<< Предыдущая

стр. 74
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u= v ? (B(x) + c2 ) +
??1 (4.25)
2
y0 ?
?a xa ? ?a A? (x0 )
2a ?
? va
?(B(x) + c2 ) + 2 + v, B(x) = .
?2 ? y0
316 В.И. Фущич, М.М. Серова

Рассмотрим теперь уравнение (4.17). Его удалось решить в случае ? = ?(?1 ),
т.е. найти частное решение следующей системы:
(2?2 ?1 + ?1 )?1 + ?1 ? 2?(?0 )??2 ?0 = 0,
1 1
(2?2 ?1 + ?1 )?2 + 2?2 = 0,
1
2b4
(2?2 ?1 + ?1 )?3 + 2 = 0,
1
?
2
(2?2 ?1 + ?1 )?0 + ?0 + 2?2 ?1 ?0 = 0
??1
1 1

для ? = 2 и b4 = 0:
2
?1 + c0 ?1
0
?1 = ?2 = 0, ?3 = F (?1 ), (4.26)
?= , ,
?8? 2? 2
2?
где c0 — постоянная интегрировання, F — произвольная дифференцируемая фун-
кция.
Из (4.13), (4.26) и (3.4) получаем решение уравнений (4.12), содержащее прои-
звольную функцию:
(?a ya + b1 y0 )2
?= ,
2
8?2 ?y0
(4.27)
? ?a ya ? b1 y0 ?a ya + b1 y0
v
u= + ?F ,
2?2 y0 y0
где ?a ?a = ?2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = 0.
?? ??
Если в уравнениях (4.18) ??2 = ??3 = 0, то для определения функций ?
получим уравнения
2a
(?2 ?1 + bc)?1 ? 2 + ?(?0 )??2 ?0 = 0,
1 1
?
(?2 ?1 + bc)?2 ? b?3 = 0,
1
(? ? + bc)?3 + b?2 = 0,
21
1
(? ? + bc)?0 + ?2 ?1 ?0 = 0,
21
1 1

общее решение которых для ? = ?1 составляют функции

c2 ? ?2 ? 1 c0
? bc ,
0
?1 =
0
?= ,
?2 ?0
4a(?1 + c1 )
(4.28)
2b 2b
?2 = c2 sin (?1 + c1 )?0 + c3 , ?3 = c2 cos (?1 + c1 )?0 + c3 ,
c0 c0
где c0 , c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные. Из (4.13), (4.28) и (3.5) имеем
решение уравнений (4.12) для ? = ?1:
? = A(x),

? c0 2b
? 2ax0 ? bc + ?c2 sin (?a xa + ax2 + bcx0 +
u= 0
?2 A(x) c0 (4.29)
2b
(?a xa + ax2 + bcx0 + c1 )A(x) + c3 + v,
+c1 )A(x) + c3 + ?c2 cos 0
c0
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 317

где

c2 ? ?2 ?
0
A(x) = .
4a(?a xa + ax2 + bcx0 + c1 )
0

?? ??
Рассмотрим уравнение (4.21) в предположении, что ??2 = = 0. Для фун-
??3
кций ? получим обыкновенные дифференциальные уравнения
1
(?1 ? ??)?1 + ? + ?(?0 )??2 ??0 = 0,
1
2
1
(?1 ? ??)?0 + ?0 + ??1 ?0 = 0
??1
1

решение которых для ? = 2 имеет вид
?0 = c0 , ?a = f a (?1 ), (4.30)
где c0 — постоянная интегрирования, f a — произвольные дифференцируемые фун-
кции, причем ?a f a = ??1 , a = 1, 3. Тогда из (4.13), (4.30) и (3.5) имеем решение
уравнений (4.12), содержащее произвольные функции
? = c0 ,
(4.31)
ua = f a (x0 ? ?a xa ).
Аналогичным путем можно построить точные решения уравнений (4.1) и в случае
p = f (?).
§ 5. Генерирование решений уравнений (4.12)
Приведем еще несколько решений уравнений (4.12) в случае ? = 5/3, которые
мы получили, используя инвариантность данных уравнений относительно преобра-
зований
x
x= ,
1 ? ?x0
(5.1)
? = ?(1 ? ?x0 )3 ,
u = u(1 ? ?x0 ) + ?x,
где x = (x0 , x), ? — параметр, порождаемый оператором (4.7).
Если ? = F (x), u = G(x) какое-то решение уравнений (4.12), то решениями
будут следующие функции:

? ?x
x x
F G
1??x0 1??x0
(5.2)
?= , u= .
(1 ? ?x0 )3 1 ? ?x0
Формулы (5.2) пoзвoляют по известным решениям уравнений (4.12) строить новые
решения. Даже из очевидного решения
? = c0 , u = c,
где cµ , µ = 1, 3 — const, можно получить решение уравнения (4.12) зависящее от
всех четырех переменных
c0 c + ?x
?= , u= .
(1 ? ?x0 )3 1 ? ?x0
318 В.И. Фущич, М.М. Серова

