + bc)?2 + (? 2 ?2 + b?2 )?2 +
1 2
+(? 2 ?3 ? b?3 )?2 ? b?2 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 2
21 3 22 3
(?? ? + bc)?1 + (? ? + b?2 )?2 +
(4.19)
+(? 2 ?3 ? b?3 )?3 + b?3 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
3 3
(??2 ?1 + bc)?0 + (? 2 ?2 + b?2 )?0 +
1 2
+(? 2 ?3 ? b?3 )?0 + (??2 ?1 + ? 2 ?2 + ? 2 ?3 )?0 = 0.
3 1 2 3

(1 ? ??)?1 + (1 ? ? ?)?2 + (1 ? ? ?)?3 +
7.
+?(?0 )??2 (??0 + ??0 + ??0 ) = 0, (4.20)
1 2 3
(1 ? ??)?0 + (1 ? ? ?)?0 + (1 ? ? ?)?0 ? ?0 (??1 + ? ?2 + ? ?3 ) = 0.
1 2 3

8. (?1 + ??)?1 + (?2 + ? ?)?2 + (?3 + ? ?)?3 +
1
+ ? + ?(?0 )??2 (??0 + ??0 + ??0 ) = 0,
1 2 3
2 (4.21)
(?1 + ??)?0 + (?2 + ? ?)?0 + (?3 + ? ?)?0 +
1 2 3
1
?0 + ?0 (??1 + ? ?2 + ? ?3 ) = 0.
+
??1
Отметим, что каждая из систем уравнений (4.14)–(4.21) представляет собой
систему уравнений в частных производных для функций ?(?) относительно пе-
ременных ?1 , ?2 , ?3 , причем число переменных ?(x) на единицу меньше, чем
переменных x в уравнении (4.12). Если удается найти какое либо решение систем
(4.14)–(4.21), то тем самым по формуле (4.13) имеем решение уравнений (4.12).
??
Рассмотрим уравнения (4.14) в предположении, что ??1 = 0, т.е. ? = ?(?2 , ?3 ).
Для функций ? получим уравнения в пространстве двух независимых переменных
? = (?2 , ?3 ):
? ?
?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?1 ? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?1 ? ?1 = 0,
2 3
c c
? ?
?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?2 ? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?2 ?
2 3
c c
?
??2 ? ?3 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,2
c
? ?
?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?3 ? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?3 ?
2 3
c c
?
??3 + ?2 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,3
c
? ?
?3 ? ?2 + 2? 2 ?2 ?0 ? ?2 + ?3 + 2? 2 ?3 ?0 ?
2 3
c c
2
? ?0 + 2(? 2 ?2 + ? 2 ?3 )?0 = 0.
??1 2 3

Если же ? = ?(?1 ), то получим следующую систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:
(2?2 ?1 ? ?1 )?1 ? ?1 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
1 1
?
(2?2 ?1 ? ?1 )?2 ? ?2 ? ?3 = 0,
1
c
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 315

?2
(2?2 ?1 ? ?1 )?3 ? ?3 + ? = 0,
1
c
2
(2?2 ?1 ? ?1 )?0 ? ?0 + 2?2 ?1 ?0 = 0,
??1
1 1


частное решению которой при ? + 2 имеет вид
?1 ?
?1 = 2 , ?2 = c1 ?1 sin ln c2 ?1 ,
? c
(4.22)
?
?3 = c1 ?1 cos ?0 = c0 ,
ln c2 ?1 ,
c
где c0 , c1 , c2 — постоянные интегрирования.
Тогда из (4.13), (4.22) и (3.1) имеем решение системы (4.12) для ? = 2
c0
?= ,
y0
(4.23)
M (x) ? ? ?
u= v + ?c1 sin ln c2 M (x) + ?c1 cos ln c2 M (x) + v,
y0 ? 2 c c
где
?a ya + by0
v
M (x) = .
y0
Из (4.15), предполагая ? = ?(?1 ), получаем систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
(2?2 ?3 ? ?1 )?1 ? ?1 + a?2 + 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
1 1
(2?2 ?3 ? ?1 )?2 ? ?2 + 2a?3 = 0,
1
(2?2 ?3 ? ?1 )?3 ? ?3 = 0,
1
2
(2?2 ?3 ? ?1 )?0 + 2?2 ?3 ? ?0 = 0.
??1
1 1

Частное решение этих уравнений имеет вид
2/(??1)
?0 = c0 ?1 exp(?2?1 ),
2?c??1
a?1
?1 exp(?2(? ? 1)?1 ) + c1 ?1 ,
1 2 0
? = 2 (?1 + c2 ) +
??1
?
(4.24)
2a
?2 = ? 2 ?1 (?1 + c2 ),
?
?1
?3 = 2 ,
?
где c0 , c1 , c2 — произвольные постоянные. Тогда из (4.13), (4.24) и (3.2) имеем
решение уравнений (4.12) для любых значений ?:
1/(1??)
(B(x)2/(??1) exp(?2B(x)),
? = y0

2?c??1
a2
B(x)
exp(?2(? ? 1)B(x)) + c1 ?
2 0

<< Предыдущая

стр. 73
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>