С использованием формул (5.2) получены следующие решения уравнений (4.12):
c0
?= ,
(1 ? ?x0 )3
?[c2 cos cA(x) ? c1 sin cA(x)] + ?[c2 sin cA(x) + c1 cos cA(x)] ?x + v
?
u= ,
1 ? ?x0
?a xa + bx0
где A(x) = ln v a xa +bx0 , ?a ?a = ?2 = 0, ?a ?a = ?a ?a = ?a ?a = 0, ?a ?a = ?a ?a =
?
x0 (1??x0 )
c = 0, c0 , c1 , c2 — постоянные, a = 1, 3;
x0 ??a xa
? ?xa
fa
c0 1??x0
a
?= , u= ,
(1 ? ?x0 )3 1 ? ?x0
где f a — произвольные дифференцируемые функции, причем ?a f a = 1, ?a , c0 —
постоянные, ?a ?a = ?2 = 0, a = 1, 3;

? ?x ? v
x+vx0
?f ?
c0 1??x0
?= , u= ,
(1 ? ?x0 )3 1 ? ?x0
где f — произвольная дифференцируемая функция, ?a , ?a , v a — параметры,
?a ?a = 0, ?a ?a = 0.
§ 6. Точные решения уравнений газовой динамики
в случае изохорического движения
Рассмотрим уравнение

u0 + (u?)u = 0, (6.1)

где u = {u1 (x), u2 (x), u3 (x)}, x = (x0 , x) = (x0 , x1 , x2 , x3 ).
Используя алгоритм [3], нами установлена теорема, которую из-за громоздко-
сти реализации лиевского алгоритма приведем без доказательства.
Теорема 1. Максимальной алгеброй инвариантности уравнений (6.1) является
бесконечномерная алгебра Ли, причем координаты инфинитезимального опе-
ратора ? µ (x, u) и ?(x, u) удовлетворяют следующей системе уравнений:

? a = ub ?b ? ua ub ?b ? ua ?0 + ?0 ,
a 0 0 a
(6.2)
?0 + ub ?b = 0,
a a
a = 1, 3,
где индекс внизу, как и раньше, означает дифференцирование по соответ-
ствующему аргументу.
Замечание. Если ? µ = ? µ (x), то из (6.2), в частности, получим результат [4].
Решения уравнений (6.1), инвариантные относительно расширенной группы Га-
лилея, будем искать по формуле

u(x) = M (x0 )?1 (?) + N (x0 )?2 (?) + L(x0 )?3 (?) + B(x0 ), (6.3)

которая является частным случаем соотношения (4.13).
Так как все случаи независимых инвариантов ? и значений функций M (x0 ),
N (x0 ), L(x0 ) и B(x0 ) для уравнений (6.1) совпадают со случаями 1)–8) § 3 и
О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных уравнений 319

§ 4, то уравнения для функций ?(?) будут совпадать с (4.14)–(4.21), где нужно
положить ? = 0 и опустить последнее уравнение в каждой из указанных систем.
Приведем полученные нами решения уравнений (6.1):
M (x)
?a2 (ln2 c2 M (x) + c1 ) ? 2?a ln c2 M (x) + ? + v,
2 vy
(6.4)
u(x) =
2? 0

v v 2
y0 ?a A? (x0 )
y0 ?a A? (x0 ) ±
? ?
?a xa ?a xa
v v
где M (x) = + c3 , ?, ?, ?, v
a
a
y0 y0
удовлетворяют условиям (3.2);
F (x) ?
+ ?c2 sin ln(c3 F (x))?/c + ?c2 cos ln(c3 F (x))?/c
u(x) = v + v, (6.5)
2
y0 2?
v
?a ya +by0 ± (?a ya +by0 )2 +c1 y0
v
где F (x) = , ?, ?, ?, v — из (3.1);
y0

?
F (x) + c2 ? [F (x)]?2a + c2 ? [F (x)]?2a + v, (6.6)
u= 2
2?
v
??a ya ?by0 ± (?a ya +by0 )2 +c1 y0
где F (x) = , ?, ?, ?, v — из (3.3);
y0
c1 ? ?a ?a
u(x) = v (?3 )1/2a? + c2 ?(?3 )a+ /a? y0 + + ?y0 ? ?3 + v, (6.7)
y0
где функция ?3 определяется из уравнения ?2 (?3 )a? + c2 (?3 )?a+ = ? 2 , ?2 , ?, ?,
?, v — из (3.3);
(M (x))2
M (x) b1 b2
?2
v +2
u(x) = ? + ? c2 +
2?2 y0 ? y0 ?
(6.8)
2b4 b4

<< Предыдущая

стр. 74
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>